第1章 集合与常用逻辑用语 本章小结（2024优化版）-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

本章小结 第一章 集合与常用逻辑用语 授课：XXX 知识回顾 01 知识回顾 你是怎么理解集合的？ 问题 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 集合中元素的性质 确定性 互异性 无序性 集合的含义 知识回顾 集合的表示方法 集合间的基本关系 自然语言 符号语言 图形语言 列举法 描述法 包含关系 相等关系 集合的基本运算 交集 并集 补集 你是怎么理解集合的？ 问题 Venn图 知识回顾 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的. 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的. 无序性 集合中的元素排列没有顺序之分. 例如：，但 例如：给定集合，则 ，即 例如： 你能结合例子说明集合中元素的确定性、互异性和无序性吗？ 问题 知识回顾 方法 特点 举例 自然 语言 列举法 描述法 自然语言是最基本的语言形式，适用范围广泛，但是具有多义性，有时难以准确表达. 列举法直观地体现了元素的个体，但不易看出元素所具有的特征，多适用于元素个数较少的集合. 描述法给出了元素具有的共同特征，具有抽象性、概括性，但未能展现具体元素，适用于元素具有明显共同特征的集合. 的解集 举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点. 问题 知识回顾 集合的研究路径和研究方法分别是什么？ 问题 研究路径 集合的含义与表示 集合的关系 集合的运算 研究方法 实数 集合 类比 知识回顾 用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识. 你认为这样的类比对发现和提出集合中要研究的问题有什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗？ 问题 类比在发现和提出集合的问题中扮演了关键角色，‌它通过从已知到未知的推理形式，帮助我们更好地理解集合的关系和运算，‌为解决问题提供了新的视角和方法.‌ 集合的减法运算： 或 知识回顾 对给定的和，如何判定是的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？ 问题 原命题 逆命题 与的关系 结论 ，但 真 假 假 真 真 真 假 假 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 ，且 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件 知识回顾 如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？ 问题 命题类型 形式 否定形式 结论 含有一个量词的全称量词命题 ， ， 全称量词命题的否定是 存在量词命题 含有一个量词的存在量词命题 ， ， 存在量词命题的否定是 全称量词命题 本章知识结构梳理 集合 常用逻辑用语 集合的含义 集合间的 基本关系 包含 相等 集合的 运算 交集 并集 补集 充分 条件 必要 条件 充要 条件 判定 定理 性质 定理 数学 定义 全称量词 存在量词 全称量词和存在量词命题的否定 专题训练 02 专题训练 一、集合的含义与表示 1、已知集合，则中元素的个数为（ ） 【解析】 由题意得 ， 所以中元素的个数为 6. A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个 专题训练 2、下列关于集合的命题正确的有（ ） ① 很小的整数可以构成集合. ② 集合与集合是同一个集合. ③ 1，2，，0.5， 这些数组成的集合有5个元素 ④ 空集是任何集合的子集 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 专题训练 【解析】 ①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误. ②集合为，需要求出函数 的值域，而集合 表示的集合为函数 图象上的点，所以不是同一集合，故错误. ③1，2，，0.5， 这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误. ④ 空集是任何集合的子集，正确. 专题训练 3、若集合中只有一个元素，则 （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 【解析】 由 只有一个实数解，可得 当 时，方程无实数解； 当 时，由， 解得 或 （不合题意，舍去）. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （1） 一年中有31天的月份的全体用列举法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （2）大于 小于 的整数的全体用列举法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （4）方程 的解组成的集合用列举法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （5）不等式 的解集用描述法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 二、集合间的关系与运算 5、设集合 ，集合 ，则等于（ ） 【解析】 ∵ ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ . A. B. C. D. ∅ 专题训练 6、设集合，，，则 （ ） 【解析】 由题意 ， ∴ A. B. C. D. 专题训练 7、设集合，，，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个 【解析】 ∵ 集合，， 图中阴影部分表示的集合为：， ∴ 图中阴影部分表示的集合的真子集有：. