精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

汽开区2023−2024学年度第二学期期末核心素养调研 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，可以表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，当变化时，随的增大而减小，则常数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列容器中，当空置容器匀速注入液体时，液面高度随时间的变化如图所示，则对应容器的形状为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（ ） A. 先变大，后变小 B. 先变小，后变大 C. 当点O在中点处时，周长最大 D. 保持不变 8. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，点在边上，且，点、分别是线段、上的动点，连结、．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知一组数据：10，8，9，8，5，则这组数据的众数是________ 10. 在中，，则的大小为________度． 11. 若点与点关于轴对称，则的值为________． 12. 如图，在中，，，和相交于点，四边形的面积是6，，则四边形的面积是________． 13. 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度，边长，则每个菱形最高点和最低点的距离的长为________． 14. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）． （2）． 16. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 17. 自“双减”以来，某校课后服务活动丰富多彩，开设了“篮球特色班”并设置考评机制进行海选，考评的最终成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项按照的比例计入最终考评成绩，凡是最终考评成绩超过90即可入选．下表列举了甲、乙两名同学在各个项目上的得分（百分制）．请计算并说明甲、乙同学的人选情况． 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 88 乙 88 90 96 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． （1）求点的坐标． （2）求反比例函数解析式． （3）当时，的取值范围是________． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出以为对角线的矩形． （2）在图②中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为4． （3）在图③中画出以为一边的菱形．使其面积为4． 20. 药物研发机构为对比研究某种药物对甲、乙两种流感(简称甲流、乙流)的疗效，需要检测患者体内的药物浓度m和病毒载量n两个指标，该机构分别在服用该药物的甲流患者和乙流患者中，各随机选取15人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这30名被调查者中，药物浓度m不低于7的有______人； （2）将15名服用药物的甲流患者的病毒载量n的方差记作，15名服用药物的乙流患者的病毒载量n的方差记作，则___（填“>”、“=”或“<”）； （3）将“药物浓度，病毒载量”作为该药物“有效”的依据，药物正式投入市场后，请你估计服用该药物的600名甲流患者中“有效”的人数． 21. 如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则的长为________． 22. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程与时间之间的函数关系如图所示． （1）慧慧比聪聪晚出发________秒． （2）求慧慧提速后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为________． 23. 在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． （1）若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 24. 【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开区2023−2024学年度第二学期期末核心素养调研 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．根据题中二次根式的被开方数为非负数列出不等式求解即可得到答案． 【详解】由题意得： 解得： 故选：B． 2. 下列图形中，可以表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的概念，熟记函数的定义是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答． 【详解】解：由函数的定义，可知D选项中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，符合函数定义， 故选：D． 3. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可． 【详解】解：由题意可得：反比例函数的系数， ∴反比例函数位于二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C．，此选项计算正确； D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念． 5. 已知一次函数，当变化时，随的增大而减小，则常数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性即在 中，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小即可求解． 【详解】解：依题意得， 解得：， 故选：B． 6. 下列容器中，当空置容器匀速注入液体时，液面高度随时间的变化如图所示，则对应容器的形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数图象，考查方式是给出函数图象，还原实际情况，此类顺目需特别注意函数图象的起点、拐点和终点，若有多个函数图象，还需注意图象交点． 【详解】从函数图象上观察得，注入液体时，随着时间t的增加，液面高度也在不断增加，但是，增加的速度是由慢→快→慢→快，在注入液体速度一定的情况下，容器的口径从下到上应该是大→小→大→小 故选：C． 7. 