专题 与绝对值有关的化简求值问题6大题型提分练（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

重难点突破02 与绝对值有关的化简求值问题 题型一 根据字母的取值范围化简求值 1．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，化简 ． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）当时，化简： ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，化简所得结果（　　） A． B． C． D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）代数式化简后的结果不可能是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知点在数轴的位置化简求值 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知：数在数轴上的对应点如图所示，化简的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求的值． (2)化简． 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则化简的结果为 ． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)的值为________． (2)化简 题型三 化简|x|/x型绝对值 1．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 题型四 利用零点分段法化简求值 1．（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 2．（23-24七年级上·重庆开州·阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题： (1)的零点值是______．方程的解为______． (2)化简代数式； 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 在形如这一类含有绝对值的方程时，为了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“”，可以根据绝对值的意义先对“x”的取值分成和两种情况，再去绝对值符号： ①当时，原方程可化为，得，不符合，舍去； ②当时，原方程可化为，得，符合． 综合可得原方程的为． (1)方法应用：解方程： (2)拓展应用：方程：；（提示；可以考虑先对“x”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后；再对“x”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号） (3)迁移应用：①求最小值为______． ②最小值为______． 题型五 解含绝对值方程 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 2．（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 3．（23-24七年级上·江西南昌·期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是__________． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由． (4)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由． (5)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由． 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数x，a，b，t，若，则称a和b关于x的“美好关联数”为t，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为_______； (2)若和3关于x的“美好关联数”为7，求x的值； (3)若1和2关于x的“美好关联数”为，3和4关于x的“美好关联数”为，5和6关于x的“美好关联数”为，…，101和102关于x的“美好关联数”为，…． ①的最小值为_______； ②求的最小值． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示7和3的两点之间的距离是___________； ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________； ③数轴上表示和5的两点之间的距离是___________． （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于___________． （3）应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么___________． ②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值． ③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的 距离等于 (1)如果，那么_____； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_____； (3)当____时，的值最小，最小值是_____． (4)若有理数a、b、c满足，，则______． 题型六 与化简求值有关的新定义问题 1．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，. (1)计算：______，______； (2)设，试比较的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值. 3．（23-24七年级上·山东济宁·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数和，定义一种新运算“”，规定：． (1)计算的值； (2)若，在数轴上所表示的点的位置如图所示，化简． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破02 与绝对值有关的化简求值问题 题型一 根据字母的取值范围化简求值 1．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，化简 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的化简、整式的加减、不等式的性质，先求出代数式的范围，再化简绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）当时，化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值与整式加法的综合计算，先判断绝对值里的数为正数还是负数，再去绝对值符号进行化简．熟练掌握绝对值的意义、正确去掉绝对值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式=， 故答案为：4． 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，化简所得结果（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，由可得，即得，进而得，，再根据绝对值的性质即可化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 4．（2024七年级·全国·竞赛）代数式化简后的结果不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义． 【详解】解：当时， 原式； 当时， 原式； 当时， 原式； 故选：． 题型二 已知点在数轴的位置化简求值 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知：数在数轴上的对应点如图所示，化简的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴，整式加减．先根据数轴判断绝对值里面式子的符号，然后化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故选：D． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求的值． (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减运算； （1）根据、、在数轴上的位置，可知，且，即可求解； （2）根据（1）的结论，化简绝对值，进而合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：根据、、在数轴上的位置，可知，且， ∴ （2）∵，且 ∴ 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．