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 1 2 3 5 4 专题训练 8、设，，，则是（ ） 【解析】 由题意，集合 ， 则 ，集合 ∴ A. B. C. D. 专题训练 【多选题】9、若集合，则下列结论正确的是 （ ） 【解析】 由于 ，即 是的子集， 故 ，， 从而 ， . A. B. C. D. 专题训练 10、已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数的取值范围是 . 【解析】 由集合 ，集合 ， 得 . ∵ 集合 ，， 专题训练 10、已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数的取值范围是 . 【解析】 ①当 时，，∴ ， ∴ ，∴ . ②当 时，成立. 专题训练 10、已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数的取值范围是 . 【解析】 ③当 时，，∴ ， ∴ ，∴ . 综上所述，. 专题训练 11、已知集合， 【解析】 （1）当时，， ， ， ∴ ， . （1）当时，求 与 ； （2）若 ，求实数的取值范围. 专题训练 11、已知集合， 【解析】 （1）当时，求 与 ； （2）若 ，求实数的取值范围. 解得 或 ， 所以 的取值范围是 . （2）因为 ， 所以 或 专题训练 三、充分条件与必要条件的判定 12、已知集合 ，，则“”是“”的 （ ） 【解析】 ， 而 ，且 ， 所以“”是“”的充分不必要条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 专题训练 13、 “，使得”是“”成立的（ ） 【解析】 充分性：因为 ，使得 ， 所以，所以，所以充分性成立； 必要性：因为 ，所以 ， 所以，使得，所以必要性成立. 所以命题“，使得”是“”成立的充要条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 专题训练 14、已知 ，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） 【解析】 ∵ ，， 是 的必要不充分条件， 所以由能推出，而由推不出， A. B. C. 或 D. 或 ∴ ，∴ 专题训练 15、关于的方程 的所有根的和为2的充要条件是 【解析】 当时，方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，设是方程的解， 则 ， 若 ，解方程 ，得 或 . 专题训练 15、关于的方程 的所有根的和为2的充要条件是 【解析】 当 时， 即当 时，方程无解. 故当 时符合题意. 专题训练 16、求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 【解析】 （1）充分性： 因为 ， 所以方程的判别式 ， 且两根积为 ， 所以方程 有两个同号且不相等的实根. 专题训练 16、求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 【解析】 （2）必要性： 若方程 有两个同号且不相等的实根， 设两根为 ，， 则有 ，解得 . 专题训练 16、求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 【解析】 由（1）（2）可得， 方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 专题训练 四、全称量词与存在量词 17、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） 【解析】 A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确. A. B. ， 为偶数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 专题训练 【多选题】18、下列四个命题中，是假命题的是（ ） 【解析】 当 时，，显然不成立，故A是假命题； 当 时，，故B是真命题； 对 ，，故C是假命题； 当 时，不成立，故D是假命题. A. B. C. D. 专题训练 19、命题：“” 的否定形式是（ ） 【解析】 ∵ 全称量词命题的否定是存在量词命题， ∴ 的否定是： A. B. C. D. 以上都不正确 专题训练 20、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定. 【解析】 （1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题. 又由于“任意的”的否定为“存在一个”， 因此，：存在一个，使 成立， 即“，使 成立”. （1）对任意的， 都成立； （2），. 专题训练 20、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定. 【解析】 （2）由于“”表示存在一个实数，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题. 因此， ：对任意一个都有 ， 即“，”. （1）对任意的， 都成立； （2），. 专题训练 21、是否存在整数，使得命题“，”是真命题？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 假设存在整数 ， 使得命题“，”是真命题. 因为当 时， ， 所以 ，解得 . 专题训练 21、是否存在整数，使得命题“，”是真命题？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 又 为整数，所以 ， 故存在整数， 使得命题“，”是真命题. 谢谢观看 第一章 集合与常用逻辑用语 授课：XXX $$ 本章小结 第一章 集合与常用逻辑用语 授课：XXX 知识回顾 01 知识回顾 你是怎么理解集合的？ 