第二章 有理数 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

第二章 有理数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·江苏南京·一模）与（n为实数）的值相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 4．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全球知识产权的北斗导航系统全面建成，据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长，其中，3450亿元用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 7．（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 8．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中不正确的是（　） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 12．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为，则x的取值范围是 . 13．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 14．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 15．（2024·陕西西安·二模）如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．    16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 17．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …} 20．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）为了创建文明城市，一辆城管汽车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始它所行走的记录为（长度单位：千米）：，，，，，， (1)此时这辆城管汽车的司机应如何向队长描述它的位置？ (2)如果队长命令他马上返回出发点，那么这次巡逻（含返回）共耗油多少升？（已知每千米耗油0.1升）． 23．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 24．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）今年喜迎双节“国庆逢中秋”，30日开始各地迎来旅游高峰，无锡三国水浒风景区其中七天每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月29日的游客人数为12万人． 日期 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化/万人 (1)今年10月4日的游客人数为__________万人； (2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多__________万人； (3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周七天该景区旅游总收入约为多少万元？ 25．（23-24七年级上·湖北·周测）若，则__________；若，则_________； 思考：（1）若、为有理数，且，则__________； （2）若，则__________； （3）若、为有理数，且，则__________． 26．（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得即 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中为正整数）． 27．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 28．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2．（2024·江苏南京·一模）与（n为实数）的值相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、乘方运算，根据化简绝对值即可． 【详解】解：， 故选B． 3．（2024·江苏扬州·二模）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 4．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全球知识产权的北斗导航系统全面建成，据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长，其中，3450亿元用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3450亿． 故选：D． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，理解题意，根据题中计算方法列式计算即可． 【详解】解：由题意，图2所表示孩子出生后的天数是 （天）， 故选：B 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 7．（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 8．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴与绝对值，掌握数轴上点的意义以及绝对值的含义是解题的关键． 先根据数轴估计出a、b的大致范围，然后根据有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知数表示的点b在左侧，即，故A选项正确，不符合题意； B、由数轴可知，故B选项正确，不符合题意； C、由数轴可知，则，故C选项正确，不符合题意； D、由数轴可知，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 9．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 10．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可． 【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年； 故答案为：． 12．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为，则x的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查数轴，数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此可得答案． 【详解】解：数轴上点A在点B的左边，点B表示的数为， x的取值范围是， 故答案为：． 13．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，去绝对值等知识，先去绝对值，再化成同分母比较大小即可，掌握有理数大小比较的常见方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∵ ∴ 故答案为： 14．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 15．（2024·陕西西安·二模）如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点距离，在数轴上表示有理数，有理数的减法；由数轴可知，点在点的左侧，根据题意并结合两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：由数轴可知，点在点的左侧， 点表示的数是，， 点表示的数为：， 故答案为：． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力．根据题目中与的几何意义进行求解． 【详解】解： ， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和， 当时，数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和最短为：， 的最小值是8． 故答案为：8． 17．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是 ． 【答案】26或/或 26 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：①已知，，是非零的有理数， 当时， 则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时； 二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确； ②， ，，， 则， 由于时， 当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在； 、、中只有一个负数， 令，，， 原式，故②错误； ③当时，分两种情况： 当时，， 当时，， 故时的最大值为7，最小值为，故③正确； ④由且， 、互为相反数， ， ， 不妨，， 则则式子 ，故④正确； ⑤当时， 、异号， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， 又， ，， ， 根据，b}， ，，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …} 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和分分数，根据有理数的分类方法进行求解即可． 【详解】解：为负有理数，5，8为正有理数，也是整数，为负分数， 为正分数，也是正的有理数，为负分数，为正有理数， 0为有理数，也为正数，为负有理数，为负分数， ∴正有理数集合：， 整数集合：， 负分数集合：， 非负整数集合：， 20．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则和加减乘除法则． 各个小题均根据有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 21．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）为了创建文明城市，一辆城管汽车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始它所行走的记录为（长度单位：千米）：，，，，，， (1)此时这辆城管汽车的司机应如何向队长描述它的位置？ (2)如果队长命令他马上返回出发点，那么这次巡逻（含返回）共耗油多少升？（已知每千米耗油0.1升）． 【答案】(1)此时这辆城管汽车在出发点西方17千米处 (2)6升 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和正负数的实际应用： （1）把所有的数相加，即可求解； （2）求出所有的数的绝对值的和再加上17，然后乘以0.1，即可求解． 【详解】（1）解：千米， 答：此时这辆城管汽车在出发点西方17千米处； （2）解：千米， 升， 答：这次巡逻（含返回）共耗油6升． 23．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 【答案】(1)，； (2)画图见解析， 【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小； （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）先在数轴上表示各有理数，再利用数轴右边的数大于左边的数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴互为相反数的一组数是，； （2）如图，在数轴上表示各数如下： ∴； 24．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）今年喜迎双节“国庆逢中秋”，30日开始各地迎来旅游高峰，无锡三国水浒风景区其中七天每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月29日的游客人数为12万人． 日期 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化/万人 (1)今年10月4日的游客人数为__________万人； (2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多__________万人； (3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周七天该景区旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)黄金周七天该景区旅游总收入约为万元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据正负数意义列式计算，即可得到答案； （2）根据表格分别求出黄金周七天每天的游客人数，再用游客人数最多的一天减最少的一天，即可得到答案； （3）将（2）所得的每天的游客人数相加，再乘以，即可得到答案． 【详解】（1）解：（万人）， 即10月4日的游客人数为万人， 故答案为：； （2）解：根据表格可知， 9月30日游客人数为：（万人）， 10月1日游客人数为：（万人）， 10月2日游客人数为：（万人）， 10月3日游客人数为：（万人）， 10月4日游客人数为：（万人）， 10月5日游客人数为：（万人）， 10月6日游客人数为：（万人）， 则七天内游客人数最多的一天比最少的一天多（万人）， 故答案为：； （3）解： （万元）， 答：黄金周七天该景区旅游总收入约为万元． 25．（23-24七年级上·湖北·周测）若，则__________；若，则_________； 思考：（1）若、为有理数，且，则__________； （2）若，则__________； （3）若、为有理数，且，则__________． 【答案】，；，，；，，，； 【分析】根据和两种情况进行计算即可；（1）若、为有理数，且，分为、是一正一负，两正，两负三种情况分别进行计算即可；（2）若，分为和情况下，、、中有一个负数，、、中有三个负数，、、中有一个正数，、、中有三个正数几种情况分别计算即可；（3）根据题意判断出、异号，进行计算得出结果． 【详解】解：，，， ，； （1）若、为有理数，且， 当、是一正一负时，则， 当、是两正时，则， 当、是两负时，则； （2）若， 当时，、、中有一个负数时，， 当时，、、中有三个负数时，， 当时，、、中有一个正数时，， 当时，、、中有三个正数时，； （3），、异号， ． 故答案为：，；，，；，，，；． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，注意掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中，熟练掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是，是解答本题的关键． 26．（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得即 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键． （1）设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）设，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘2得：， 将下式减去上式得：，即， 则； （2）解：设①， 两边同时乘3得：②， ②-①得：，即，则 则． 27．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1) (2)4或8 (3)，6 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度， 故答案为：； （2）解：①当相遇前相距8个单位长度有， （秒）， ②当相遇后相距8个单位长度有， （秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； 故答案为：4或8； （3）解：∵， 当P在之间时，是定值4， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度． 故答案为：，6； 28．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 学科网（北京）股份有限公司 $$