由数轴上的点的位置及有理数的加减法则判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)的值为________． (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号： （1）根据题意可得，则，据此化简绝对值即可； （2）先推出，据此化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴ ； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴ ． 题型三 化简|x|/x型绝对值 1．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式 ， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出的取值范围，依此确定的取值范围，再去绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴得： ∴，，，， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 【答案】(1)1或，2或0或 (2)1或 【分析】本题主要考查了绝对值以及有理数的除法等知识点， （1）分别利用或分析得出答案；分或或或等情况讨论得出答案； （2）由得出中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数等情况讨论得出答案； 正确分类讨论得出答案是解题关键． 【详解】（1）若有理数a不等于零， 当时，， 当时，； ∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：1或；或2或0； （2）∵， ∴中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数， ∴当中有两个为正数，一个为负数时， 当三个都为负数时， ， ∴的值为1或． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 题型四 利用零点分段法化简求值 1．（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【答案】(1)和的零点值为，4 (2) 【分析】本题主要考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目意思，以及进行分类讨论的思想． （1）根据零点值的定义进行计算即可； （2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；，分这三种情况化简求值即可． 【详解】（1）解：令， 解得：，， ∴和的零点值为，4； （2）解：令， 解得：，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式． 2．（23-24七年级上·重庆开州·阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题： (1)的零点值是______．方程的解为______． (2)化简代数式； 【答案】(1)，；或； (2) 【分析】此题考查绝对值的意义，整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用，理解绝对值的几何意义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据零点值得概念令 和，即可得到零点值，再根据，，三种情况下的化简代数式建立方程，再解方程，结合 的范围可得方程的解． （2）仿照材料例题，令，，三种情况，结合绝对值的意义化简即可得到答案． 【详解】（1）解： 根据题意可得，令 和 ， 解得 或 的零点值是 或， 当 时， ， 解得：； 当时， ； 当 时，； 解得：； （2）由可得： 令 和 ，解得 和； 当时， ； 当时， ； 当 时， ； 综上， 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 在形如这一类含有绝对值的方程时，为了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“”，可以根据绝对值的意义先对“x”的取值分成和两种情况，再去绝对值符号： ①当时，原方程可化为，得，不符合，舍去； ②当时，原方程可化为，得，符合． 综合可得原方程的为． (1)方法应用：解方程： (2)拓展应用：方程：；（提示；可以考虑先对“x”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后；再对“x”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号） (3)迁移应用：①求最小值为______． ②最小值为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①2023；②30 【分析】本题考查了解一元一次方程，解绝对值方程，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）分两种情况讨论，和，两种情况分别去绝对值，然后解方程即可； （2）①分三种情况讨论，，，，三种情况分别去绝对值，然后解方程即可； （3）①分三种情况讨论，，，，三种情况分别去绝对值求出最小值即可；②仿照（3）①得到当时，有最小值，最小值为，当时，有最小值，最小值为，即可得到当时，取得最小值，最小值为． 【详解】（1）解：分两种情况： 当时，原方程可化为：，解得：，符合； 当时，原方程可化为：，解得：，不符合，舍去； ∴原方程的解为：； （2）解：分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，不符合，舍去； ∴原方程的解为：或； （3）解：①分三种情况讨论： 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，有最小值，最小值为2031； 故答案为：2031； ②同理可得当时，有最小值，最小值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当时，和同时取得最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：． 题型五 解含绝对值方程 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5， 【分析】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为； 故答案为：． （2）   或， 或；   故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．   故答案为：5；． 2．（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) (5)或 【分析】本题考查了数轴，绝对值，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据绝对值几何意义求出最小值即可； （4）将 变形为的形式再求最值即可； （5）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3， 由（2）可知， ∴当取最小值时，， 故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：； 故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为： ， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ， 综上，或． 3．（23-24七年级上·江西南昌·期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是__________． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出取小值，如果没有说明理由． (4)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由． (5)由以上探索是否存在，使，如果有写出的值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)，，，，，0，1，2 (3)有，9 (4)存在，或 (5)存在，或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值方程的应用，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）直接利用数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）由绝对值的几何意义可得可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和，再结合与之间的距离为7可得答案； （3）由绝对值的几何意义可得可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和，，再结合与之间的距离为9可得答案； （4）由的最小值为，此时，再分两种情况：当时， 当时，再化为一元一次方程求解即可； （5）由的最小值为，此时，再分两种情况：当时， 当时，再化为一元一次方程求解即可； 【详解】（1）解：， （2） ， 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， ， 因此这样的整数是， （3）有最小值，最小值为9．