问题 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 集合中元素的性质 确定性 互异性 无序性 集合的含义 知识回顾 集合的表示方法 集合间的基本关系 自然语言 符号语言 图形语言 列举法 描述法 包含关系 相等关系 集合的基本运算 交集 并集 补集 你是怎么理解集合的？ 问题 Venn图 知识回顾 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的. 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的. 无序性 集合中的元素排列没有顺序之分. 例如：，但 例如：给定集合，则 ，即 例如： 你能结合例子说明集合中元素的确定性、互异性和无序性吗？ 问题 知识回顾 方法 特点 举例 自然 语言 列举法 描述法 自然语言是最基本的语言形式，适用范围广泛，但是具有多义性，有时难以准确表达. 列举法直观地体现了元素的个体，但不易看出元素所具有的特征，多适用于元素个数较少的集合. 描述法给出了元素具有的共同特征，具有抽象性、概括性，但未能展现具体元素，适用于元素具有明显共同特征的集合. 的解集 举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点. 问题 知识回顾 集合的研究路径和研究方法分别是什么？ 问题 研究路径 集合的含义与表示 集合的关系 集合的运算 研究方法 实数 集合 类比 知识回顾 用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识. 你认为这样的类比对发现和提出集合中要研究的问题有什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗？ 问题 类比在发现和提出集合的问题中扮演了关键角色，‌它通过从已知到未知的推理形式，帮助我们更好地理解集合的关系和运算，‌为解决问题提供了新的视角和方法.‌ 集合的减法运算： 或 知识回顾 对给定的和，如何判定是的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？ 问题 原命题 逆命题 与的关系 结论 ，但 真 假 假 真 真 真 假 假 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 ，且 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件 知识回顾 如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？ 问题 命题类型 形式 否定形式 结论 含有一个量词的全称量词命题 ， ， 全称量词命题的否定是 存在量词命题 含有一个量词的存在量词命题 ， ， 存在量词命题的否定是 全称量词命题 本章知识结构梳理 集合 常用逻辑用语 集合的含义 集合间的 基本关系 包含 相等 集合的 运算 交集 并集 补集 充分 条件 必要 条件 充要 条件 判定 定理 性质 定理 数学 定义 全称量词 存在量词 全称量词和存在量词命题的否定 专题训练 02 专题训练 一、集合的含义与表示 1、已知集合，则中元素的个数为（ ） 【解析】 由题意得 ， 所以中元素的个数为 6. A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个 专题训练 2、下列关于集合的命题正确的有（ ） ① 很小的整数可以构成集合. ② 集合与集合是同一个集合. ③ 1，2，，0.5， 这些数组成的集合有5个元素 ④ 空集是任何集合的子集 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 专题训练 【解析】 ①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误. ②集合为，需要求出函数 的值域，而集合 表示的集合为函数 图象上的点，所以不是同一集合，故错误. ③1，2，，0.5， 这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误. ④ 空集是任何集合的子集，正确. 专题训练 3、若集合中只有一个元素，则 （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 【解析】 由 只有一个实数解，可得 当 时，方程无实数解； 当 时，由， 解得 或 （不合题意，舍去）. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （1） 一年中有31天的月份的全体用列举法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （2）大于 小于 的整数的全体用列举法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （4）方程 的解组成的集合用列举法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 4、用适当的方法表示下列集合： 【解析】 （5）不等式 的解集用描述法表示为 （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于 小于 的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）方程 的解组成的集合； （5）不等式 的解集. 专题训练 二、集合间的关系与运算 5、设集合 ，集合 ，则等于（ ） 【解析】 ∵ ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ . A. B. C. D. ∅ 专题训练 6、设集合，，，则 （ ） 【解析】 由题意 ， ∴ A. B. C. D. 