如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（ ） A. 先变大，后变小 B. 先变小，后变大 C. 当点O在中点处时，周长最大 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，点在边上，且，点、分别是线段、上的动点，连结、．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P分别作，延长交于H，先证明四边形是矩形，再根据角平分线定理得出，即可得到四边形是正方形，即可求解． 【详解】过点P分别作，延长交于H， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵平分，， ∴ ∴四边形是正方形 ∵ ∴，即 ∵， ∴四边形是矩形 ∴，即 ∵ ∴与重合，与重合 ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线定理，作出适当的辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知一组数据：10，8，9，8，5，则这组数据的众数是________ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据题意，依据众数的定义就可以直接写出答案． 【详解】解：众数指一组数据中出现次数最多的数据，8出现的次数最多，所以众数是8 故答案为：8． 10. 在中，，则的大小为________度． 【答案】75 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，求出，再求出即可； 本题考查了平行四边形的性质，能根据平行四边形的性质得出是解此题的关键． 【详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：75． 11. 若点与点关于轴对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数：(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴ 解得： 则 故答案为：． 12. 如图，在中，，，和相交于点，四边形的面积是6，，则四边形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行线四边形的判定与性质，先说明四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，再根据，等高即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形 ∵ ∴ ∵，等高，四边形的面积是6， ∴四边形的面积是3 故答案为：3． 13. 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度，边长，则每个菱形最高点和最低点的距离的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质以及勾股定理，连接，交于点O，根据菱形的性质在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形 ∴ ∴在中，， ∴ ∴ 故答案为：10． 14. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， 由于， 所以经过第2024次运动后，动点P的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键； （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化，然后化简各二次根式即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 16. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 又 即 四边形为平行四边形． 17. 自“双减”以来，某校课后服务活动丰富多彩，开设了“篮球特色班”并设置考评机制进行海选，考评的最终成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项按照的比例计入最终考评成绩，凡是最终考评成绩超过90即可入选．下表列举了甲、乙两名同学在各个项目上的得分（百分制）．请计算并说明甲、乙同学的人选情况． 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 88 乙 88 90 96 【答案】甲、乙同学都入选 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键；根据加权平均数的定义计算出甲、乙同学的最终成绩，再与90比较即可得出答案 【详解】解：甲同学的最终成绩为： 乙同学的最终成绩为： ∵， ∴甲、乙同学都入选 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． （1）求点的坐标． （2）求反比例函数解析式． （3）当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质熟练掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质是解决问题的关键． （1）根据正方形面积为4得，即可求解； （2）根据反比例函数比例系数的几何意义得：，即可求解； （3）对于，当时，，根据反比例函数的性质即可求解 【小问1详解】 ∵四边形为正方形，且面积为4 ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限内， ∴点 【小问2详解】 ∵点在反比例函数的图象上，四边形为正方形，且面积为4 ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵反比例函数的图象在第二、四象限 ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为： 【小问3详解】 对于，当时， ∵反比例函数，在每一个象限内，y随x增大而增大，且函数的图象与坐标没有交点 ∴当时， 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出以为对角线的矩形． （2）在图②中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为4． （3）在图③中画出以为一边的菱形．使其面积为4． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作一个底为3，高为2的矩形即可； （2）作一个底为2，高为2的平行四边形即可； （3）作一个对角线分别为2，4的菱形即可． 