第09讲 复数（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第09讲 复数（6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考9题 2024年春考3题 复数概念及四则运算 共轭复数 2023秋考6题 2023春考11题 复数的基本运算 复数的三角形式以及三角恒等变换 2022秋考1题 2022春考1题 共轭复数 共轭复数 2021年秋考1题 2021年春考2题 复数的加减运算 共轭复数、复数的模 2020年秋考3题 2020年春考4题 复数模的求法 共轭复数、复数的运算 2. 备考策略 1．三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立． 2．复数代数运算中常用的三个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N* 知识讲解 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 考点一．纯虚数 1．（2023•宝山区校级模拟）是纯虚数，则　　． 【分析】由给出复数的实部等于0且虚部不等于0求出和的值，由同角三角函数的基本关系求得的值． 【解答】解：是纯虚数， 则，解得：． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的象限符号，是基础题． 2．（2023•黄浦区校级三模）若复数为纯虚数，则实数　　． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【解答】解：为纯虚数， ，即． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．（2022•闵行区二模）若为纯虚数为虚数单位），则实数　　． 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：为纯虚数， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 4．（2024•嘉定区校级模拟）若复数是纯虚数，则　　． 【分析】直接利用复数的定义的应用求出结果． 【解答】解：复数是纯虚数， 则， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：复数的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 考点二．复数对应复平面中的点 5．（2023•浦东新区模拟）设复数满足，在复平面内对应的点为，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知直接利用复数模的几何意义得答案． 【解答】解：复数满足，则在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 又在复平面内对应的点为， 轨迹方程为． 故选：． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 6．（2023•长宁区校级三模）在复平面内，复数所对应的点为．则　2　． 【分析】由复数的几何意义得到，，再由复数的运算法则直接求得． 【解答】解：由题得：，，． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算，属于基础题． 7．（2022•普陀区二模）若复数在复平面内对应的点为，则　　． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 【解答】解：复数在复平面内对应的点为， ．， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 8．（2022•奉贤区模拟）已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，连接，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 　　（用反余弦表示）． 【分析】根据复数的几何意义，得到，然后解三角形即可． 【解答】解：如图，，则，，则， ，，，，，， 在三角形中，由余弦定理得，，的最小正角为， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义，是基础题． 考点三．共轭复数 9．（2024•浦东新区三模）已知复数为虚数单位），则　　． 【分析】结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 10．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则　　． 【分析】结合复数的性质，即可求解． 【解答】解：， 则， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模的性质，属于基础题． 11．（2024•松江区校级模拟）若复数满足，为虚数单位，则　　． 【分析】根据复数的除法运算求解． 【解答】解：由题意，， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 12．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为 　　． 【分析】根据共轭复数和复数相等的概念求得，即可求解． 【解答】解：设，，为实数，则， 所以， 所以，， 所以，，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题． 考点四．复数的模 13．（2024•长宁区校级三模）已知复数满足，为虚数单位，则复数的模　5　． 【分析】利用复数的运算法则求出的代数形式，再根据复数的模的公式即可得到． 【解答】解：因为复数满足， 所以， 所以， 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 15．（2024•普陀区校级三模）设复数的共轭复数为，若，则　　． 【分析】结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：设， 则． 因为，所以． 易得， 解得， 所以，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念，属于基础题． 16．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则　　． 【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解． 【解答】解：由题可知，， 设，，，， 则，可得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的模的应用，属于基础题． 考点五．复数的乘法及乘方运算 17．（2023春•静安区校级月考）若满足（其中为虚数单位），则　　． 【分析】根据复数乘法计算求解． 【解答】解：由可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题． 18．（2021•金山区二模）若、，为虚数单位），则　1　． 【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的定义，列出关于，的方程，求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 故，，所以． 故答案为：1． 【点评】本题考查了复数的乘法运算以及复数相等的定义，考查了化简运算能力，属于基础题． 19．（2021秋•虹口区校级期中）已知，其中为虚数单位，，复数的虚部减去它的实部所得的差等于，则复数的模为 　　． 【分析】利用复数乘法法则计算出，从而列出方程，求出，进而求出模长． 