专题1.5 一元二次函数、方程与不等式（六大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题1.5 一元二次函数、方程与不等式 目录 一、考纲要求 1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式． 2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． 3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 四、考点梳理 知识点一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点四、解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 知识点五、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识六、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点七、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 重难点题型(一) 不含参数一元二次不等式的解法 例1．（2024·福建福州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【变式训练1】．（2024·安徽合肥·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 重难点题型(二) 含参数一元二次不等式的解法 例3．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 例4．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选题）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】．（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 重难点题型(三) 一元二次不等式与韦达定理及判别式 例5．（2015·福建龙岩·一模）设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【变式训练5】．（2020·山东青岛·三模）（多选题）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ） A． B．3 C． D． 【变式训练6】．（2023·湖北黄冈·模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 . 重难点题型(四)其他不等式解法 例7（2024·湖南邵阳·三模）， ，则 . 例8．（2024·河北·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【变式训练7】．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【变式训练8】．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 【变式训练9】．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型(五)二次函数根的分布问题 例10．（2018·山东烟台·一模）在区间上随机地取一个实数，则方程有两个正根的概率为(    ) A． B． C． D． 例11．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 例12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】．（2017·河北衡水·三模）已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式训练11】．（2022·安徽·模拟预测）在区间上任取两个实数a，b，则方程有两个不同的非负根的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】．（2010·河北石家庄·二模）若关于x的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为S，那么区域S的面积是 . 重难点题型(六)一元二次不等式恒成立问题 例13．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 例14．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 例15．（16-17高三上·河北衡水·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例16．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13】．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式训练14】．（2023·江苏连云港·模拟预测）（多选题）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【变式训练15】．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式训练16】．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 . 1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 4．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2006·江西·高考真题）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 6．（2013·重庆·高考真题）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 7．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 8．（2019·天津·高考真题） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 一元二次函数、方程与不等式 目录 一、考纲要求 1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式． 2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． 3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 四、考点梳理 知识点一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点四、解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 知识点五、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识六、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点七、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 重难点题型(一) 不含参数一元二次不等式的解法 例1．（2024·福建福州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求集合，，再求. 【详解】由，所以； 由，所以. 所以. 故选：B 例2．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 【变式训练1】．（2024·安徽合肥·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：B. 【变式训练2】．（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 重难点题型(二) 含参数一元二次不等式的解法 例3．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 【答案】/0.5 【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围. 【详解】由有4个子集，所以中有2个元素， 所以，所以 ， 所以满足，或， 综上，实数的取值范围为，或， 故答案为： 例4．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出，进而解不等式，得到解集. 【详解】因为，所以， 故的解集为. 故选：C 【变式训练3】．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选题）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 【变式训练4】．28．（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 重难点题型(三) 一元二次不等式与韦达定理及判别式 例5．（2015·福建龙岩·一模）设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程有实数根，即，解出p的范围即可得出概率. 【详解】方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，p在[0,5]上随机地取值， 解得p≥2或p≤－2（舍去）， 所以所求概率为. 故选：C 【点睛】此题考查几何概率模型，关键在于准确解出方程有实根得出p的范围. 例6．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练5】．（2020·山东青岛·三模）（多选题）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ） A． B．3 C． D． 【答案】AC 【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于的方程，再根据根的分布求的取值范围，最后判断得到答案即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， 可令切点的横坐标为，且， 可得切线斜率即， 由题意，可得关于的方程有两个不等的正根， 且可知， 则，即， 解得：， 所以的取值可能为，. 故选：AC. 