专题 与数轴有关的规律探索、动点问题8大题型提分练（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

重难点突破01 与数轴有关的规律探索、动点问题（8种题型） 题型一 与数轴有关的折叠问题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为3（A在B的左侧），且A，B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点C表示的数是，且，满足，． 若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·河北保定·期末）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴． （1）B，C两点之间的距离为 ． （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ． （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，Q点代表的数是 （用含m，n的式子表示这个数）． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：___________，B：___________． (2)若将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则： ①B点与哪个数表示的点重合？ ②若数轴上M、N两点之间的距离为2023（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，求M、N两点表示的数分别是多少？ 5．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 题型二 数轴上的循环规律问题 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上的四等分点对应的标签分别为“挑战自我”，标签“挑”对应点落在的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上8的位置点的标签是“ ”． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数. 4．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合． (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动，当点B第二次与数轴重合时，此时点B重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示的点与点B重合，数轴上表示的点与点C重合…），那么数轴上表示的点与圆周上哪个点重合？ 题型三 数轴上的变换规律问题 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上，点A表示的数是1，现将点A做如下移动：第1次将点A向左移动3个单位长度至点，第2次将点向右移动6个单位长度至点，第3次将点向左移动9个单位长度至点……按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 2．（23-24七年级上·山东日照·期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ） A．505 B． C． D．1009 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 题型四 与数轴有关的单动点 1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 2．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当 时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ． 题型五 与数轴有关的双动点问题（匀速） 1．（23-24七年级上·河南漯河·期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当时，t的值为 秒．    本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用．根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，点A，B，C，D在数轴上，点A表示的数是，点D表示的数是9，． (1)_________． (2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，，求t的值． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 4．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点表示的数为6，点在点的右边，且与的距离是10，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是____________； (2)点表示的数是____________（用含的代数式表示）；点表示的数是____________（用含的代数式表示）； (3)若点与点相距6个单位长度，则的值为____________； (4)若，则的值为____________； 5．（23-24七年级上·湖南永州·期中）如图，A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边，距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是____________； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，此时A、B两点间距离是多少？ (3)在（2）的条件下，现在A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，求经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 答：经过4秒或8秒，两点相距4个单位长度． 题型六 与数轴有关的双动点问题（变速） 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 素材2 动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动：当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索1 动点P从点A运动至点B需要______秒； 探索2 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）： 探索3 动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时开始运动，点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是___________； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)、两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 3．（23-24七年级上·重庆·期末）已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数抽向左运动，同时线段从点A开始沿数铀向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 题型七 与数轴有关的多动点问题 1．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）数轴上有不同两点A，B，点A表示的数为，点B表示的数为． (1)若点A表示的数的相反数是，求点表示的数． (2)若点A与点之间的距离为6，且点A在点的右侧，求的值． (3)在（1）的条件下，点A以3个单位每秒的速度向左运动，点B以1个单位每秒的速度向右运动，点C以2个单位每秒的速度从原点向右运动，三个点同时出发，运动时间为他t秒，当其中一个点是另外两个点的中点时，求t的值． 2．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸． 研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离为．已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为和6． （1）①A，B两点之间的距离为 ； ②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6（），则点R在数轴上对应的数为 ． （2）数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？ 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 题型八 与数轴有关的新定义问题 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段的中点，则点P对应的数__________； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，数轴上点、分别表示和6，动点以1个单位/秒的速度从点出发向负半轴方向运动，同时动点以2个单位/秒的速度从点出发，向负半轴方向运动，设运动时间为秒． (1)①当时，点在数轴上对应的数为______． ②当为何值时，点与点重合？ (2)若点从点出发，到达点后立即按原速返回，则在整个运动过程中，当为何值时，？ (3)对于数轴上的两条线段、，给出如下定义：若线段的中点与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”，若点表示的数是7，点表示的数为，线段是线段的“限中距线段”．请直接写出的最大值和最小值． 4．（23-24七年级上·北京海淀·期中）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点N的“倍分点”．例如，如图．在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“2倍分点”，原点也是点关于点的倍分点． 在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是4，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点．则点对应的数＝　　； (2)若点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数的值； (3)若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是 　　； (4)若点在数轴上，，且点是点关于点的“k倍分点”，则k的值是 　　； (5)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点运动t秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出t的值是 　　； (6)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点，的2倍点． 现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点恰好是点，的“2倍点”，请直接写出此时的t值是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破01 与数轴有关的规律探索、动点问题（8种题型） 题型一 与数轴有关的折叠问题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为3（A在B的左侧），且A，B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定数轴上表示的点与表示的点的中点表示的数是解题关键． 【详解】解：由题意得：数轴上表示的点与表示的点的中点表示的数为：， ∴ 故A点表示的数为， 故选：C 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点C表示的数是，且，满足，． 若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离．根据非负性，求出的值，进而求出的值，确定折叠中心表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将数轴折叠，使得点A与点C重合， ∴折叠的点为：， ∴与点B重合的点表示的数是； 故答案为：4． 3．（23-24七年级上·河北保定·期末）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴． （1）B，C两点之间的距离为 ． （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ． （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，Q点代表的数是 （用含m，n的式子表示这个数）． 【答案】 【分析】本题考查数轴的性质，关键在理解数轴对称求解对称点及距离的方法． （1）两点之间的距离，可用表示较大点的数减去较小点的数，即可； （2）依据两点重合，可知对称点，然后按照距离相等，即可求解； （3）如图可知中点的数为，又之间距离为即可求解． 【详解】解：①点表示的数为；点表示的数为； ∴、两点之间距离为：； 故答案为：； ②∵ 点A与点C重合，点A表示的数为，点表示的数为； ∴ 点A与点C的对称点表示的数为：； ∴ 与点重合点表示的数为：； 故答案为：； ③由题知，数轴上两点间的距离为； ∵表示数的点到两点的距离相等， ∴  点、中点表示的数为； ∴ 表示数的点到点的距离为：； ∵在左侧， ∴ 点代表的数为：． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：___________，B：___________． (2)若将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则： ①B点与哪个数表示的点重合？ ②若数轴上M、N两点之间的距离为2023（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，求M、N两点表示的数分别是多少？ 【答案】(1)； (2)①B点与0表示的点重合；②点M表示的数为，点N表示的数为 【分析】本题主要考查数轴和有理数，判断出对称点是解题的关键． （1）根据数轴概念直接读数即可； （2）①判断出对称点进行分析即可；②根据对称点为进行分析即可． 【详解】（1）解：根据数轴可以判断出A点表示的数为1，B点表示的数为： ． 故答案为：；． （2）解：①∵， ∴数轴是在处对折， ∴关于的对称点为， 即B点与0表示的点重合． ②解：∵数轴是在处对折， ∴点M、N关于对称， ∵， ∴点M距的长度为，点N的距离的长度为， 点M表示的数为，点N表示的数为． 5．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 题型二 数轴上的循环规律问题 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）如图，周长为4个单位长度的圆上的四等分点对应的标签分别为“挑战自我”，标签“挑”对应点落在的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上8的位置点的标签是“ ”． 【答案】战 【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，看余数是几，再确定和谁重合． 【详解】解：由图形可知，旋转一周，“我”对应的数是，“自”对应的数为，“战”对应的数为0，“挑”对应的数据为1，在数轴上到8的距离为， ， ∴落在数轴上8的位置点的标签是“战” 故答案为：战． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，数字类的规律探索，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、图形找规律、根据三角形为等边三角形，，建立方程，求出的值，得到点，，表示的数，再根据图形的的运动情况找出点的变化规律，即可求解． 