专题1.4 基本不等式及其应用（九大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题1.4 基本不等式及其应用 目录 一、考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题． 四、考点梳理 【基本不等式(或)均值不等式】 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 7、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型(一) 基本不等式及其应用 例1．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 例2．（2022·山东菏泽·二模）（多选题）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2】．（多选题）（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型(二) 利用基本不等式求最值 例3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．（2023·上海奉贤·二模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ． 【变式训练3】．（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4】．（2022·贵州安顺·模拟预测）已知，，则下列不等关系中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型(三) 利用陪凑法（或换元法）求最值 例5．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 例6．（2023·全国·模拟预测）（多选题）设正实数a，b满足，则以下说法正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．的最大值为2 D．的最小值是 【变式训练5】．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（2024·江苏·一模）（多选题）已知，且，，则(    ) A． B． C． D． 重难点题型(四) “1”的代换求最值 例7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 例8．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 例9．（2023·海南·模拟预测）（多选题）已知，若，则（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为 【变式训练7】．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【变式训练8】．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练9】．（2024·贵州贵阳·一模）（多选题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型(五) 双换元求最值 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 例10．（2023·海南·模拟预测）（多选题）已知实数x，y满足，则（    ）． A． B． C． D． 例11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【变式训练10】．（2021·河北承德·二模）（多选题）已知，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是 . 重难点题型(六) 齐次化求最值 【解题方法总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 例11．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知正数，则的最大值为 ． 例12．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练11】．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练12】．（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(七) 利用基本不等式证明不等式 例13．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且． (1)证明:若，则; (2)若，求实数 t 的取值范围． 例14．（2023·全国·模拟预测）已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 【变式训练13】．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知a，b，c为实数且． (1)若a，b，c均为正数，当时，求的值； (2)求的最小值． 【变式训练14】．（2023·四川·模拟预测）已知均为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 重难点题型(八) 利用基本不等式解决实际问题 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 例15．（2023·河南洛阳·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（    ） A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件 例16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ） A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 例17．（2023·河南·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元. 【变式训练15】．（22-23高三上·云南楚雄·期末）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元 【变式训练16】．（2021·湖南·模拟预测）由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（    ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 【变式训练17】．（21-22高一下·浙江衢州·阶段练习）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆．该油画规格为纵，横．油画挂在墙壁上时，其最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为），设该游客与墙的距离为，视角为，为使观赏视角最大，则应为 ． 重难点题型(九) 基本不等式与其他知识结合的综合问题 例18．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 例19．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式训练18】．（2011·辽宁锦州·一模）已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为　　 A． B． C． D．不存在 【变式训练19】．（2022·全国·模拟预测）（多选题）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（    ） A．两个图形的面积之和的最小值为 B．两个图形的面积之积的最大值为 C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是 D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2001·北京·高考真题）若实数，满足，则的最小值是（    ） A．18 B．6 C． D． 3．（2022·全国·高考真题）（多选题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·高考真题）（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 6．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 基本不等式及其应用 目录 一、考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题． 四、考点梳理 【基本不等式(或)均值不等式】 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 7、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型(一) 基本不等式及其应用 例1．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 例2．（2022·山东菏泽·二模）（多选题）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，当时，由C可知，，故D不正确. 故选：AB 【变式训练1】．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【详解】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 【变式训练2】．（多选题）（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 重难点题型(二) 利用基本不等式求最值 例3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例4．（2023·上海奉贤·二模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立， 故答案为：2 【变式训练3】．（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若，则成立，当且仅当时取等， 若，不妨设，则不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 【变式训练4】．（2022·贵州安顺·模拟预测）已知，，则下列不等关系中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD；利用基本不等式进行判断B即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：当时，，则，而， 显然，故D错误. 故选：B. 重难点题型(三) 利用陪凑法（或换元法）求最值 例5．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D 例6．（2023·全国·模拟预测）（多选题）设正实数a，b满足，则以下说法正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．的最大值为2 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，对每一项进行逐项分析即可. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，B错误； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，C正确； 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ACD． 【变式训练5】．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 【变式训练6】．（2024·江苏·一模）（多选题）已知，且，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】 ∵，∴，同理， ∵在时递增，故，故A正确； ∵，∴B错误； ∵，，∴，当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确； ∴，即，∴D正确． 故选：ACD． 重难点题型(四) “1”的代换求最值 例7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 例8．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 例9．（2023·海南·模拟预测）（多选题）已知，若，则（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A和B中，因为且，可得且， 即，所以，且，，所以A、B正确； 对于C中，由， 当且仅当，且，即，时，取“”号，所以C正确； 对于D中，由，即，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以D错误． 故选：ABC. 【变式训练7】．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解． 【详解】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象， 所以的对称中心为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A 【变式训练8】．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用条件转化得，将问题式化简结合基本不等式求最值. 【详解】由，且，可得.所以. 又因为， 当且仅当，即时取等号，所以. 故选：B. 【变式训练9】．（2024·贵州贵阳·一模）（多选题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 故选：ABCD 重难点题型(五) 双换元求最值 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 例10．