1.1.3（第2课时）全集与补集（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

1.3　集合的基本运算 第2课时　全集与补集 知识点一 补集 ★1．全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合． ★2．补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 运算性质 ∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 注意： （1）“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． （2）补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集． （3）∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 知识点二 交集、并集、补集的综合运算 ★1. 求集合交、并、补运算的方法 ★2. 两个重要定律(德·摩根定律) 注意：这一结论也称为德·摩根定律.利用这些性质能简化求集合的交、并、补的混合运算. 知识点三 由补集的运算求参数的值(范围) ★1.由集合的补集求解参数的方法： (1)如果所给集合是有限集，可利用补集定义求解． (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般借助数轴求解． 知识点四 集合中元素个数的计算(容斥原理) 若是有限集，常用来表示中元素的个数.例如，则 一般地，对任意两个有限级与,有 上述结论在计数时称为容斥原理． 题型一 补集的概念及运算 解题技巧提炼 求集合的补集的方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的数集,可利用补集的定义直接求解； (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的连续实数集,则去可以借助数轴分析求解，此时需注意端点值的取舍. 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合, ,则 （    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用集合的补集运算计算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选:A. 2．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知集合，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的结果，然后根据阴影部分表示可知结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念求解出结果. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 4．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集合A中的不等式，得集合A，再利用补集的定义求. 【详解】方程，解得或，即， 又集合，则. 故选：A 5．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的补集运算即可求解. 【详解】由，可得， 故选：C 题型二 根据补集运算确定集合或参数 解题技巧提炼 利用集合的交、并、补的运算性质解题时,要注意下面五个关系式： ,这些都与等价. 6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 7．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，先求出，再由，，可得集合. 【详解】，均为集合的子集，，则， ，，则. 故选：B 8．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 10．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 题型三 交并补混合运算 解题技巧提炼 集合的交集、并集、补集运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算. 11．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再根据补集的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得，则， 故选：B． 12．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：C 13．（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 14．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由补集、并集的概念即可求解. （2）由包含关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以，因此，. （2）当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由，可得，解得，此时． 综上，，即实数的取值范围是. 题型四 集合的应用 解题技巧提炼 集合概念型问题时，首先要厘清原理，然后按照题目要求分析问题，罗列条件，逐步推导. 15．（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．若，则满足戴德金分割 B．若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C．若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D．若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，设，满足， 此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确； C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误； D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确. 故选：BD 16．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 17．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”. （1）若集合，求集合的“耦合集”； （2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有； （3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数. 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）5个 【解析】（1）根据“耦合集”定义可得. （2）由条件②可知的可能元素为：；由条件③可知得同理其它比得证； （3）由（2）知得即，同理，故共5个元素. 【详解】解：（1）由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以； （2）证明：因为，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知得，同理得，所以对于任意，有； （3）因为，由（2）知得即，同理，所以，又因为的可能元素为：，所以共5个元素. 【点睛】解题关键是正确理解“耦合集”的定义. 题型五 根据交并补混合运算确定集合或参数 解题技巧提炼 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1) 当题目中含有条件时,常借助交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化. (2)当题目条件中出现时,若集合不确定,解答时要注意讨论和两种情况. 18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，，，， 若，则，，所以，与题意矛盾，所以， 同理可证，，， 所以. 故选：A 19．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】画出韦恩图逐项分析即可. 【详解】如图所示    根据图可得，，故A正确，B错误； ,故C错误 ，D正确， 故选：AD. 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 21．（22-23高一上·浙江台州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案； （2）由，得，利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数a的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】（1）若，则， 因为，所以； （2）由题，得，由，得， 若，则，得， 若，即时，则有，或，得或， 综上， 题型六 根据并集结果求集合元素个数 解题技巧提炼 与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 22．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 23．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    24．（23-24高一上·江西南昌·期中）对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为 . 