【详解】解：等边三角形，点，，表示的数分别为，，． ，即， 点，，表示的数分别为、、，即等边三角形边长为， 将等边三角形继续向右滚动，则从即点开始3个为一循环，且循环为，，， ， 与表示数2024的点重合的点为， 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数. 【答案】7082 【分析】本题主要考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键． 根据长方形的周长及的长求出、的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，再计算，最后计算P点所对应的数． 【详解】解：∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵点A对应的数为， ∴点对应的数为5， 翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为； ∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2， ∴， ∴翻滚2022次有1011个周期， ∴， ∴P点所对应的数为． 故答案为：7082． 4．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】表示2021的点在的右侧，根据从点到2021共2022个单位长度，根据2022÷8＝252……6，是252圈余6个单位长度，所以对应的数字就是6． 【详解】解：∵正方形的周长为8个单位长度， ∴正方形的边长为2个单位长度， 表示2021的点与表示的点的距离等于个单位长度， ∵2022÷8＝252……6， ∴252圈余6个单位长度， ∴对应的数字是6，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是表示与2021的两点之间的距离与正方形周长的关系． 5．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 【答案】(1) (2) (3)①3；②9 【分析】（1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点； （3）①先判断每次滚动后点的位置，再根据所得结果判断点距离原点最近和点距离原点最远的出现的次数； ②根据正方形结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可． 此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点4向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以在滚动过程中，点经过数轴上的数； 故答案为：； （3）①因为5次运动后，点依次对应的数为： ； ； ； ； 所以第3次滚动后，点距离原点最远； ②由①可得: 当正方形结束运动时, 此时点表示的数是， ∴点表示的数为：， 故答案为：①3；②9． 6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合． (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动，当点B第二次与数轴重合时，此时点B重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示的点与点B重合，数轴上表示的点与点C重合…），那么数轴上表示的点与圆周上哪个点重合？ 【答案】(1)4个单位长度 (2)6 (3)点D 【分析】（1）利用圆的周长公式计算； （2）滚动一周点A的对应数为3，可列式，从而可求解； （3）此题需要寻找规律：每4个数一组，计算，可得表示的点是第506个循环组的第4个数D重合． 【详解】（1）解：， 答：4个单位长度． （2）滚动2周后点B对应的数是； 答：点B重合的点表示的数为6． （3）由图可知，A点对应的数是，B点对应的数是，C点对应的数是，D点对应的数是， ∴每4个数为一个循环组依次循环， ∵， ∴表示的点是第506个循环组的第4个数D重合． 【点睛】本题考查了数轴的基础知识，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 题型三 数轴上的变换规律问题 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上，点A表示的数是1，现将点A做如下移动：第1次将点A向左移动3个单位长度至点，第2次将点向右移动6个单位长度至点，第3次将点向左移动9个单位长度至点……按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 【答案】795 【分析】本题考查数轴上点的移动规律．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第次移动个单位．每左移右移各一次后，点A右移3个单位，故第530次右移后，点A向右移动个单位，据此求解即可． 【详解】解：第次移动个单位，每左移右移各一次后，点A右移3个单位， 故第530次右移后，点表示的数是． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·山东日照·期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ） A．505 B． C． D．1009 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．观察图形可知：，由，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：观察图形可知，点在数轴上，， ∵， ∴，点在数轴上， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律，是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，再推出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， ， 故选：B． 题型四 与数轴有关的单动点 1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由点A，B，C位置间的关系，可求出点C在数轴上表示的数为4，当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ， ， ， ∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ， ， 即或， 解得：或， 点P运动秒或秒，， 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当 时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ． 【答案】 2或 【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先求解B对应的数，再由，再建立方程求解即可； （2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到的最小值为，此时，再建立方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点表示的数为8，是数轴上一点，且， ∴，即对应的数为， 而运动中对应的数为：， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或； （2）当时， ∴ ， 当时，此时代数式有最小值； 当时， ∴ ， 当时， ∴ ， 当时，此时最小值为； 综上：的最小值为，此时， 当时，解得， 当时，解得， ∴． 故答案为：． 题型五 与数轴有关的双动点问题（匀速） 1．（23-24七年级上·河南漯河·期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当时，t的值为 秒．    