专题1.2 常用的逻辑用语（五大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题1.2 常用的逻辑用语 目录 一、考纲要求 1.了解命题的概念； 2.了解“若p，则q”形式的命题，能理解全称量词与存在量词的意义； 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义； 4.熟练掌握全程量词与存在量词的否定。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）必要条件、充分条件、充要条件； （2）全称量词与存在量词； （3）全称量词命题与存在量词命题的否定． 2024年新课标Ⅱ，第2题，5分 2024年全国甲卷，第9题，5分 2023年新课标Ⅱ，第7题，5分 2022年北京卷，第6题，5分 2022年天津卷，第2题，5分 2021年全国甲卷，第7题，5分 从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法； （2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题． 四、考点梳理 考点1．充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 考点2．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 考点3．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 重难点题型(一) 充分条件与必要条件的判断 例1．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2024·四川成都·三模）设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2024·河南·模拟预测）设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．（2024·河北衡水·三模）已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1】．（2024·安徽芜湖·三模）设，则“”是“为的等比中项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3】．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式训练4】．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 重难点题型(二) 根据充分必要条件求参数的取值范围 例5．（2023·四川甘孜·一模）设.若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．（2012·浙江宁波·一模）已知集合，，的充要条件是（ ） A． B． C． D． 例7．（21-22高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】．（2022·全国·模拟预测）已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（2020·四川绵阳·模拟预测）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A．(-∞，3] B．[2，3] C．(2，3] D．（2，3） 【变式训练7】．（2020·四川成都·二模）已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(三) 全称量词命题与存在量词命题的真假 例8．（2024·陕西商洛·模拟预测）下列判断正确的是（    ） A．若是一次函数，且满足，则 B．命题“，”的否定是“，” C．在中，是的必要不充分条件 D．若函数在区间上单调，则 例9．（2024·宁夏银川·一模）下列结论正确的个数有（    ）个 ①是的充要条件 ②已知实数、满足，则的最小值为 ③命题“，”的否定是“，” ④关于x的不等式有解，实数a的范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练8】．（2023·四川绵阳·一模）以下说法正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”成等比数列的充分必要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【变式训练9】．（2023·湖南郴州·二模）下列说法中，其中正确的是（    ） A．命题：“，”的否定是“，” B．的最小值为2 C．中 D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为 重难点题型(四) 全称量词命题与存在量词命题的否定 例10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 例11．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例12．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】．（2024·四川遂宁·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】．（2024·四川成都·二模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】．（2022·吉林·三模）设命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 重难点题型(五) 根据命题的真假求参数的取值范围 例13．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 例14．（22-23高三上·山东德州·期中）已知命题.若为假命题，则的取值范围为 . 例15．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13】．（2023·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 【变式训练14】．（2017·山西太原·三模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式训练15】．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2024·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．（2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 常用的逻辑用语 目录 一、考纲要求 1.了解命题的概念； 2.了解“若p，则q”形式的命题，能理解全称量词与存在量词的意义； 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义； 4.熟练掌握全程量词与存在量词的否定。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）必要条件、充分条件、充要条件； （2）全称量词与存在量词； （3）全称量词命题与存在量词命题的否定． 2024年新课标Ⅱ，第2题，5分 2024年全国甲卷，第9题，5分 2023年新课标Ⅱ，第7题，5分 2022年北京卷，第6题，5分 2022年天津卷，第2题，5分 2021年全国甲卷，第7题，5分 从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法； （2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题． 四、考点梳理 考点1．充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 考点2．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 考点3．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 重难点题型(一) 充分条件与必要条件的判断 例1．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立. 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例2．（2024·四川成都·三模）设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先利用在上单调递增，根据条件及图象与性质，得到，再根据，得不到在上单调递增，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】若在上单调递增，可得，所以， 则有，由图象与性质知， 又，所以， 又，则有，所以，故满足“必要条件”； 但当时，对于，无法成立，故不满足“充分条件”， 故选：B. 例3．（2024·河南·模拟预测）设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据空间公理确定平面；再根据面面平行的判定定理和性质可得出充分性成立；最后根据面面平行的性质及线面位置关系可得出必要性不成立. 【详解】设两条相交的直线，确定一个平面， 因为，，直线，相交，，， 所以根据面面平行的判定定理可得：， 又因为，，直线，相交，，， 所以根据面面平行的判定定理可得： ， 所以，充分性成立； 由，，可的：，或，，必要性不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 例4．（2024·河北衡水·三模）已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由函数是奇函数，可求得，可得结论. 【详解】若函数是奇函数， 则恒成立，即， 而，得． 故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式训练1】．（2024·安徽芜湖·三模）设，则“”是“为的等比中项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“为的等比中项”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】取，满足，但不成等比数列， 故“”推不出“为的等比中项”； 当为的等比中项时，必有成立， 故“”是“为的等比中项”的必要不充分条件， 故选：B 【变式训练2】．