【答案】 【分析】确定，考虑中的元素个数为几种情况，计算得到答案. 【详解】，， 当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，1种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，4种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，不成立； 当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有4种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有1种情况； 综上所述：共有10个不同的满足条件. 故答案为：. 25．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 题型七 容斥原理的应用 解题技巧提炼 一般地，对任意两个有限级与,有 上述结论在计数时称为容斥原理． 26．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 27．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 28．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 29．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 题型八 利用Venn图求集合 解题技巧提炼 (1)已知集合交、并、补的运算结果求某一集合,可以画Venn图表示各运算结果,通过直观分析得出所求集合， (2)已知Venn图求阴影部分表示的集合,先要明确该区域表示的集合与哪些元素有关,是在已知集合内还是在已知集合外,若在已知集合外,则与该集合的补集有关,然后利用集合间的交、并、补运算确定所求集合. 30．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图即可求解. 【详解】因为，，所以． 故选：A． 31．（2024·江西景德镇·三模）已知全集， ，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定全集，画出韦恩图，结合集合的运算表示 【详解】因为，所以画出韦恩图如下： 可知. 故选：D 32．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题意得， 阴影部分表示的集合为． 故选：C. 33．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3　集合的基本运算 第2课时　全集与补集 知识点一 补集 ★1．全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合． ★2．补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 运算性质 ∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 注意： （1）“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． （2）补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集． （3）∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 知识点二 交集、并集、补集的综合运算 ★1. 求集合交、并、补运算的方法 ★2. 两个重要定律(德·摩根定律) 注意：这一结论也称为德·摩根定律.利用这些性质能简化求集合的交、并、补的混合运算. 知识点三 由补集的运算求参数的值(范围) ★1.由集合的补集求解参数的方法： (1)如果所给集合是有限集，可利用补集定义求解． (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般借助数轴求解． 知识点四 集合中元素个数的计算(容斥原理) 若是有限集，常用来表示中元素的个数.例如，则 一般地，对任意两个有限级与,有 上述结论在计数时称为容斥原理． 题型一 补集的概念及运算 解题技巧提炼 求集合的补集的方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的数集,可利用补集的定义直接求解； (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的连续实数集,则去可以借助数轴分析求解，此时需注意端点值的取舍. 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合, ,则 （    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知集合，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 根据补集运算确定集合或参数 解题技巧提炼 利用集合的交、并、补的运算性质解题时,要注意下面五个关系式： ,这些都与等价. 6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 10．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 题型三 交并补混合运算 解题技巧提炼 集合的交集、并集、补集运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算. 11．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若集合，，，则集合（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 14．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型四 集合的应用 解题技巧提炼 集合概念型问题时，首先要厘清原理，然后按照题目要求分析问题，罗列条件，逐步推导. 15．（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．若，则满足戴德金分割 B．若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C．若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D．若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 16．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 17．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”. （1）若集合，求集合的“耦合集”； （2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有； （3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数. 题型五 根据交并补混合运算确定集合或参数 解题技巧提炼 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1) 当题目中含有条件时,常借助交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化. (2)当题目条件中出现时,若集合不确定,解答时要注意讨论和两种情况. 18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 19．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 21．（22-23高一上·浙江台州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 题型六 根据并集结果求集合元素个数 解题技巧提炼 与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 22．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·江西南昌·期中）对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为 . 25．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 题型七 容斥原理的应用 解题技巧提炼 一般地，对任意两个有限级与,有 上述结论在计数时称为容斥原理． 26．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 27．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 28．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 29．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 题型八 利用Venn图求集合 解题技巧提炼 (1)已知集合交、并、补的运算结果求某一集合,可以画Venn图表示各运算结果,通过直观分析得出所求集合， (2)已知Venn图求阴影部分表示的集合,先要明确该区域表示的集合与哪些元素有关,是在已知集合内还是在已知集合外,若在已知集合外,则与该集合的补集有关,然后利用集合间的交、并、补运算确定所求集合. 30．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 31．（2024·江西景德镇·三模）已知全集， ，，则是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$