【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题. 【变式训练6】．（2023·湖北黄冈·模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“使”为假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型(四)其他不等式解法 例7（2024·湖南邵阳·三模）， ，则 . 【答案】 【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得. 【详解】若，则，解得， 所以； 若，则，解得， 所以； 所以. 故答案为：. 例8．（2024·河北·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合A，求定义域化简集合B，然后进行补集和交集的运算即可. 【详解】因为， 或，则, 所以， 故选：A. 例9．（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】解不等式求得集合，再根据子集定义得结论． 【详解】由得，，所以， 因此的非空真子集个数为， 故选：C． 【变式训练7】．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可. 【详解】由，得， 所以，则或， 由，得， 又，所以， 解得. 故答案为：. 【变式训练8】．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合，结合集合交集､并集的定义，即可求解. 【详解】由得：， 所以， 因为且， 所以. 故答案为：. 【变式训练9】．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式不等式的求解方法求集合A，再由对数函数的性质解不等式求得集合B，结合并集的概念即可得答案. 【详解】因为，， 因此，. 故选：C. 重难点题型(五)二次函数根的分布问题 例10．（2018·山东烟台·一模）在区间上随机地取一个实数，则方程有两个正根的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何概型的长度之比即可计算结果. 【详解】设方程的两个根为， ∵方程有两个正根， ∴，化简得解得或． 由几何概型概率公式可得，在区间上随机地取一个实数，则方程有实根的概率为 ． 故选:A. 例11．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】根据题意可得不等式等价于； 因为，所以不等式的解集为； 依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得； 由几何概型概率公式可得其概率为. 故选：C 例12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 【变式训练10】．（2017·河北衡水·三模）已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一元二次方程根的分布列出关于b和c的不等式组，从而可以作出关于b、c取值范围的可行域，用b、c表示出f(3)，数形结合即可得其取值范围． 【详解】由题可知：， 可行域如图三角形内部(不包括三角形边界，其中三角形三顶点为)： 而， ∴直线过C取最大值，过B点取最小值， ∴的取值范围是． 故选：A． 【变式训练11】．（2022·安徽·模拟预测）在区间上任取两个实数a，b，则方程有两个不同的非负根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程有两个不同的非负根，可得，在平面直角坐标系作出可行域，结合图象，根据几何概型即可得解. 【详解】解：因为方程有两个不同的非负根， 所以，则， 如图，作出不等式组所表示得平面区域为， 在区间上任取两个实数a，b，所表示得平面区域为正方形， ， 所以方程有两个不同的非负根的概率为. 故选：B. 【变式训练12】．（2010·河北石家庄·二模）若关于x的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为S，那么区域S的面积是 . 【答案】3 【分析】设，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得且，画出可行域，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】 设， 方程的一个根在区间内， 另一个根在区间内， 可得， 即作出满足上述不等式组对应的点所在的平面区域， 得到及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界） 其中， 即为点对应的区域的面积，，故答案为3. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、意在考查转化与划归思想的应用以及综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题. 重难点题型(六)一元二次不等式恒成立问题 例13．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果. 【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立， 令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，由，得到， 当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 例14．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 例15．（16-17高三上·河北衡水·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，判断出其在上是增函数，转化为对任意实数恒成立，结合二次函数图像列不等式组，即可求解. 【详解】任取，则，所以. 由为定义在上的奇函数，所以，所以， 即在上都有. 由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为： 对任意实数恒成立. 结合二次函数图像可得. 故选：A. 例16．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围， 利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案. 【详解】， 因为函数有两个不同的极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根， 于是有，解得. 因为不等式恒成立， 所以恒成立. ， 设， ，故在上单调递增， 故，所以. 因此实数t的取值范围是. 故选：A 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 【变式训练13】．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先根据导函数结合余弦函数的范围得出函数单调递增.又，根据已知可推得恒成立，得出，求解即可得出答案. 【详解】由题，， 当时，恒成立，； 当或时，，，所以． 所以在R上单调递增． 又， 所以由恒成立，可得恒成立， 即恒成立， 故，得，所以a的最大值为． 故选：C. 【变式训练14】．（2023·江苏连云港·模拟预测）（多选题）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 【变式训练15】．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，将不等式恒成立问题转化成，构造，根据单调性求最值. 【详解】设， ， 则， 则恒成立可化为恒成立， 即恒成立，故， 设， 易知在时递减，在时递增， 所以， 而显然在时单调递增，所以， 故，当且仅当时，即时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法求最值. 【变式训练16】．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 . 【答案】 1 【分析】①令，则方程有两个不等的实根，，数形结合，根据的图象得出结果；②由韦达定理代入求值即可. 【详解】由， 令，∴， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，. 作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，    （*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，， 令，∴，    且，，， ∴， 故答案为：；1. 【点睛】求解复合函数零点问题的方法： (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出两个图像； (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数再根据个数与的图像特点，决定参数的范围. 1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 4．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系. 【详解】由，可得，即； 由，可得或，即； ∴是的真子集， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 5．（2006·江西·高考真题）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围. 【详解】因为不等式对于一切恒成立， 所以对一切恒成立， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法. 6．（2013·重庆·高考真题）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，又， 所以， 解得，因为，所以. 故选：A. 7．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 8．（2019·天津·高考真题） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【答案】 【分析】通过因式分解，解不等式． 【详解】， 即， 即， 故的取值范围是． 【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$