【小问1详解】 如图，矩形即为所求 【小问2详解】 如图，平行四边形即为所求 【小问3详解】 如图，菱形即为所求 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 药物研发机构为对比研究某种药物对甲、乙两种流感(简称甲流、乙流)的疗效，需要检测患者体内的药物浓度m和病毒载量n两个指标，该机构分别在服用该药物的甲流患者和乙流患者中，各随机选取15人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这30名被调查者中，药物浓度m不低于7的有______人； （2）将15名服用药物的甲流患者的病毒载量n的方差记作，15名服用药物的乙流患者的病毒载量n的方差记作，则___（填“>”、“=”或“<”）； （3）将“药物浓度，病毒载量”作为该药物“有效”的依据，药物正式投入市场后，请你估计服用该药物的600名甲流患者中“有效”的人数． 【答案】（1）4 （2）< （3）280人 【解析】 【分析】本题考查统计图的应用及数据的分析． （1）直接根据图象作答即可； （2）分析服用甲种药物患者的病毒载量与服用乙种药物患者的病毒载量的波动性可以得到解答； （3）用“药物浓度，病毒载量”的甲流患者占被调查甲流患者人数的比率乘以600即可得到答案 【小问1详解】 解：由统计图可得在30名被调查者中，药物浓度m不低于7的有4人； 故答案为：4； 【小问2详解】 从统计图中可以看出，甲流感患者的病毒载量比乙流感患者的病毒载量波动性要小，所以<； 故答案为：； 【小问3详解】 通过统计图可以得到“药物浓度，病毒载量”的甲流患者占被调查甲流患者人数的比率为， ∴有（人）， 答：服用该药物的600名甲流患者中“有效”的人数为280人． 21. 如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，则的长为________． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 22. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程与时间之间的函数关系如图所示． （1）慧慧比聪聪晚出发________秒． （2）求慧慧提速后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为________． 【答案】（1）11 （2） （3）140 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题关键． （1）根据图像信息直接得出答案即可； （2）先求出慧慧原来的速度，然后求出点C的坐标，再根据待定系数法求出函数解析式即可； （3）分慧慧出发前，慧慧出发后，提速前，慧慧提速后，相遇前，慧慧与聪聪相遇后，到慧慧停止运动的过程中，当慧慧停止运动时，分别求出最大值即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据图可知：慧慧比聪聪晚出发； 故答案为：11； 【小问2详解】 解：慧慧开始运动的速度为：， 慧慧从点B运动到点C所用的时间为： ， 点C的坐标为：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问3详解】 解：根据图象可知，点A的坐标为， 设段对应的函数表达式为， 将点A的坐标代入，可得， 解得：， ∴； 设慧慧提速前函数表达式为，把将，代入得： ， 解得：， ∴， 当慧慧出发前，聪聪和慧慧之间距离的最大值为： ； 当慧慧出发后，提速前，聪聪和慧慧之间距离为： ， 当时，取最大值，最大值为： ， 即此时聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 慧慧提速后，相遇前，由于在提速前它们之间的距离就在不断减小，所以提速后它们之间的距离也一定在不断减小，它们间的最大距离不会出现在此过程中； 慧慧与聪聪相遇后，到慧慧停止运动的过程中，聪聪和慧慧之间距离为： ， 当时，取最大值，最大值为； 当慧慧停止运动时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小，所以当慧慧一开始停止时，它们间的距离是最大的，最大值为； 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为． 故答案为：140． 23. 在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． （1）若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 【答案】（1）①E ② （2）① ② 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点"的定义并运用是解题的关键； （1）由同和点的定义可求解；由同和点的定义可求解； （2）由同和点的定义，列出等式可求解；由同和点的定义，列出等式可得． 【小问1详解】 ①∵点的坐标为 ∴ ∵点，、 ∴ ∴点的“同和点”的是E ②点在轴上，且、两点为“同和点”， ∴ 【小问2详解】 ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时， ∴ ∵点与点为“同和点”， 设 ∴ ∴ ∴点的坐标为 设 ∵点与点为“同和点”， ∴ ∴ ∵点为线段上一动点 ∴ ∴ 24. 【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】模型探究：证明见解析；迁移应用：（），；（）；拓展延伸：存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】模型探究：利用余角性质可得，再由即可证明； 迁移应用：（）分别把和代入函数解析式计算即可求解；（）过点作，交直线于点，过点作轴于点，由旋转可得，可得为等腰直角三角形，得到，同理可得，进而得到，再利用待定系数法即可求解； 拓展延伸：由函数解析式可得，，再根据题意画出图形，分三种情况解答即可求解； 【详解】解：模型探究：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移应用：（）把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：，； （）过点作，交直线于点，过点作轴于点，则， 由旋转可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理模型探究可得， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线所对应的函数表达式为， 故答案为：； 拓展延伸：存在． 对于，当，；当，， ∴，， ①当为正方形的一边时，如图，分别过作轴于，轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴, ∴， 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点的坐标就是①中点的坐标，点为①中的点，即点的坐标为 ③当为正方形的对角线时，如图，过点作轴垂线，垂足为点，过作于点，则， 同理可证， ∴，， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $