第08讲 二次函数与幂函数（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第08讲 二次函数与幂函数 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2022年北京卷，第14题，5分 二次函数与分段函数结合 2021年北京卷，第8题，4分 二次函数与指数函数、对数函数、基本不等式结合 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】从近五年北京卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数的要求相对较低. 【备考策略】 1.了解幂函数的概念； 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，了解它们的变化情况； 3.掌握二次函数的图象性质，会求二次函数的最值（值域）、单调区间． 【命题预测】单独考查的可能性依旧不高，若考查多与指数函数、对数函数、分段函数结合考查，多以选择题和填空题出现． 知识讲解 知识点一 幂函数的图象与性质 1、幂函数的概念 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、幂函数的图象 五种特殊的幂函数：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 3、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点二 二次函数的图象与性质 1、二次函数解析式的3种形式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． （3）零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 3、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况． 设，求在上的最大值与最小值． 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为，的最大值为与中的较大值． （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为． 考点一、幂函数的辨析及解析式 【典例1】（23-24高三下·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·四川成都·一模）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 . 考点二、幂函数的图象与性质 【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 1．（23-24高三下·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知幂函数为非奇非偶函数，则实数 ． 考点三、根据幂函数的性质比较大小 【典例1】（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【典例2】（22-23高二下·天津和平·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点四、根据幂函数的性质解不等式 【典例1】（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【典例2】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·河南焦作·二模）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·安徽安庆·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五、二次函数的解析式 【典例1】（23-24高三下·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（23-24高三上·江苏·阶段练习）写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ． ①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数． 1．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 2．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 考点六、二次函数的图象与性质 【典例1】如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2】（23-24高三下·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 2．（23-24高三下·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七、二次函数的最值问题 【典例1】（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 2．已知函数．当时，求函数最大值的表达式； 考点八、二次函数实根的分布问题 【典例1】（23-24高三上·福建莆田·开学考试）若方程有两个不相等的正实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 1．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·贵州黔西南州·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东珠海·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 4．（23-24高三上·湖北武汉·模拟预测）“”是“方程有正实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）函数在的最大值为 ． 6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 7．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，. (1)当时，若，求的值域 (2)若有两个零点，分别为，，且，求的取值范围. 1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 3．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）若函数在上为单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6．设函数区间上的最小值为.求： (1)求的解析式； (2)求的最大值 7．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间上不单调，求实数a的取值范围； (3)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围. 1．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与幂函数 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2022年北京卷，第14题，5分 二次函数与分段函数结合 2021年北京卷，第8题，4分 二次函数与指数函数、对数函数、基本不等式结合 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】从近五年北京卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数的要求相对较低. 【备考策略】 1.了解幂函数的概念； 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象，了解它们的变化情况； 3.掌握二次函数的图象性质，会求二次函数的最值（值域）、单调区间． 【命题预测】单独考查的可能性依旧不高，若考查多与指数函数、对数函数、分段函数结合考查，多以选择题和填空题出现． 知识讲解 知识点一 幂函数的图象与性质 1、幂函数的概念 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、幂函数的图象 五种特殊的幂函数：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 3、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点二 二次函数的图象与性质 1、二次函数解析式的3种形式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． （3）零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 3、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况． 设，求在上的最大值与最小值． 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为，的最大值为与中的较大值． （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为． 考点一、幂函数的辨析及解析式 【典例1】（23-24高三下·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得， 该幂函数的解析式为；故选：B 【典例2】（23-24高三上·四川成都·一模）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得.故选：C. 1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 所以，故，故选：C 2．（23-24高三上·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 . 【答案】 【解析】设此幂函数的表达式为， 依题意可得，，即，解得， 所以此幂函数的表达式为. 考点二、幂函数的图象与性质 【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确.故选：D 【典例2】（23-24高三下·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 【答案】（不唯一） 【解析】因为在上单调递增，又在区间上单调递减， 所以可以为偶函数，不妨取， 此时，函数定义域为， 且，故为偶函数， 满足在区间上单调递减. 故答案为：（不唯一） 1．（23-24高三下·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得.故选：A. 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知幂函数为非奇非偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意函数是幂函数，所以， 即，解得或， 当时，是偶函数，不满足题意， 当时，，其定义域为，不关于原点对称， 即是非奇非偶函数，满足题意. 故答案为：. 考点三、根据幂函数的性质比较大小 【典例1】（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意， 所以， ，则，，是奇函数， 因此，所以，即，故选：B. 【典例2】（22-23高二下·天津和平·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又，在上单调递减， 所以，所以.故选：B 1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为函数在R上单调递增， 由，有，可得； 由，可得，即． 则“”是“”的充要条件．故选：C. 2．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，所以，即 又在R上单调递减，所以，即， 综上，.故选：A 考点四、根据幂函数的性质解不等式 【典例1】（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，且，则，则， 因为函数为上的增函数，由可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例2】若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或.故选：C. 1．（23-24高三下·河南焦作·二模）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，此时在R上单调递增， 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为，故选：B. 2．（22-23高三上·安徽安庆·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在上单调递减， 故，解得． 又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或， 解得或．故应选：D． 考点五、二次函数的解析式 【典例1】（23-24高三下·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意可得①；②． 令，由①得：， 令，由②得，因为， 所以，即. 令，由①得， 解得，所以．故选：D． 【典例2】（23-24高三上·江苏·阶段练习）写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ． ①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数． 【答案】 【解析】因为是二次函数，所以令，， 令， ，故满足条件②； 令在上是减函数，满足条件③， 故答案为： 1．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 【答案】 【解析】根据题意设， 又过点，则解得， 故 2．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【答案】 【解析】因为对恒成立， 所以的图象关于对称. 又的图象在轴上截得的线段长为2， 所以的两根为或， 所以二次函数与轴的两交点坐标为和， 因此设. 又点在的图象上， 所以，则，故. 故答案为： 考点六、二次函数的图象与性质 【典例1】如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】根据图象可知，（1）错误. 图象与轴有两个交点，，（2）正确. 当时，，（3）正确. 当时，；当时，. 两式相加得，而，所以，（4）正确. 所以正确的有个.故选：B 【典例2】（23-24高三下·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A． 1．（23-24高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【解析】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意.故选：A. 2．（23-24高三下·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为.故选：C 考点七、二次函数的最值问题 【典例1】（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出函数的图象，如下图所示： 易知，； 若时的值域是，由图可知.故选：C 1．（23-24高三下·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)；(2)，． 【解析】（1）设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 2．已知函数．当时，求函数最大值的表达式； 【答案】 【解析】， ①当即时，， ②当即时，， 考点八、二次函数实根的分布问题 【典例1】（23-24高三上·福建莆田·开学考试）若方程有两个不相等的正实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，依题意，方程有两个不相等的正实数解， 因此，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C 【典例2】（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件为，即. 依题意选项所表示集合是集合的真子集，故选项C正确，ABD错误.故选：C. 1．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 根据已知结合二次函数性质，作图 则有，解得.故选：C. 2．（23-24高三下·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解析】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或.故选：D. 1．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；故选：B. 2．（23-24高三上·贵州黔西南州·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二次函数在上为减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为，故选：D 3．（23-24高三上·广东珠海·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【解析】设 ，令， 由于在区间上单调递增，在上单调递减， 在区间上的最大值是.故选：C. 4．（23-24高三上·湖北武汉·模拟预测）“”是“方程有正实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由方程有正实数根，则等价于函数有正零点， 由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点， 则，解得，故选：B. 5．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）函数在的最大值为 ． 【答案】7 【解析】的对称轴为，故当时取到最大值7， 故答案为：7 6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 即． （2）因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线． 因为在递减，在递增，所以， 因为，， 所以， 所以在上的值域为． 7．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函数，. (1)当时，若，求的值域 (2)若有两个零点，分别为，，且，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以当，的值为； （2）的两个零点分别为，且， ，即，解得或， 故的取值范围为. 1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递增，则，解得.故选：B． 2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得， 将点代入函数得，解得， 所以，故①错误； 对于②：因为定义域为R，且， 所以为奇函数，故②正确； 对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确； 对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误， 综上可知，②③正确，①④错误.故选：B. 3．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）若函数在上为单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，要使在上为单调函数， 则或，解得， 所以实数a的取值范围是.故选：A. 4．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数， 因为的图象经过点，则，解得，所以. 因为函数在定义域内单调递增，则当时，， 所以，且，故选项错误； 又因为函数单调递增，则当时，，且， 故选项D正确，选项错误.故选：D. 5．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【解析】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质， 问题转化为求函数，上的最大值. 当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增， 所以； 当时，， 因为，所以在上递增，在上也是递增， 所以； 当时，， 因为，所以在上递增，在上递减，在上递增， 所以或， 若，则； 若，则; 当时，，（因为）， 所以函数在上递增，在上递减，所以. 综上可知：的最小值为.故选：C 6．设函数区间上的最小值为.求： (1)求的解析式； (2)求的最大值 【答案】(1)答案见解析；(2)3 【解析】（1）的图象的对称轴为直线. 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以. （2）当时，，当时，， 当时，， 故的最大值为. 7．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间上不单调，求实数a的取值范围； (3)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为， 又由最小值为1，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）函数的对称轴为， 要使在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围是. （3）由在区间上，的图象恒在的图象上方， 可得在区间上恒成立， 化简得在区间上恒成立， 设函数， 则在区间上单调递减 ∴在区间上的最小值为，∴. 故实数m的取值范围为：. 1．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【解析】，因为为奇函数，所以 故答案为： 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以.故选：D 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故. 故答案为：C. 4．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 5．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是.故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$