1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法 （新教材，重难点分层培优提升） 类型一、绝对值的有关概念 1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（   ） A．0 B． C． D．1 2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是，那么 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、绝对值的几何意义 4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A． B． C．3 D．0 5．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简结果是 ． 6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 类型三、绝对值的非负性 7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知，则的取值范围是 ． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 类型四、利用绝对值进行大小比较 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小： ． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 类型五、利用绝对值的非负性求值 13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值． 15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，c是最大的负整数，求a3＋a2bc﹣a的值． 类型六、利用绝对值的性质进行化简 16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 17．（23-24·上海杨浦·期末）的最小值为 ． 18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，化简 ． 类型七、绝对值与数轴相关的化简问题 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 类型八、绝对值方程问题 21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得，所以原方程的解是或．请你依据上面的方法，求解方程：，得到的解为 ． 22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1：解方程． 解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2：解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______； (2)解不等式； (3)若，则x的取值范围是_______； 类型九、利用绝对值求式子的最值 23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 类型十、绝对值的实际应用问题 25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，不超过千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？ (3)已知油箱中要保持不低于的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？ 一、单选题 1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①；②；③；④，正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为（    ） A． B． C． D． 4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 二、填空题 6．（23-24七年级上·浙江绍兴）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若，且，以下结论：① ，；② ；③ ；④ 的值为或；其中正确的结论是 ． 8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为2，则的值为 ． 三、解答题 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：单位：千米 ，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3)出租车油箱内原有升油，请问：当时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由． 10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“”可理解为： ；我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 例如： 我们将作为一个整体，整理得： 再根据绝对值的几何意义：表示数在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为 仿照上述方法，解下列绝对值不等式： ① ②． 11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数在数轴上的大致位置如图所示： (1)__________0，__________0，__________0（用“＞”、“<”、“=”）； (2)化简． 13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中点、点两点间的距离的长是，点、点两点间的距离的长是．    (1)若以点为原点，直接写出点，所对应的数； (2)若原点在，两点之间，求的值； (3)若是原点，且，求的值． 14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“>”、“<”或“=”填空：，，； (2)化简：； (3)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是______；此时x的取值范围是______． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法 （新教材，重难点分层培优提升） 类型一、绝对值的有关概念 1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可． 【详解】解：∵， 而， ， 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是，那么 ． 【答案】0.74 【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数绝对值相等”求解即可． 【详解】解：a的相反数是， 则：， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】（1）根据绝对值的意义解答； （2）根据相反数的意义解答； （3）根据相反数的意义解答； （4）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数和绝对值，熟练掌握有理数的基本知识是关键． 类型二、绝对值的几何意义 4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A． B． C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远， 即可作答． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴距离原点最远的是3． 故选：C． 5．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查去绝对值，涉及数轴性质、绝对值意义及整式加减运算，根据数轴得到的范围，利用绝对值意义去绝对值，最后利用整式加减运算求解即可得到答案，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 【答案】或； 【分析】本题考查绝对值的应用及数轴上两点间距离，根据，分在左边与右边两类讨论即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴数在左边或右边， 当数在左边时， ∵， ∴，解得：， 当数在右边时， ∵， ∴，解得：， 故答案为：或． 类型三、绝对值的非负性 7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式，绝对值的意义，根据绝对值的性质可得是非负数，据此即可得到不等式，从而求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 【答案】A 【分析】 此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数． 【详解】解：且， a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且， 可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数， 故选：A． 9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 类型四、利用绝对值进行大小比较 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得． 【详解】解：因为，，， 所以， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 【答案】①；②；③；④ 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解； ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ④先化简，再根据负数小于零，即可求解． 【详解】解：①∵，，， ∴； ②， 因为负数小于， 所以； ③∵，， ， ∴； ④分别化简两数，得： ， ∵正数大于负数， ∴． 12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号： （1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可； （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可； （3）在数轴上表示出各数即可． 【详解】（1）解：，， ∴负数有，，，； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值． 【答案】2 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，c是最大的负整数，求a3＋a2bc﹣a的值． 【答案】-19 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵（a＋2）2＋|b﹣3|＝0， ∴a＋2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝-2，b＝3， c是最大的负整数，c=-1， a3＋a2bc﹣a=， 【点睛】本题考查了非负数的性质和求代数式的值，解题关键是根据题意求出字母的值． 二、填空题 16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 17．（23-24·上海杨浦·期末）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为， 故答案为：． 18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，化简 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的化简、整式的加减、不等式的性质，先求出代数式的范围，再化简绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得，所以原方程的解是或．