【答案】或 【分析】 本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用．根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：点P表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，点A，B，C，D在数轴上，点A表示的数是，点D表示的数是9，． (1)_________． (2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，，求t的值． 【答案】(1)9 (2)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，线段的中点； （1）根据点A和点D所对应的点及线段长可得点B，点C所对应的数，即可解答； （2）根据点B和点C的运动，可表示出点B和点C所对应的点，建立方程即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，点D表示的数是9，线段，． ∴点B所对应的数为，点C所对应的数为， ． 故答案为：； （2）解：当运动时间为秒时，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为， ∵， ∴， 解得或． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 【答案】(1)1 (2)点所对应的数是或 (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是 【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． （）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）解：点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 4．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点表示的数为6，点在点的右边，且与的距离是10，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是____________； (2)点表示的数是____________（用含的代数式表示）；点表示的数是____________（用含的代数式表示）； (3)若点与点相距6个单位长度，则的值为____________； (4)若，则的值为____________； 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)6或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，数轴动点问题，绝对值的意义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）由的长结合点A所在的位置可得出点B表示的数； （2）由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （3）由点与点相距6个单位长度，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由点，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，且点在点的右边， 点B表示的数为； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 表示的数为，点表示的数为； （3）依题意，得：， 即或， 解得：或， 答：若点与点相距6个单位长度，则的值为或； （4）根据题意得，， ∵ ∴ 解得或． 答：若，则的值为6或． 5．（23-24七年级上·湖南永州·期中）如图，A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边，距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是____________； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，此时A、B两点间距离是多少？ (3)在（2）的条件下，现在A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，求经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)2 (2)A、两点间距离是12个单位长度 (3)经过4秒或8秒A，两点相距4个单位长度 【分析】（1）根据左减右加可求点B所对应的数； （2）先求出运动时间，然后根据运动速度，求出A、B两点间距离即可； （3）设经过秒长时间A，两点相距4个单位长度，根据两点间距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 故点所对应的数是2； 故答案是：2； （2）解：运动时间：（秒， （个单位长度）． 答：A、两点间距离是12个单位长度． （3）解：在（2）的条件下，的点在A点右边12个单位长度， 设经过秒长时间A，两点相距4个单位长度，依题意有： ， 解得或   答：经过4秒或8秒，两点相距4个单位长度． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离公式，一元一次方程的应用，用数轴上点表示有理数，正确理解数轴上的动点问题是解题的关键． 题型六 与数轴有关的双动点问题（变速） 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 素材2 动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动：当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索1 动点P从点A运动至点B需要______秒； 探索2 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）： 探索3 动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】15；；秒或秒 【分析】探索1：对应的距离除以对应段的速度，再把时间相加，即可求解， 探索2 ：点B表示的数加上，段的速度乘以段运动时间， 探索3：分两种情况分别讨论，即可求解， 本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，根据时间等于路程除以速度结合数轴上两点间距离列式求解即可得到答案． 【详解】解：探索1：∵点A表示，点B表示， ∴，， ∵P在段初始速度为3个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 故答案为：15； 探索2 ： ∵P的初始速度为3个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的3倍， ∴P在段速度为9个单位长度/秒， 由探索1可得：P在段运动时间为：秒， ∴， ∵点B表示， ∴P表示的数为：； 探索3：设t秒后， ①当P在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当P在上时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（秒）． ∴运动时间为秒或秒． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时开始运动，点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是___________； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)、两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 【答案】(1)，6； (2)19秒； (3)、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)2、、11、17或21． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，分5中情况列方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是， 故答案为：，6； （2）解：点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）解：由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）解：、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有5种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：． ②动点在上，动点在上，则：，解得：． ③动点在上，动点在上，则：，解得：． ④动点在上，动点在上，则：，解得：． ⑤动点在上，动点在点上，则：，解得：． 综上所述：的值为2、、11、17或21． 3．（23-24七年级上·重庆·期末）已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数抽向左运动，同时线段从点A开始沿数铀向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或或或 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①Q未到达C，Q在M右边1个单位时，②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，③返回，N在P右侧1个单位时，④返回，Q在M右边1个单位时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； （2）解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或或； （3）解： 当时，Q表示，P表示的数， 当时，Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， ①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时， ， 解得， ②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当时，Q表示，P表示的数， 当时，Q表示的数是，P表示的数是， 当时，Q表示的数是，P表示的数是，N表示的数是，M表示的数是， ③返回，N在P右侧1个单位时，， 解得， ④返回，Q在M右边1个单位时，， 解得； 综上所述，t的值是或或或． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 【答案】(1)，， (2)①，② (3) 【分析】（1）由可得：，，从而可求出、，再根据点到原点距离是点到原点距离的倍，可求出； （2）①把，用含有的式子表达，根据列出关于的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有的式子表达，然后再用含有的式子表达出，由的值始终保持不变，可令，分别得出的值，最后列出关于的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，， 点到原点距离是点到原点距离的倍，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ，， ， ， ； ②已知点以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动， ，， ， 第一种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ， ； 第二种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ∴， 解得，； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ∴， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，， ∵， ∴不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ∵， ∴不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ∵，符合题意， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 题型七 与数轴有关的多动点问题 1．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）数轴上有不同两点A，B，点A表示的数为，点B表示的数为． (1)若点A表示的数的相反数是，求点表示的数． (2)若点A与点之间的距离为6，且点A在点的右侧，求的值． (3)在（1）的条件下，点A以3个单位每秒的速度向左运动，点B以1个单位每秒的速度向右运动，点C以2个单位每秒的速度从原点向右运动，三个点同时出发，运动时间为他t秒，当其中一个点是另外两个点的中点时，求t的值． 【答案】(1)1； (2)1； (3)或或2． 【分析】（1）根据相反数的定义求出点A表示的数，建立方程，解方程即可求出x的值，带入即可求出点B表示的数； （2）根据点A在点的右侧可得到点A表示的数大于点表示的数，根据距离建立方程，解方程即可得到答案； （3）分别根据点B为中点，点C为中点和点A为中点三种情况建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点A表示的数的相反数是， ∴点A表示的数， ∴， ∴， ∴点表示的数 （2）解：∵点A与点之间的距离为6，且点A在点的右侧， ∴， ∴； （3）解：在（1）的条件下，运动之后点A表示为,点B表示为点C表示为 当点B为中点时， 解得； 当点C为中点时，， 解得， 当点A为中点时，， 解得， ∴或或． 【点睛】本题考查数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，根据数轴上两点的距离建立正确的方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸． 研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离为．已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为和6． （1）①A，B两点之间的距离为 ； ②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6（），则点R在数轴上对应的数为 ． （2）数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？ 【答案】（1）①；②或4；（2）或 【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）①根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②分点R在点A右边和点R在点A左边两种情况利用数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）设运动时间为t，则运动t秒后，点T表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为，据此求出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：（1）①由题意得，A，B两点之间的距离为， 故答案为：； ②当点R在点A右边时，则点R表示的数为； 当点R在点A左边时，则点R表示的数为； ∴点R表示的数为或4； （2）设运动时间为t，则运动t秒后，点T表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∵T点到A、B两点的距离相等， ∴， ∴或， 解得或； 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 【答案】(1)8 (2)当时，；当时，． (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题． （2）对点与点的位置进行分类讨论即可解决问题． （3）设运动时间为，用含有的代数式分别表示出及的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6， 所以． （2）解：因为点是的中点， 所以， 则点表示的数是2． 