【解答】解：把，代入中， 得， 由，得，又，所以， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题． 20．（2024•宝山区二模）设实数、满足为虚数单位），则　2　． 【分析】利用复数代数形式的乘法运算把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求解． 【解答】解：由， 得，即， 则，解得． ． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数相等的条件，考查方程组的解法，是基础题． 考点六．复数的除法运算 21．（2022•徐汇区三模）已知复数，（其中为虚数单位），则　　． 【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则即可求解． 【解答】解：复数，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，属于基础题． 22．（2021•松江区二模）若复数满足为虚数单位），则　　． 【分析】利用复数的除法运算求解即可． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数除法的运算法则的运用，考查了化简运算能力，属于基础题． 23．（2024•杨浦区二模）计算　　（其中为虚数单位）． 【分析】根据复数的除法运算求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 24．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数在复平面内对应的点是，其共轭复数在复平面内对应的点是，是坐标原点，若在第一象限，且，则　　． 【分析】设点坐标，根据共轭复数的概念得坐标，再由得横纵坐标的关系式，根据复数的除法运算求值即可． 【解答】解：设，，，则由共轭复数的概念可得：， 由得：， 因为，，所以，故， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•长宁区二模）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】结合复数的基本概念，分别检验充分及必要性即可． 【解答】解：设，，， 由可得，即，此时，充分性成立， 当时，即，则，满足，即必要性成立． 故选：． 【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复数的基本概念，属于基础题． 2．（2024•浦东新区校级模拟）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得， ， 则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题． 二．填空题（共8小题） 3．（2024•奉贤区三模）复数的虚部是 　2　． 【分析】根据复数的概念即可得． 【解答】解：的虚部是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题． 4．（2024•杨浦区校级三模）对于复数是虚数单位），　2　． 【分析】由已知直接利用虚部的概念得答案． 【解答】解：复数， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题． 5．（2024•杨浦区校级三模）设复数满足为虚数单位），则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【解答】解：， 则，即， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题． 6．（2024•普陀区校级模拟）设复数满足，则　5　． 【分析】设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，，再根据模长公式求解即可得答案． 【解答】解：设，则，于是， 解得，则． 故答案为：5． 【点评】本题考查复数的共轭复数、复数相等，属于基础题． 7．（2024•浦东新区校级四模）已知复数满足，则　2　． 【分析】先对复数进行化简，然后结合复数的基本概念即可求解． 【解答】解：因为， 则． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了复数的基本概念的应用，属于基础题． 8．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则的实部为 　　． 【分析】先对化简，再结合实部的定义，即可求解． 【解答】解：，其实部为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题． 9．（2024•浦东新区校级模拟）已知复数满足为虚数单位），则的模为　　． 【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出． 【解答】解：复数满足为虚数单位）， ，则． 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．（2024•松江区二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则　　． 【分析】根据复数的运算性质计算即可． 【解答】解：由题意得：， 故， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算，是基础题． 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•闵行区期末）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是　　 A． B． C．的周长 D．的面积 【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论． 【解答】解：因为复数、在复平面内对应的点分别为、，为坐标原点），则， 由可得， 对于方程，则△， 解方程可得， 所以，，所以，， 中，由于不是定值，则的面积、均不为定值． 故选：． 【点评】本题考查了复数的几何意义以及复数的模，考查复数的三角函数表示，是中档题． 2．（2024春•宝山区校级期末）已知复数满足，的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解． 【解答】解：因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题． 二．填空题（共10小题） 3．（2024•浦东新区校级四模）已知方程的一个根是是虚数单位），则　4　． 【分析】由题意结合复数的性质可知，方程的另一个根为，然后结合方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：因为方程的一个根是， 所以另一个根为， 根据方程的根与系数关系可得，． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题． 4．（2024•杨浦区校级三模）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子： ①； ②； ③； ④． 其中恒成立的是 　②③　（写出所有恒成立式子的序号） 【分析】设，，则，，利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④． 【解答】解：设，，则，， 对于①，，，，故错误； 对于②，， ， ， ，故②正确； 对于③，，，，故③正确； 对于④，，， ， ， ，故错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数的乘法运算法则和复数的模、向量数量积公式和向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（2024•宝山区三模）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则　　． 