专题训练 7、设集合，，，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个 【解析】 ∵ 集合，， 图中阴影部分表示的集合为：， ∴ 图中阴影部分表示的集合的真子集有：. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 1 2 3 5 4 专题训练 8、设，，，则是（ ） 【解析】 由题意，集合 ， 则 ，集合 ∴ A. B. C. D. 专题训练 【多选题】9、若集合，则下列结论正确的是 （ ） 【解析】 由于 ，即 是的子集， 故 ，， 从而 ， . A. B. C. D. 专题训练 10、已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数的取值范围是 . 【解析】 由集合 ，集合 ， 得 . ∵ 集合 ，， 专题训练 10、已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数的取值范围是 . 【解析】 ①当 时，，∴ ， ∴ ，∴ . ②当 时，成立. 专题训练 10、已知集合 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数的取值范围是 . 【解析】 ③当 时，，∴ ， ∴ ，∴ . 综上所述，. 专题训练 11、已知集合， 【解析】 （1）当时，， ， ， ∴ ， . （1）当时，求 与 ； （2）若 ，求实数的取值范围. 专题训练 11、已知集合， 【解析】 （1）当时，求 与 ； （2）若 ，求实数的取值范围. 解得 或 ， 所以 的取值范围是 . （2）因为 ， 所以 或 专题训练 三、充分条件与必要条件的判定 12、已知集合 ，，则“”是“”的 （ ） 【解析】 ， 而 ，且 ， 所以“”是“”的充分不必要条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 专题训练 13、 “，使得”是“”成立的（ ） 【解析】 充分性：因为 ，使得 ， 所以，所以，所以充分性成立； 必要性：因为 ，所以 ， 所以，使得，所以必要性成立. 所以命题“，使得”是“”成立的充要条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 专题训练 14、已知 ，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） 【解析】 ∵ ，， 是 的必要不充分条件， 所以由能推出，而由推不出， A. B. C. 或 D. 或 ∴ ，∴ 专题训练 15、关于的方程 的所有根的和为2的充要条件是 【解析】 当时，方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，设是方程的解， 则 ， 若 ，解方程 ，得 或 . 专题训练 15、关于的方程 的所有根的和为2的充要条件是 【解析】 当 时， 即当 时，方程无解. 故当 时符合题意. 专题训练 16、求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 【解析】 （1）充分性： 因为 ， 所以方程的判别式 ， 且两根积为 ， 所以方程 有两个同号且不相等的实根. 专题训练 16、求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 【解析】 （2）必要性： 若方程 有两个同号且不相等的实根， 设两根为 ，， 则有 ，解得 . 专题训练 16、求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 【解析】 由（1）（2）可得， 方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 . 专题训练 四、全称量词与存在量词 17、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） 【解析】 A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确. A. B. ， 为偶数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 专题训练 【多选题】18、下列四个命题中，是假命题的是（ ） 【解析】 当 时，，显然不成立，故A是假命题； 当 时，，故B是真命题； 对 ，，故C是假命题； 当 时，不成立，故D是假命题. A. B. C. D. 专题训练 19、命题：“” 的否定形式是（ ） 【解析】 ∵ 全称量词命题的否定是存在量词命题， ∴ 的否定是： A. B. C. D. 以上都不正确 专题训练 20、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定. 【解析】 （1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题. 又由于“任意的”的否定为“存在一个”， 因此，：存在一个，使 成立， 即“，使 成立”. （1）对任意的， 都成立； （2），. 专题训练 20、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定. 【解析】 （2）由于“”表示存在一个实数，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题. 因此， ：对任意一个都有 ， 即“，”. （1）对任意的， 都成立； （2），. 专题训练 21、是否存在整数，使得命题“，”是真命题？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 假设存在整数 ， 使得命题“，”是真命题. 因为当 时， ， 所以 ，解得 . 专题训练 21、是否存在整数，使得命题“，”是真命题？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 又 为整数，所以 ， 故存在整数， 使得命题“，”是真命题. 谢谢观看 第一章 集合与常用逻辑用语 授课：XXX $$