（2023·海南·模拟预测）（多选题）已知实数x，y满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求解判断ABD；利用配方法结合解不等式判断C. 【详解】由，得， 对于A，，所以，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，得，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ACD. 例11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练10】．（2021·河北承德·二模）（多选题）已知，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合基本不等式进行判断即可. 【详解】由，得，，， 所以，，又，所以，故A正确； 因为， 所以，故B错误； 因为，又，所以，故C正确； 因为，又，所以，D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：根据指数式与对数式互化公式、对数的运算性质得到是解题的关键. 【变式训练11】．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式结合求得，将整理变形为，令，结合二次函数知识即可求得答案. 【详解】由可得， 而，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 由可知， 所以， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减 故， 即的取值范围是， 故答案为： 重难点题型(六) 齐次化求最值 【解题方法总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 例11．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知正数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将分母变为，分别利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故答案为：. 例12．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：B. 【变式训练11】．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 【变式训练12】．21．（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为为非零实数，，，均为正实数， 则 ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：B． 重难点题型(七) 利用基本不等式证明不等式 例13．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且． (1)证明:若，则; (2)若，求实数 t 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质推理即得. （2）结合已知可得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）由均为正数，，得，又， 则，所以. （2）显然， 而均为正数，则， 又，当时取等号， 而，因此，， 所以实数 t 的取值范围. 例14．（2023·全国·模拟预测）已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用基本不等式即可依次证明 【详解】本题考查利用基本不等式证明不等式，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． （1）由，得， 当且仅当时，取得等号． （2）由基本不等式可知，，，， 所以， 当且仅当时，取得等号． 【变式训练13】．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知a，b，c为实数且． (1)若a，b，c均为正数，当时，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式可推得，结合已知以及不等式等号成立的条件，即可列出关系式，进而得处答案； （2）根据已知转化为求解的最小值，进而根据柯西不等式，即可得出答案. 【详解】（1）由基本不等式得：，，． 以上三个式子相加得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，， 所以． （2） ， ， 当且仅当，即，，时，等号成立． 【变式训练14】．（2023·四川·模拟预测）已知均为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）令，，，由展开，利用基本不等式得，又由（1）知，代入求解即可. 【详解】（1）∵， 又，，， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. （2）令，，， 则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 由（1）知， ∴， ∴，∴，即， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 重难点题型(八) 利用基本不等式解决实际问题 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 例15．（2023·河南洛阳·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（    ） A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件 【答案】D 【分析】根据题意得到利润函数，然后结合导数与基本不等式分别求得每一段的最大利润，从而得到结果. 【详解】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时， 利润；当产量不小于50万件时， 利润． 所以利润 因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则． 当时，，当且仅当时取等号．又，所以当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 故选:D． 例16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ） A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 【答案】BC 【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解. 【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：； 方案乙：两次涨幅后的价格为：； 方案丙：两次涨幅后的价格为：； 因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立， 故，因为，所以，， 所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多， 故选：. 例17．（2023·河南·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元. 【答案】1000 【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值. 【详解】由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润 因为当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 故答案为：1000 【变式训练15】．（22-23高三上·云南楚雄·期末）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元 【答案】C 【分析】先表示利润函数，利润等于销售收入减去投资和固定投入100万元，再分别利用二次函数、均值不等式求最值. 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知， ， 即， 当时，的对称轴，则； 当时，，当且仅当时，取得最大值2200. 综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元. 故选：C. 【变式训练16】．（2021·湖南·模拟预测）由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（    ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 【答案】A 【分析】设供热站应建在离社区x千米处，由题意可得自然消费和供热费，根据题中数据，可求得，即可得两项费用之和表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费， 由题意得：当时，，， 所以， 所以， 所以两项费用之和， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处. 故选：A 【变式训练17】．（21-22高一下·浙江衢州·阶段练习）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆．该油画规格为纵，横．油画挂在墙壁上时，其最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为），设该游客与墙的距离为，视角为，为使观赏视角最大，则应为 ． 【答案】cm 【分析】设，在直角三角形中表示出和，结合两角和正切公式求出，利用基本不等式即可求得观赏视角最大时x的值. 【详解】如图，作垂直于的延长线，垂足为D,则 ， 设,则, , 即，解得， 因为 当且仅当即时取等号， 所以，此时观赏视角最大， 此时cm, 故答案为：cm. 重难点题型(九) 基本不等式与其他知识结合的综合问题 例18．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】由中点和三等分点得到，结合，，得到， 由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值. 【详解】因为为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，则， 而，，三点共线，所以，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：B． 例19．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】由已知条件求出等比数列的公比，得到，利用基本不等式求的最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 有，即，得，由，解得， 若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项， 则，即，得，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A 【变式训练18】．（2011·辽宁锦州·一模）已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为　　 A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】设正项等比数列的公比为，由满足：，可得，解得．根据存在两项、使得，可得，．对，分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列的公比为，满足：，，解得． 存在两项、使得，，． ，的取值分别为，，，，． 则的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式训练19】．（2022·全国·模拟预测）（多选题）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（    ） A．两个图形的面积之和的最小值为 B．两个图形的面积之积的最大值为 C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是 D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为 【答案】AB 【分析】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y，分别表示出正方形和三角形的面积，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y．将长度为x的细绳围成正方形，其面积为．将长度为y的细绳围成三边长的比例为3:4:5的直角三角形，即三边长分别为，，，其对应的面积为．两个图形的面积之和． 又，所以，当时，S取到最小值，最小值为，故选项A正确； 两个图形的面积之积．由基本不等式得，则，即Z的最大值为，当且仅当时，等号成立，故选项B正确； 令，解得，故选项C错误； 正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D错误. 故选：AB． 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误， 故选：B. 2．（2001·北京·高考真题）若实数，满足，则的最小值是（    ） A．18 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式进行求解最小值 【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6 故选：B 3．（2022·全国·高考真题）（多选题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 4．（2020·山东·高考真题）（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 5．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$