【分析】由图形得到复数，，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由图可知，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 6．（2023秋•徐汇区校级月考）设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数　13　． 【分析】设，则，结合韦达定理可得，，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解． 【解答】解：设，，，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得，， 整理得，， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知，关于轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 7．（2023秋•宝山区校级期中）若复数满足，则的最小值为 　4　． 【分析】根据题设条件确定复数对应点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上，结合椭圆性质及的几何意义确定最小值． 【解答】解：设且，，又， 所以， 即点到两定点，的距离之和为10， 所以点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上， 由表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴． 故答案为：4． 【点评】本题考查了椭圆的性质，复数的模及其几何意义，是基础题． 8．（2024•黄浦区校级三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，，且，则实数的值为 　3　． 【分析】由已知结合二次方程虚根的性质即可求解． 【解答】解：由，得， 依题意，，即或， 解得， 而，即， 整理得，解得或（舍，故， 所以实数的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次方程虚根的性质的应用，属于中档题． 9．（2023秋•嘉定区期末）已知复平面上一个动点对应复数，若，其中是虚数单位，则向量扫过的面积为 　　． 【分析】根据题意，满足条件的点在以为圆心，半径为2的圆及其内部，从而作出图形，利用扇形面积公式与三角形面积公式算出答案． 【解答】解：根据，可知满足条件的点在以为圆心，半径为2的圆及其内部， 因此，向量扫过的面积为图中阴影部分的面积， 若过原点的直线与圆相切，设切点分别为、， 则中，，可得，． 因此，，可得扇形的面积， 结合四边形的面积， 可得阴影部分的面积，即为向量扫过的面积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义、扇形面积公式与三角形面积公式、锐角三角函数的应用等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 10．（2023秋•虹口区校级期中）设复数为虚数单位）且，若，则　　． 【分析】由诱导公式、复数模的求法列方程求得，结合角的范围可得，再应用倍角正切公式求值即可． 【解答】解：由题设，则， 所以，又，则，， 所以，则． 故答案为：． 【点评】本题考查了诱导公式、复数模的求法，考查三角函数问题，是中档题． 11．（2023•上海开学）已知，若实数、满足，则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：， 则，， ， 则，即，即，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 12．（2023•浦东新区校级开学）已知复数满足，则的范围是　，　． 【分析】由题意可得，令，，可得，则的范围可求． 【解答】解：，且， ，即， 令，， 则， ，． 故答案为：． 【点评】本题考查复数模的求法，考查圆的参数方程及三角函数的最值，是中档题． 三．解答题（共1小题） 13．（2024春•宝山区校级期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若，求实数的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值． 【分析】（1）化简得到，求出； （2），从而得到时，取得最小值，最小值为． 【解答】解：（1）， ，，解得． 经检验，满足要求； （2） ， 当时，取得最小值，最小值为． 故最小值为，此时． 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 1．（2024•上海）已知，则　　． 【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解． 【解答】解：由题意可得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题． 2．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 【分析】根据复数的基本运算，即可求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题． 3．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则　　． 【分析】直接利用共轭复数的概念得答案． 【解答】解：，则，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题． 4．（2021•上海）已知，，求　　． 【分析】直接根据复数的运算性质，求出即可． 【解答】解：因为，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题． 5．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由，得． 故答案为：． 【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题． 6．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　2　． 【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：虚数，其实部为1， 则可设， 所以，因为， 所以，解得， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题． 7．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则　　． 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题． 8．（2021•上海）已知，则　　． 【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 9．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为　2　． 【分析】设，．根据复数满足，利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：设，． 复数满足， ， 可得：，，解得，． 则的实部为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 　，　． 【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解． 