理由如下： 可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点6的距离之和， 因此当时，有最小值，最小值为； （4）∵，而的最小值为，此时， ∴当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， 即x的值为或8； （5）∵，而的最小值为，此时， ∴当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， 即x的值为或1013； 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数x，a，b，t，若，则称a和b关于x的“美好关联数”为t，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为_______； (2)若和3关于x的“美好关联数”为7，求x的值； (3)若1和2关于x的“美好关联数”为，3和4关于x的“美好关联数”为，5和6关于x的“美好关联数”为，…，101和102关于x的“美好关联数”为，…． ①的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)8 (2)或 (3)①4；②2601 【分析】本题考查了绝对值的应用，绝对值方程．解题的关键在于理解题意并正确的解绝对值方程． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，然后计算求解即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律，利用绝对值的意义求解，最后得出最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解： 和3关于x的“美好关联数”为7， ∴，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，此时无解， 故或； （3）解：①∵1和2关于x的“美好关联数”为， ∴， ∴在数轴上可以看作数x到1的距离与数x到2的距离和为， ∵3和4关于x的“美好关联数”为， ∴， ∴在数轴上可以看作数x到3的距离与数x到4的距离和为， ∴可以看作数x到1的距离与数x到2的距离与数x到3的距离与数x到4的距离的和， 根据绝对值的意义， 当时，取到最小值，为4， 故答案为：4； ②由①可知当时，取到最小值， 此时． ∴的最小值为2601． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示7和3的两点之间的距离是___________； ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________； ③数轴上表示和5的两点之间的距离是___________． （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于___________． （3）应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么___________． ②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值． ③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①4；②5；③8；（2）；（3）①或；②7；③7，见解析 【分析】（1）根据两点之间的距离较大的数较小的数可得结论； （2）因为不确定和的大小关系，所以数轴上表示数和数的两点之间的距离等于； （3）①根据绝对值的意义可得：，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出表示一点到，1，2三点的距离的和，据此可解． 本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是； 故答案为：4； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：5； ③数轴上表示和5的两点之间的距离是； 故答案为：8； （2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； 故答案为：； （3）①， ∴或， 解得：或； 故答案为：9或； ②∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴； ③最小值是7，理由如下： 表示一点到，1，2三点的距离的和， ∴当时，该式的值最小，最小值为． ∴当时，的值最小，最小值是7． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的 距离等于 (1)如果，那么_____； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_____； (3)当____时，的值最小，最小值是_____． (4)若有理数a、b、c满足，，则______． 【答案】(1)1或 (2)7 (3)； (4)8或4 【分析】本题考查数轴、绝对值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答． （1）根据数轴上两点之间距离的含义，结合绝对值方程的解法，可以解答本题； （2）分情况将绝对值去掉，从而可以解答本题； （3）分情况将绝对值去掉，可以解答本题； （4）根据分类讨论的数学思想分别画图，结合数形结合的思想可以解答本题； 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示a和两点之间的距离是3， 记作：， 解得或， （2）当时，， 当时，， 当时，， 使得的所有整数为：，，0，1，2，3，4， ， （3）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是9， （4）有理数、、满足，， ①当时，如图：    则； ②当时，如图：    则； ③当时，如图：    则； ④当时，如图：    则； 综上所述，或4， 题型六 与化简求值有关的新定义问题 1．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 【答案】(1)6 (2) (3)2 【分析】本题考查新定义运算，非负数的性质，化简绝对值，整式的加减运算： （1）根据平方、绝对值的非负性质求出a，b的值，再代入即可； （2）根据数轴判断出，，再化简约对值，去括号、合并同类项即可； （3）根据定义先计算，再计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得，， ∴ ； （2）解：由数轴知，，且， ∴，， 则 ； （3）解：∵， ∴ ， 则 ， 由得， 解得． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，. (1)计算：______，______； (2)设，试比较的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值. 【答案】(1)2，2 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新运算“”规则直接计算即可； （2）根据新运算“”规则表示出，即可比较大小； （3）根据新运算“”规则可得，令，分和两种情况，利用绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2，2； （2）解：，理由如下： ， ， ； （3）解： ，且， ， ， 令， 当时，， ， ，即， 解得， 当时，， ， ，即， 解得， 综上可知，x的取值范围为：， 满足条件的x的最小值为． 【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据新定义的法则，进行计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断的符号，再根据新定义的法则，进行计算即可； （3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可． 理解新运算的法则，正确的列出算式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由图可知：，， ∴ ∴； （3）∵，， ∴转化为：， ∴． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）对于有理数和，定义一种新运算“”，规定：． (1)计算的值； (2)若，在数轴上所表示的点的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数与数轴，去绝对值等，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）先根据数轴判断和b的符号，再根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义知： ； （2）解：由数轴可知：， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$