请你依据上面的方法，求解方程：，得到的解为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值的化简方法计算即可，本题考查了绝对值的化简，正确化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得， 所以原方程的解是或． 故答案为：或． 22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1：解方程． 解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2：解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______； (2)解不等式； (3)若，则x的取值范围是_______； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，不等式，利用绝对值的性质，借助数轴表示其实际意义进行求解，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）将表示在数轴上与5的距离为3的点对应的数，借助数轴求解即可； （2）首先找的解，即到距离为4的点对应的数为和2，再根据表示到的距离小于4的点对应的所有数，借助数轴求解即可； （3），表示到1的点与到的点距离和为3，借助数轴求解即可． 【详解】（1）解：， 在数轴上与5的距离为3的点对应的数是2或8， 则该方程的解为：或． 故答案为：或． （2） ， 首先找的解，即到距离为4的点对应的数为和2， 表示到的距离小于4的点对应的所有数， 不等式解集为； （3）， 表示到1的点与到的点距离和为3， 与1之间的距离为3， ； 故答案为：． 23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5， 【分析】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为； 故答案为：． （2）   或， 或；   故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．   故答案为：5；． 24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，不超过千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地千米 (2)李师傅在这期间一共收入元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义、正确计算是解题的关键． （）把记录的数相加即可得出答案； （）根据收费标准列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地千米； （2）解：∵出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，不超过千米则收取起步价， 八批乘客里程数记录中，，， ∴（元）， 答：李师傅在这期间一共收入元． 26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？ (3)已知油箱中要保持不低于的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？ 【答案】(1)结束服务的“某站”是E站 (2)总路程约是90千米 (3)该汽车油箱能存储油315升 【分析】本题考查了数轴，有理数及绝对值，解题的关键是掌握这些知识点． （1）用原点表示起点位置，再利用有理数的和求解； （2）先用绝对值求出共几个站，再求里程； （3）设该汽车油箱能存储油x升，根据题意得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：（站）， 即结束服务的“某站”是E站． （2）解：（站）， （千米）， 即这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米． （3）解：设该汽车油箱能存储油x升， ， 解得，， 即该汽车油箱能存储油315升． 一、单选题 1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①；②；③；④，正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 先确定a，b，c的符号，再逐一确定式子的符号，解答即可． 【详解】解：由数轴可得， ，①正确； ，②错误； ∵， ∴，③正确； ∵，， ∴，④正确； 故①③④正确，共3个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，先根据点的位置，比较数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握法则是解本题的关键． 【详解】解：由数轴上点的位置得：，， ，，， 则 ． 故选：C． 4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键． 数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可． 【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数, ∴、， ∵， ∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且， ∴，，， 故运算结果一定是正数的是． 故选：A． 5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若，且，以下结论：① ，；② ；③ ；④ 的值为或；其中正确的结论是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了整式的加法、乘方，绝对值，解题的关键是掌握这些知识．根据，且，推出，，即可判断①；由可推出，即可判断② ；根据，两 边 平 方 即 可 判 断 ③ ；分 为 当 时，当时，两种情况讨论，即可判断④． 【详解】解：，且， ，，故① 错 误 ； ， ，故② 正确； ， ， 两边平方得：，故③ 正确； ，， 分两种情况： 当 时， ， 当时， ， 故④ 错误； 故答案为：② ③． 8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为2，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法，由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：的最小值为2，且， ， ， 故答案为：2025． 三、解答题 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：单位：千米 ，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3)出租车油箱内原有升油，请问：当时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小王途中需要加油，至少需要加升油 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际意义，代数式求值，有理数加法的实际应用： （1）把所给的行程记录相加，所得结果的数值即为所求； （2）先求出总路程，再根据汽车耗油量为升千米即可求出总油耗； （3）把代入（2）所求求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解： 千米， ∴将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是西边千米处； （2）升 ∴这天下午汽车共耗油升； （3）解：当时，升 升 ∴小王途中需要加油，至少需要加升油． 10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“”可理解为： ；我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 例如： 我们将作为一个整体，整理得： 再根据绝对值的几何意义：表示数在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为 仿照上述方法，解下列绝对值不等式： ① ②． 【答案】（1）数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；（2）①或；②或 【分析】本题属于阅读理解题，绝对值的几何意义的应用，不等式的解法，理解绝对值的几何意义是解本题的关键； （1）根据绝对值的几何意义可得答案； （2）①先把不等式整理为，再结合绝对值的几何意义可得答案；②先把不等式整理为，再结合绝对值的几何意义可得答案 【详解】解：（1）“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于2； （2）①∵， ∴， ∴，即， ∴或； ②∵， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 解得：或 11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数在数轴上的大致位置如图所示： (1)__________0，__________0，__________0（用“＞”、“<”、“=”）； (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得：，，由此即可得出答案； （2）由（1）可得：，，，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得：，，， ． 13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中点、点两点间的距离的长是，点、点两点间的距离的长是．    (1)若以点为原点，直接写出点，所对应的数； (2)若原点在，两点之间，求的值； (3)若是原点，且，求的值． 【答案】(1)点所对应的数为，点所对应的数为 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据题意先求解的长，结合数轴的定义可求解点，所对应的数； （2）根据数轴上点的特征可得，，，，结合绝对值的性质化简可求解； （3）可分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别表示出，，的值，再计算可求解． 【详解】（1）解：，， ， 若以点为原点， 则点所对应的数为，点所对应的数为； （2）若原点在，两点之间，则，，，， ； （3）若是原点，， 当在左侧时， ， ， ，，， ； 当在右侧时， ， ， ，，， ． 综上的值为或． 14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“>”、“<”或“=”填空：，，； (2)化简：； (3)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是______；此时x的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)3， 【分析】（1）由数轴可以确定a与b的大小关系及绝对值关系，则由加减法法则可确定，的符号； （2）由（1）及绝对值的意义即可化简； （3）分表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上及线段的两侧考虑，即可求解． 【详解】（1）解：由数轴知：，且，则由加法及减法法则知：，； 故答案为：； （2）解：            ； （3）解：①表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上时（包括线段的两端），由此点到线段两端的距离之和为3，即，如图所示； ②表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段的两侧时，由此点到线段一端的距离必大于3，从而有，如下图左右两图所示； 综上，当表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上时，的最小值是3，此时； 故答案为：3，． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数大小的比较，有理数的加减法则，绝对值的化简等知识，注意数形结合及分类讨论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$