专题 有理数混合运算的八种技巧（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

重难点突破03 有理数混合运算的八种技巧 题型一 凑整法 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，尽量用简便方法计算．本题利用加法的交换律凑整计算即可解题． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：原式 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． （2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2） ． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3)16 (4) 【分析】（1）运用有理数的加法、减法法则处理； （2）运用有理数的加法处理，可运用加法结合律简化运算； （3）可运算加法结合律、有理数加法、减法运算法则处理； （4）小数变形为分数，运用加法结合律、加法、减法运算法则处理． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查有理数的加减法，加法运算律；掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型二 拆项法 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解． （2）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数中的加减简便运算，根据示例结合有理数中的加减简便运算法则进行计算是解题的关键． 题型三 组合法 8．（23-24七年级上·广东东莞·期中）计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： 9．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）用适当的方法计第，并写清解题过程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据观察可得，即有25个相乘，再求解即可； （2）先把整数部分相加，再把分数部分相加即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据式子的特点找出计算的简便方法是解题的关键． 10．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据 ，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 12．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务， 高斯计算的故事 高斯，德国著名数学家，几何学家，毕业于布伦瑞克工业大学，1796年，高斯证明了可以利用尺规作正十七边形，1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长，1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图．高斯（8岁）在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 任务：（1）材料中运用了我们学过的运算律是________． A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 （2）计算：． 【答案】（1）C；（2）10000． 【分析】（1）根据材料中的计算过程进行回答即可； （2）进行适当变形后再运用高斯公式求解即可． 【详解】（1）材料中运用了我们学过的运算律是加法交换律和结合律， 故选：C； （2）． ． 【点睛】本题考查了有理数的运算律及有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题． 13．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________； ②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 【答案】(1)①；②； (2)第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． （1）①由每两个数为一组、其和为，共1011组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得． 【详解】（1）解：（1）①； ②； 故答案为：、； （2）根据题意知第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的 ． 题型四 相互转换法 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： ． 15．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 16．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）把除法转为乘法，再进行多个有理数相乘即可； （2）先计算乘方，再把除法转化为乘法再进行多个有理数相乘即可． 【详解】（1） （2） 17．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1） 仔细观察本题，通过调整，提出公因子，即可简算结果； （2）提出公因子，即可简算结果； （3）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，提出公因子，即可简算结果； （4）设 ，，即可简化运算过程，得出结果． 【详解】（1）解： ． （2） =2010000． （3） ． （4）设 ，， ． 题型五 裂项相消法 18．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握裂项相加是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（23-24七年级上·四川达州·期中）计算：已知，在此条件下，计算：… ． 【答案】 【分析】由绝对值的结果为非负数，且两非负数之和为可得两个绝对值同时为，可得 且，把代入可求出的值为，把求出的与代入所求的式子中，利用把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值． 【详解】解： ， ，且， 且， 解得且， 把代中， 解得， 则 ． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可； （2）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由前面4个等式的规律可得第5个等式的规律，即可完成求解； （2）利用（1）中的规律即可完成求解； （3）利用（1）中规律，把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 【详解】（1）解：由前面4个等式的规律，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题是规律探索问题及其应用，考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键． 22．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题． 我们知道， (1)仿写：__________，__________，__________． (2)直接写出结果：__________． 利用上述式子中的规律计算： (3)； (4)． 【答案】(1)，，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式，然后提出，即可求解． 【详解】（1）根据，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）原式， ， ， 故答案为：； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，寻找数字变化的规律，准确发现规律并能熟练应用是解题的关键．． 题型六 巧用分配律计算 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）（2023秋•泰州月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值； （2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法运算律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 26．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 题型七 倒数法 27．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 28．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 29．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律； （1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， ； 所以原式； 解法二：原式 ． 题型八 变形相加法 30．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② ②①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2) ．（结果用幂表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设①， 则②， ②①，得：， 即； （2）解：设①， 则②， ②①，得：， ∴， 故答案为：． 31．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 32．（23-24七年级上·四川内江·期中）为了求的值，可令，则，因此， 所以，． 仿照上面推理计算： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律、有理数的混合运算，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）设，则，，从而得到，即可得解； （2）：设，则，，从而得到，即可得解． 【详解】（1）解：设，则， ， ，即； （2）解：设，则， ， ，即． 33．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读下面文字，回答后面问题：求的值． 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得， ． 问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类变化规律、有理数的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）令将等式两边同时乘2得，由即可求得答案； （2）令，将等式两边同时乘3得，求出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：令 将等式两边同时乘2得， 得； （2）解：， 令， 将等式两边同时乘3得， 得， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破03 有理数混合运算的八种技巧 题型一 凑整法 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算： 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2)． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 题型二 拆项法 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 7．（2023七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 题型三 组合法 8．（23-24七年级上·广东东莞·期中）计算：的值． 9．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）用适当的方法计第，并写清解题过程． (1) (2) 10．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 12．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务， 高斯计算的故事 高斯，德国著名数学家，几何学家，毕业于布伦瑞克工业大学，1796年，高斯证明了可以利用尺规作正十七边形，1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长，1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图．高斯（8岁）在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 任务：（1）材料中运用了我们学过的运算律是________． A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 （2）计算：． 13．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________； ②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 题型四 相互转换法 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 15．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 16．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 17．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 裂项相消法 18．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： ． 19．（23-24七年级上·四川达州·期中）计算：已知，在此条件下，计算：… ． 20．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 21．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 22．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题． 我们知道， (1)仿写：__________，__________，__________． (2)直接写出结果：__________． 利用上述式子中的规律计算： (3)； (4)． 题型六 巧用分配律计算 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）（2023秋•泰州月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 24．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 25．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 26．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 题型七 倒数法 27．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 28．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 29．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 题型八 变形相加法 30．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② ②①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2) ．（结果用幂表示） 31．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 32．（23-24七年级上·四川内江·期中）为了求的值，可令，则，因此， 所以，． 仿照上面推理计算： (1)求的值； (2)求的值． 33．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读下面文字，回答后面问题：求的值． 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得， ． 问题： (1)求的值； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$