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性： 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 同理可得，， 故充分性得证； 必要性： 因为，所以， 因为，所以， 若，则， 若，则，所以， 综上，， 同理， 所以为锐角三角形， 必要性得证， 综上所述，为充分必要条件. 故选：C. 【变式训练3】．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立. 【详解】若，则，则，故充分性成立； 若，设，则，， 则，或与不一定相等，则必要性不成立， 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 【变式训练4】．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 重难点题型(二) 根据充分必要条件求参数的取值范围 例5．（2023·四川甘孜·一模）设.若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对，进行化简，然后利用充分不必要条件的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为， 所以， 若是的充分不必要条件，则， 解得，， 故选：A. 例6．（2012·浙江宁波·一模）已知集合，，的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】,结合数轴知，且，所以 例7．（21-22高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求得单调性和最小值，结合题意，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且， 因为函数在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以， 结合选项，可得时函数在上单调递增的一个充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练5】．（2022·全国·模拟预测）已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由p、q分别定义集合和，用集合法求解. 【详解】由选项可判断出m≥0. 由q：“”可得：. 由p：“”可得：. 因为p是q的必要不充分条件，所以A. 若m=0时，，A不满足，舍去； 若m>0时，. 要使A，只需m>1. 综上所述：实数m的取值范围是. 故选：D 【变式训练6】．（2020·四川绵阳·模拟预测）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A．(-∞，3] B．[2，3] C．(2，3] D．（2，3） 【答案】C 【分析】先求得命题为真时的的范围，根据是的充分不必要条件，列出不等式组，求得的范围. 【详解】由，所以，又，， 因为是的充分不必要条件，所以，解得即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 【变式训练7】．（2020·四川成都·二模）已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出命题不等式的解为，是的必要不充分条件，得是的子集，建立不等式求解. 【详解】解：命题，即: ， 是的必要不充分条件， ， ，解得．实数的取值范围为． 故选：． 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法： (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验． 重难点题型(三) 全称量词命题与存在量词命题的真假 例8．（2024·陕西商洛·模拟预测）下列判断正确的是（    ） A．若是一次函数，且满足，则 B．命题“，”的否定是“，” C．在中，是的必要不充分条件 D．若函数在区间上单调，则 【答案】B 【分析】利用待定系数法判断A，根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据正弦定理判断C，利用导数求出函数的单调性，从而得到不等式（组），即可求出参数的取值范围，即可判断D. 【详解】对于A：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故A错误； 对于B：命题“，”的否定是“，”，故B正确； 对于C：在中，由正弦定理可得，则，即充分性成立， 反之，若，则，由正弦定理可得，即必要性成立， 所以是的充要条件，故C错误； 对于D：的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上单调，所以或， 解得或，故D错误. 故选：B 例9．（2024·宁夏银川·一模）下列结论正确的个数有（    ）个 ①是的充要条件 ②已知实数、满足，则的最小值为 ③命题“，”的否定是“，” ④关于x的不等式有解，实数a的范围是或. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由存在量词命题的否定：存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得求参数范围判断④. 【详解】①由，即同号，故；由，即同号，故， 所以是的充要条件，正确； ②因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，错误； ③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题， 命题“，”的否定是“，”，正确； ④由题设，解得或，正确. 故选：C 【变式训练8】．（2023·四川绵阳·一模）以下说法正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”成等比数列的充分必要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案. 【详解】A选项，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误. B选项，因为由，得，即， 所以命题“，”的否定是“，”，B选项错误. C选项，当时，有，但此时“”不是等比数列；当“”成等比数列时，有，即， 所以“”是“”成等比数列的必要不充分条件，C选项错误. D选项，当时，有；当时，有； 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D选项正确. 故选：D. 【变式训练9】．（2023·湖南郴州·二模）下列说法中，其中正确的是（    ） A．命题：“，”的否定是“，” B．的最小值为2 C．中 D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为 【答案】D 【分析】由特称命题的否定判断A；令，换元处理后应用基本不等式求目标式的最值，注意取值条件判断B；由并写出对应通项公式，进而判断C；根据已知及线面垂直的判定证面，结合为等边三角形，线面垂直模型求外接球半径，进而求体积判断D. 【详解】A：由特称命题的否定为全称命题，原命题的否定为，，错； B：令，则， 当且仅当时等号成立，显然等号不能成立，最小值不为2，错； C：，则展开式通项为， 令，则，错； D：由，则，即， 中，令，则， 所以，又， 所以，即， 由，面，则面， 由题意为等边三角形，其外接圆半径， 根据线面垂直模型，棱锥外接球半径，故体积为，对.    故选：D 重难点题型(四) 全称量词命题与存在量词命题的否定 例10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】根据全称命题的否定，得为：. 故选：A. 例11．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：D. 例12．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. 故选:B 【变式训练10】．（2024·四川遂宁·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则为：， 故选：D. 【变式训练11】．（2024·四川成都·二模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为存在命题，任意变存在，范围不变，结论相反， 则命题“”的否定是“”， 故选：B. 【变式训练12】．（2022·吉林·三模）设命题：，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题可得， 故选：C 重难点题型(五) 根据命题的真假求参数的取值范围 例13．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先给出命题p的否定，由函数的单调性进行求解. 【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而， 得， 故答案为： 例14．（22-23高三上·山东德州·期中）已知命题.若为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题，从而转化为恒成立，利用导数研究最值，即可求出的取值范围. 【详解】为假命题 为真命题，故， 令，则， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 例15．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 【变式训练13】．（2023·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 【变式训练14】．（2017·山西太原·三模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】即””为真命题，所以，x=1时取等号．所以m>2,填． 【变式训练15】．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题，所以． 令与在上均为增函数， 故为增函数，当时，有最小值，即， 故选：A． 1．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2．（2024·全国·高考真题）已知向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 4．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 6．（2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$