1.1.3（第1课时）集合的基本运算之交集与并集（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 知识点一 交集 ★1.基本概念 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 注意： (1)A∩B仍是一个集合． (2)“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. ★2.交集运算与子集关系的相互转化 ① ② 知识点二 并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 特别提醒 (1)运算结果:仍是一个集合,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成,公共元素只能出现一次(元素的互异性). (2)“或”的含义: 并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同生活中的,生活中的“或”只取其一,并不兼存;而并集中的“或”是指“或此”“或彼”,可兼有. 知识点三 交集、并集的运算性质及综合应用 ★1.交集、并集的性质： (1)A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B. (2)A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A. (3)A∩B⊆A∪B，A∩B＝A∪B⇔A＝B. ★2.性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 注意： (1)集合运算中注意对∅的讨论． (2)集合运算中注意数形结合方法(借助数轴和Venn图)的应用． 知识点四 交集、并集的运算律的拓展 ★1. 结合律： ★2. 分配律： 题型一 交集的概念及运算 解题技巧提炼 求两个集合的交集的方法 (1)定义法:对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可. (2)数形结合法:对于元素是连续实数的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上表示区域的公共部分,要注意端点值的取舍. 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】. 故选：. 2．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】解：， 故选：C． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为， 则. 故选：A 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 题型二 根据交集结果求集合或参数 解题技巧提炼 已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合是用列举法表示的,则可根据集合的运算结果确定集合中的元素,再列方程(组)求解,此时注意检验是否满足集合中元素的互异性 (2)若集合是用描述法表示的连续实数集,则可以借助数轴分析法列不等式(组)求解,此时注意端点值的取舍 5．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集的结果直接得到. 【详解】因为，且， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值； （2）由题意得出，求得值后，再代入检验． 【详解】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 7．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，转换为与的公共解问题，计算可求得； （2）若，原问题等价于方程无解，解方程即可求得m的范围. 【详解】（1）集合，， 当时，， 由方程组，解得：或， 所以 （2）若，即为：与无公共解， 原问题等价于方程：无解， 则，解得：. 所以实数m的取值范围. 题型三 并集的概念及运算 解题技巧提炼 求集合并集的两种基本方法 (1) 定义法:若集合是用列举法表示的,则可以直接利用并集的定义求解 (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的连续实数集,则可以借助数轴分析求解,此时需注意端点值的取舍. 8．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 9．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，则= ． 【答案】 【分析】依题意可得，再根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 则. 故答案为： 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【分析】易知图中阴影的部分表示为集合，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，图中阴影的部分表示为集合， 又， 所以. 故答案为： 题型四 根据并集结果求集合或参数 解题技巧提炼 已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合是用列举法表示的,则可根据集合的运算结果确定集合中的元素,再列方程(组)求解,此时注意检验是否满足集合中元素的互异性 (2)若集合是用描述法表示的连续实数集,则可以借助数轴分析法列不等式(组)求解,此时注意端点值的取舍 11．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，满足的的值为（    ） A．2 B． C．2和 D．1 【答案】A 【分析】根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】依题意，， 所以或， 解得或或， 当时，，不满足集合元素的互异性. 当时，，不满足集合元素的互异性. 当时，，满足. 所以的值为. 故选：A 12．（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合，，，则 . 【答案】 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，，， 则. 故答案为：. 13．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出集合A中的不等式，将代入集合B中不等式，求两个集合的交集； （2）由得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，所以. （2）因为，所以，显然集合B非空， 所以，得. 14．（22-23高一上·山东临沂·期末）设已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，利用并集概念求出答案； （2）根据并集结果得到包含关系，分与时，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，集合， 因为， 所以； （2）由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即，解得， 所以，解得； 所以实数a的取值范围是. 题型五 根据并集结果求集合元素个数 解题技巧提炼 先根据交集和并集运算性质把所求集合表示出来，再根据题目要求写出元素个数. 15．（23-24高一上·福建泉州·期中）集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【分析】根据交集和并集分析可得集合的元素个数最多有7个，进而求子集个数的最大值. 【详解】设集合分别有个元素， 由题意可知：，即， 可知：当且仅当时，取到最大值7， 即集合的元素个数最多有7个，所以集合的子集个数最多为个. 故选：D. 16．（多选）（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AB 【分析】根据交集、并集的知识列不等式，进而确定正确答案. 【详解】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为， 集合中元素个数分别为， 则， 因为， 且， 所以， 则，所以AB选项正确，CD选项错误. 故选：AB    17．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 18．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 【答案】19 【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案. 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集， 就是两者都爱好的，要使中人数最多，则， 要使中人数最少，则，即，解得， . 故答案为：19 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 知识点一 交集 ★1.基本概念 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 注意： (1)A∩B仍是一个集合． (2)“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. ★2.交集运算与子集关系的相互转化 ① ② 知识点二 并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 特别提醒 (1)运算结果:仍是一个集合,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成,公共元素只能出现一次(元素的互异性). (2)“或”的含义: 并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同生活中的,生活中的“或”只取其一,并不兼存;而并集中的“或”是指“或此”“或彼”,可兼有. 知识点三 交集、并集的运算性质及综合应用 ★1.交集、并集的性质： (1)A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B. (2)A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A. (3)A∩B⊆A∪B，A∩B＝A∪B⇔A＝B. ★2.性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 注意： (1)集合运算中注意对∅的讨论． (2)集合运算中注意数形结合方法(借助数轴和Venn图)的应用． 知识点四 交集、并集的运算律的拓展 ★1. 结合律： ★2. 分配律： 题型一 交集的概念及运算 解题技巧提炼 求两个集合的交集的方法 (1)定义法:对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可. (2)数形结合法:对于元素是连续实数的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上表示区域的公共部分,要注意端点值的取舍. 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 根据交集结果求集合或参数 解题技巧提炼 已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合是用列举法表示的,则可根据集合的运算结果确定集合中的元素,再列方程(组)求解,此时注意检验是否满足集合中元素的互异性 (2)若集合是用描述法表示的连续实数集,则可以借助数轴分析法列不等式(组)求解,此时注意端点值的取舍 5．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 7．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若时，求实数m的取值范围． 题型三 并集的概念及运算 解题技巧提炼 求集合并集的两种基本方法 (1) 定义法:若集合是用列举法表示的,则可以直接利用并集的定义求解 (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的连续实数集,则可以借助数轴分析求解,此时需注意端点值的取舍. 8．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，则= ． 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    题型四 根据并集结果求集合或参数 解题技巧提炼 已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合是用列举法表示的,则可根据集合的运算结果确定集合中的元素,再列方程(组)求解,此时注意检验是否满足集合中元素的互异性 (2)若集合是用描述法表示的连续实数集,则可以借助数轴分析法列不等式(组)求解,此时注意端点值的取舍 11．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，满足的的值为（    ） A．2 B． C．2和 D．1 12．（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合，，，则 . 13．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 14．（22-23高一上·山东临沂·期末）设已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 题型五 根据并集结果求集合元素个数 解题技巧提炼 先根据交集和并集运算性质把所求集合表示出来，再根据题目要求写出元素个数. 15．（23-24高一上·福建泉州·期中）集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 16．（多选）（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 18．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$