精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末质量监测 八年数学 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的） 1. 下列医疗或救援标识中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可． 【详解】解：A.a2+（-b）2=a2+b2，不能使用； B.5m2-20mn=5m（m-4n），不能使用； C.-x2-y2=-（x2+y2），不能使用； D-x2+25=（5-x）（5+x），可以使用平方差公式． 故选D． 【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)是解答本题的关键． 3. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边都乘以，从而可得答案． 【详解】解：∵， 去分母得：， 整理得：， 故选A． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键． 4. 在菱形中，，，则长为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，关键是熟练掌握菱形的性质．连接交于点O，先证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求出，可得，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5. 一元一次不等式组的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可. 【详解】解： 解不等式得： 结合得：不等式组的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 6. 如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意； C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 70° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，则△ACE是等腰直角三角形，得∠CAE＝∠E＝45°，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC， ∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴∠CAE＝∠E＝45°， ∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+25°＝70°， 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证出∠E＝45°是解题的关键． 8. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 9. 已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵AD平分， ∴∠BAD=45°， ∵， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴AP=PE， ∴， ∵AB=AE， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键． 10. 定义，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义,变形方程求解即可 【详解】∵, ∴变形为, 解得 ， 经检验 是原方程的根， 故选B 【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解， 本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解： ． 12. 如图，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边共线，则的度数是______． 【答案】48° 【解析】 【分析】先求出每个正多边形的内角，再求出各自的外角，再把两个外角放入△BOE中，求出∠BOE的度数． 【详解】解：正六边形内角=，外角=180°-120°=60°， 正五边形内角=，外角=180°-108°=72°， 在△BOE中，∠OBE=60°，∠OEB=72°， ∴∠BOE=180°-60°-72°=48°． 故答案为48°． 【点睛】本题考查用正六边形和正五边形组合形成的新三角形内角，掌握正多边形内角度数公式是本题解题关键． 13. 不等式的最大整数解是________． 【答案】5 【解析】 【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再确定最大整数解即可． 【详解】解： ， 所以不等式的最大整数解是： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，及求解不等式在最大整数解，掌握以上知识是解题的关键． 14. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得，即可求得旋转的角度． 【详解】∵为的平分线，， ∴， ∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分当点D在上时，当点D在延长线上时，两种情况分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N，，再根据图形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当点D在上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴ 如图所示，当点D在延长线上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N， 同理可得， ∴ ； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解一元一次不等式： （1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． 【详解】解：（1） （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，利用分式的除法和乘法法则计算即可． 【详解】解： 18. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，移项化简可得M的值，再由，可得P的值； （2）算出P的值，先提取公因数，再用公式法即可因式分解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得：， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，． 【点睛】本题考查多项式的加减、因式分解的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解的方法是解决本题的关键． 19. 《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？ 【答案】《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程的应用；设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据等量关系：用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，列出分式方程即可求解；根据等量关系列出方程是解题的关键，注意解分式方程要检验． 【详解】解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意，得， 解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以（元）． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元． 20. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 【答案】（1）详见解析；（2）13． 【解析】 【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可； （2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵BM⊥AC，DN⊥AC， ∴DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形； （2）∵四边形BMDN是平行四边形， ∴DM=BN， ∵CD=AB，CD∥AB， ∴CM=AN，∠MCE=∠NAF， ∵∠CEM=∠AFN=90°， ∴△CEM≌△AFN， ∴FN=EM=5， 在Rt△AFN中，AN===13． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【解析】 【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16是原方程的解； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元， ∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 23. 如图，正方形的边长为6，点M为的中点，为等边三角形，过点E作的垂线分别与边相交于点F， G，点P，Q分别在线段上运动，且满足，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）当点Q在线段上时，求的值； （4）点B关于的对称点为，若点落在的边上时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）连接，证明，可得，在中，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解； （3）过点F作于点H，则，由（2）可得，，，从而得到，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，可得，，然后根据，可得，从而得到，即可求解； （4）先证明是等边三角形， 然后两种情况当点落在边上时，当点落在边上时，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，且，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6，点M为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点F作于点H，则， 由（2）得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 如图，当点落在边上时，此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴； 如图，当点落在边上时，此时； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的的性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的折叠问题，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想确定动点的位置是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末质量监测 八年数学 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的） 1. 下列医疗或救援标识中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形中，，，则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 5. 一元一次不等式组解集为( ) A. B. C. D. 6. 如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 70° D. 75° 8. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 9. 已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 如图，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边共线，则的度数是______． 13. 不等式的最大整数解是________． 14. 如图，为平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 15. 如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式：． 17. 计算：． 18. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 19. 《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？ 20. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 21. 如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，正方形边长为6，点M为的中点，为等边三角形，过点E作的垂线分别与边相交于点F， G，点P，Q分别在线段上运动，且满足，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）当点Q在线段上时，求的值； （4）点B关于的对称点为，若点落在的边上时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$