当时， ． 当时， ． （3）解：设运动的时间为， 则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为， 因为的中点为， 所以点所表示的数为． 因为中点为， 所以点所表示的数为， 所以，，， 所以． 题型八 与数轴有关的新定义问题 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3) 或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点P为线段的中点，则点P对应的数__________； (2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值． 【答案】(1)1 (2)或6； (3)或或． 【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案； （2）此题要分两种情况：①当P在左侧时，②当P在右侧时，再列出方程求解即可； （3）由点P恰好是点A，B的“友好点”，列出方程可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 【详解】（1）解：P为的中点，． 依题意得， 解得：． 故答案为：1； （2）由，若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P不可能在线段上，只能在A点左侧，或B点右侧． ①P在点A左侧，， 依题意得， 解得：； ②P在点B右侧，， 依题意得， 解得：． 故P点对应的数是或6； （3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为，点P对应的数为， ∵点P恰好是点A，B的“友好点”， ∴或， 解得：（舍去）或或或， ∴t的值或或． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，数轴上点、分别表示和6，动点以1个单位/秒的速度从点出发向负半轴方向运动，同时动点以2个单位/秒的速度从点出发，向负半轴方向运动，设运动时间为秒． (1)①当时，点在数轴上对应的数为______． ②当为何值时，点与点重合？ (2)若点从点出发，到达点后立即按原速返回，则在整个运动过程中，当为何值时，？ (3)对于数轴上的两条线段、，给出如下定义：若线段的中点与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”，若点表示的数是7，点表示的数为，线段是线段的“限中距线段”．请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)①；②当时，点与点重合 (2)当或时， (3)的最大值是18，的最小值是12 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，掌握两点间的距离公式，找准等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． （1）①根据两点间的距离求解即可；②根据相遇时两点的路程差为的长，列出方程求解即可； （2）分点到达点之前，和点从点返回，两种情况进行讨论求解即可； （3）先求出点表示的数为，根据定义，得到当在点左侧且时，点表示的数最小，当在点右侧且时，点表示的数最大，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，得：点表示的数为， ∴当时，点表示的数为； 故答案为：； ②由题意，得：，解得：； ∴当时，点与点重合 （2）点到达点所需时间为秒； ①当时，点表示的数为：， ∴，解得：； ②当时，点表示的数为， ∴，解得：， 综上：或； （3）由题意，点表示的数为， 当在点左侧且时，点表示的数最小：， 解得：； 当在点右侧且时，点表示的数最大：， 解得：． ∴的最大值是18，的最小值是12． 4．（23-24七年级上·北京海淀·期中）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点N的“倍分点”．例如，如图．在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“2倍分点”，原点也是点关于点的倍分点． 在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是4，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点．则点对应的数＝　　； (2)若点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为8，求此时点对应的数的值； (3)若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是 　　； (4)若点在数轴上，，且点是点关于点的“k倍分点”，则k的值是 　　； (5)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点运动t秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出t的值是 　　； (6)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点，的2倍点． 现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点恰好是点，的“2倍点”，请直接写出此时的t值是 　　． 【答案】(1)1 (2)或5 (3)3 (4)或 (5)1或2或4 (6)或或 【分析】（1）根据点到点、点的距离相等，列出方程求解即可； （2）根据点到点、点的距离之和为8，分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，再列出方程求解即可； （3）设点表示的数是x，根据点是点关于点的“5倍分点”，可得，再根据点在线段上，列出关于的一元一次方程，求解即可； （4）由点的位置及的长，分情况讨论点的位置，可得出点表示的数是或8，再根据“倍分点”的定义，即可求出值； （5）根据题意可得，，，分四种情况：①当时；②当时；③当时；④当时；根据“倍分点”的定义，列出方程即可求解； （6）由点恰好是点，的“2倍点”，可得点到点的距离是点到点的距离2倍或点到点的距离是点到点的距离2倍，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解： 为的中点， ， 点表示的数是，点表示的数是4， ，解得， 故答案为：1． （2）解：，点到点、点的距离之和为8， 点在线段点左侧或在点右侧， 点在线段点左侧时，，， ，解得， 点在线段点右侧时，，， ，解得， 点对应的数的值是或5． （3）解：设点表示的数是， 由题意得：， 点在线段上， 得方程：，解得， 点表示的数是3， 故答案为：3． （4）解：， 设点表示的数为， 当点在点左侧时，，解得， ， 又， ，解得， 当点在点右侧时，，解得， ， 又， ，解得， 的值为或， 故答案为：或． （5）解：点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ，， ，， 和不成立， ①当时，，解得， ②当时，，解得， ③当时，，解得， ④当时，，解得， 综上所述得的值为1或2或4， 故答案为：1或2或4． （6）解：由题意得，秒后，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是， 点恰好是点，点的“2倍点”，点到点的距离为：，点到点的距离为：， ①当点到点的距离是点到点的距离2倍时，，解得（舍去），， ②当点到点的距离是点到点的距离2倍时，，解得，， 的值是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，求数轴上两点间的距离，理解题意，掌握数轴上点到点的距离求法并利用分类讨论思想是解本题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$