专题1.3 等式与不等式的性质（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题1.3 等式与不等式的性质 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·河南·三模）已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）设x，y满足约束条件则的最小值为（    ） A．3 B．6 C． D． 6．（2024·四川成都·模拟预测）设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 9．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（2023·山东·模拟预测）已知，下列结论正确的是（    ） A．对任意实数 B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 13．（2023·全国·模拟预测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·海南·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 16．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 17．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 18．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 . 19．（2023·四川内江·一模）已知实数a，b满足，则a、b满足的关系有 .（填序号） ①；②；③；④. 20．（2021·河南·模拟预测）函数的最大值为 . 1．（2024·全国·高考真题）若实数满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）若x，y满足约束条件则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．12 4．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2018·全国·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 6．（2016·全国·高考真题）若，，则 A． B． C． D． 7．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 8．（2016·北京·高考真题）已知，且，则 A． B． C． D． 9．（2012·北京·高考真题）已知为等比数列，下面结论中正确的是 A． B． C．若，则 D．若，则 10．（多选题）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 等式与不等式的性质 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立. 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024·河南·三模）已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和等比数列的通项公式可得，解之即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 4．（2024·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，注意，再求. 【详解】，又因为，所以，得． 故选：D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）设x，y满足约束条件则的最小值为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数化为，利用截距的几何意义即可求解. 【详解】作出约束条件的可行域，如图： 由，解得，得， 作出，平移直线，由图可知，当直线过点，直线的截距最小，此时最小， 则的最小值为. 故选：A. 6．（2024·四川成都·模拟预测）设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】作出不等式组表示的平面区域，把目标函数化成斜截式方程，由图分析，得出须使直线的纵截距最小，代入点坐标即得. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） 则由可得,要求，即要使直线的纵截距最小， 由图知，只需使目标函数经过点，故得. 故选：C. 7．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【详解】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D 8．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 9．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，根据糖水不等式可得，即充分性成立； 若，则，即且，故，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 10．（2024·陕西安康·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数性质得，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定BD. 【详解】由，得，所以，所以，所以错误； 令，此时与无意义，所以错误； 因为，所以由不等式的性质可得，所以正确； 令，则，所以错误. 故选：. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较. 【详解】设，则，在单调递增， 所以，即，即，A正确； 令，，则，而，所以，B不正确； 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 则在时取得最小值，即，C正确； 设，则，所以在上是增函数， 所以由得，即，D正确. 故选：ACD 12．（2023·山东·模拟预测）已知，下列结论正确的是（    ） A．对任意实数 B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 【答案】BC 【分析】举出反例即可判断AD；作差即可判断B；根据结合基本不等式即可判断C. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 则， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值是，故C正确； 对于D，当时，，，，故D错误. 故选：BC. 13．（2023·全国·模拟预测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：直接观察即可；对于B：做差法判断；对于C：构造函数，确定函数单调性后可判断；对于D：构造函数，确定单调性，然后通过化简整理后可判断. 【详解】对于A选项，不一定大于1，故A错误. 对于B选项，因为，则， 所以，故B正确. 一题多解，根据糖水不等式，，，可知B正确. 对于C选项，， 令，则，则在上单调递增. 又因为，所以，即，故C正确. 对于D选项，因为， 所以， 令，令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 则，即成立，故D正确. 一题多解 根据对数平均不等式，，可知D正确. 故选：BCD. 14．（2023·海南·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】作差法可判断选项A；构造函数，求导判断函数的单调性，利用单调性即可判断选项B；利用不等式的性质可判断选项C；特殊值法可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为，所以，即，故选项A正确； 对于选项B：令， 因为，所以函数为增函数. 因为，所以，即，故选项B正确； 对于选项C：因为，由不等式的性质可得，故选项C正确； 对于选项D：当时，若，则，与矛盾，故选项D错误. 故选：ABC. 15．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】选项A：当时，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确； 选项B：由得，所以，故选项B正确； 选项C：令，满足，但不成立，故选项C错误； 选项D：由得，因为，所以，所以，故选项D正确． 故选：ABD. 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 16．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 17．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 18．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 . 【答案】 【分析】构造函数，利用函数的单调性比较出与的大小，再用作差比较出与的大小，即可得出结果. 【详解】根据题意，设，则其导数. 令， 故在区间上，恒成立，则有，即恒成立 在上恒成立，函数在上单调递减， 则有，即 又，而， ，即 故答案为： 【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法. 19．（2023·四川内江·一模）已知实数a，b满足，则a、b满足的关系有 .（填序号） ①；②；③；④. 【答案】①③ 【分析】对于①，先得到，再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于④，先作差，再求出，即可判断得解. 【详解】解：，，， 对于①，， 所以（由于，所以不能取等）. 所以该命题正确； 对于②，由得，因为. ，所以，所以该命题错误； 对于③， ，所以，所以该命题正确； 对于④，, ，， 所以，所以， 所以， 所以，所以该命题错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到，然后用利用，得到，即可求解 20．（2021·河南·模拟预测）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】分别求得分子、分母的最值，然后由不等式的性质可得． 【详解】，当且仅当时等号成立，所以， 又时，取得最大值1，， 所以，时等号成立．所以的最大值为． 故答案为：． 1．（2024·全国·高考真题）若实数满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得. 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得， 即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值， 此时直线过点， 联立，解得，即， 则. 故选：D. 2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3．（2022·全国·高考真题）若x，y满足约束条件则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】作出可行域，数形结合即可得解. 【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数为， 上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大， 所以. 故选：C. 4．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 5．（2018·全国·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选B. 点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题． 6．（2016·全国·高考真题）若，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， 因为选项C正确，故选C． 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 7．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 8．（2016·北京·高考真题）已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：A：由，得，即，A不正确； B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立； C：由，，得，故，C正确； D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C. 【考点】函数性质 【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. 9．（2012·北京·高考真题）已知为等比数列，下面结论中正确的是 A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确； 当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q⇒a4<a2，与D选项矛盾．因此根据基本不等式可知B选项正确． 10．（多选题）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$