【解答】解：设，则， 因为，所以， 所以 ， 显然当时，原式取最小值0， 当时，原式取最大值， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 复数（6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考9题 2024年春考3题 复数概念及四则运算 共轭复数 2023秋考6题 2023春考11题 复数的基本运算 复数的三角形式以及三角恒等变换 2022秋考1题 2022春考1题 共轭复数 共轭复数 2021年秋考1题 2021年春考2题 复数的加减运算 共轭复数、复数的模 2020年秋考3题 2020年春考4题 复数模的求法 共轭复数、复数的运算 2. 备考策略 1．三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立． 2．复数代数运算中常用的三个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N* 知识讲解 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 考点一．纯虚数 1．（2023•宝山区校级模拟）是纯虚数，则　　． 2．（2023•黄浦区校级三模）若复数为纯虚数，则实数　　． 3．（2022•闵行区二模）若为纯虚数为虚数单位），则实数　　． 4．（2024•嘉定区校级模拟）若复数是纯虚数，则　　． 考点二．复数对应复平面中的点 5．（2023•浦东新区模拟）设复数满足，在复平面内对应的点为，则　　 A． B． C． D． 6．（2023•长宁区校级三模）在复平面内，复数所对应的点为．则　　． 7．（2022•普陀区二模）若复数在复平面内对应的点为，则　　． 8．（2022•奉贤区模拟）已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，连接，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 　 　（用反余弦表示）． 考点三．共轭复数 9．（2024•浦东新区三模）已知复数为虚数单位），则　 　． 10．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则　　． 11．（2024•松江区校级模拟）若复数满足，为虚数单位，则　 　． 12．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为 　 　． 考点四．复数的模 13．（2024•长宁区校级三模）已知复数满足，为虚数单位，则复数的模　　． 14．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则　　． 15．（2024•普陀区校级三模）设复数的共轭复数为，若，则　　． 16．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则　 　． 考点五．复数的乘法及乘方运算 17．（2023春•静安区校级月考）若满足（其中为虚数单位），则　　． 18．（2021•金山区二模）若、，为虚数单位），则　　． 19．（2021秋•虹口区校级期中）已知，其中为虚数单位，，复数的虚部减去它的实部所得的差等于，则复数的模为 　　． 20．（2024•宝山区二模）设实数、满足为虚数单位），则　　． 考点六．复数的除法运算 21．（2022•徐汇区三模）已知复数，（其中为虚数单位），则　　． 22．（2021•松江区二模）若复数满足为虚数单位），则　　． 23．（2024•杨浦区二模）计算　　（其中为虚数单位）． 24．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数在复平面内对应的点是，其共轭复数在复平面内对应的点是，是坐标原点，若在第一象限，且，则　　． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•长宁区二模）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024•浦东新区校级模拟）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．填空题（共8小题） 3．（2024•奉贤区三模）复数的虚部是 　　． 4．（2024•杨浦区校级三模）对于复数是虚数单位），　　． 5．（2024•杨浦区校级三模）设复数满足为虚数单位），则　　． 6．（2024•普陀区校级模拟）设复数满足，则　　． 7．（2024•浦东新区校级四模）已知复数满足，则　　． 8．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则的实部为 　　． 9．（2024•浦东新区校级模拟）已知复数满足为虚数单位），则的模为　　． 10．（2024•松江区二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则　　． 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•闵行区期末）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是　　 A． B． C．的周长 D．的面积 2．（2024春•宝山区校级期末）已知复数满足，的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 二．填空题（共10小题） 3．（2024•浦东新区校级四模）已知方程的一个根是是虚数单位），则　　． 4．（2024•杨浦区校级三模）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子： ①； ②； ③； ④． 其中恒成立的是 　　（写出所有恒成立式子的序号） 5．（2024•宝山区三模）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则　　． 6．（2023秋•徐汇区校级月考）设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数　　． 7．（2023秋•宝山区校级期中）若复数满足，则的最小值为 　　． 8．（2024•黄浦区校级三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，，且，则实数的值为 　　． 9．（2023秋•嘉定区期末）已知复平面上一个动点对应复数，若，其中是虚数单位，则向量扫过的面积为 　　． 10．（2023秋•虹口区校级期中）设复数为虚数单位）且，若，则　　． 11．（2023•上海开学）已知，若实数、满足，则　　． 12．（2023•浦东新区校级开学）已知复数满足，则的范围是　 　． 三．解答题（共1小题） 13．（2024春•宝山区校级期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若，求实数的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值． 1．（2024•上海）已知，则　　． 2．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 3．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则　　． 4．（2021•上海）已知，，求　　． 5．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 6．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　　． 7．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则　　． 8．（2021•上海）已知，则　　． 9．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为　　． 10．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$