精品解析：山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测：1 七年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知：∠A=25°12′，∠B=25.12°，∠C=25.2°，下列结论正确的是(     ) A. ∠A=∠B B. ∠B=∠C C. ∠A=∠C D. 三个角互不相等 5. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+AC；④BF＝CF． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知∠A与∠B的和是90°，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（　　） A. 180° B. 135° C. 90° D. 45° 7. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 8. 已知方程组的解是 则的值为（ ） A 1 B. 0 C. D. 9. 若且 则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（ ） A. 84 B. 56 C. 28 D. 70 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，某中学在每周三上午8：30 开展“国学经典诵读”系列活动，则该时刻钟表上时针与分针所夹的角为________度． 12. 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________． 13. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 14. 北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 15. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为______________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是______． 三、解答题（本题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算: ； （2）先化简，再求值: ，其中， 18. 把下列各式进行因式分解： （1） （2） 19. 解方程组． 20. 如图，直线，相交于点，且． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 21. 如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求△ABC的面积； （2）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 22. 如图，已知，，． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，平分，试求的度数． 23. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 （1）学校购进红、蓝文化衫各几件? （2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润． 24. 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； （2）利用图3得到结论，解决问题：若，，则__________； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则__________； （4）如图4，若有4张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为__________． 25. 【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测：1 七年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、积的乘方及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、及单项式乘多项式与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项正确，符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：B 3. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．由两直线平行同旁内角互补得出，根据的度数可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B 4. 已知：∠A=25°12′，∠B=25.12°，∠C=25.2°，下列结论正确的是(     ) A. ∠A=∠B B. ∠B=∠C C. ∠A=∠C D. 三个角互不相等 【答案】C 【解析】 【分析】求出∠A=25°12′=25.2°，再比较即可． 【详解】∠A=25°12′=25.2°=∠C＞∠B， 故选C． 【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算，能熟记度、分、秒之间的关系是解题的关键，注意：1°=60′，1′=60″． 5. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+AC；④BF＝CF． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：①∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， 又∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠ABF＝∠DFB， ∴DB＝DF， 即△BDF是等腰三角形， 同理∠ECF＝∠EFC， ∴EF＝EC， ∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，①正确； ∵∠B、∠C的角平分线交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF（设为α），∠ECF＝∠BCF（设为β）； ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β； ∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴DB＝DF，EF＝EC； ∴DE＝DB+CE，△ADE的周长AD+DE+AE＝AB+AC，②③正确； ∵AB和AC不一定相等， ∴BF和CF不一定相等．故④错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用等腰三角形的判定、平行线的性质是解题的关键． 6. 已知∠A与∠B的和是90°，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（　　） A. 180° B. 135° C. 90° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据补角的定义进行分析即可. 【详解】解：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°， ∴∠C﹣∠A＝90°， 即∠C比∠A大90°， 故选C． 【点睛】考核知识点：补角.理解补角的数量关系是关键. 7. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案． 【详解】如图，作直线l平行于直角三角板的斜边， 可得：∠3=∠2=45°，∠4=∠5=30°， 故∠1的度数是：45°+30°=75°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 8. 已知方程组的解是 则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程组得到关于，的二元一次方程组，解之即可．本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法和解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：把代入方程组得： ， ， ∴得， 整理得， ∴， 故选：D． 9. 若且 则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方同底数幂的除法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①，是正整数）；②是正整数）．首先根据分别求出、的值各是多少；然后根据逆用同底数幂相除的公式计算即可． 【详解】解：，， ，， ． 故选：C 10. 我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（ ） A. 84 B. 56 C. 28 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，关键是利用“首尾为1、中间数为肩上两数之和”的规律，逐步推导的展开式的系数． 【详解】解：观察发现贾宪三角形每行的最左侧和最右侧的数都是；除首尾的外，每行中间的每个数，都等于它肩上两个数的和，所以 第7行(对应：； 第8行(对应：； 第9行(对应：． 观察第9行，从左起第五项的数为，即展开式中从左起第五项的系数为； 故选：D． 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，某中学在每周三上午8：30 开展“国学经典诵读”系列活动，则该时刻钟表上时针与分针所夹的角为________度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度．根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数． 【详解】解：时针30分钟所走的度数为， 8点30分时刻，分针与8点之间的夹角为， 此时时钟面上的时针与分针的夹角是． 故答案为：75． 12. 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________． 【答案】同位角相等，两直线平行． 【解析】 【详解】利用三角板中两个60°相等，可判定平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 考点:平行线的判定 13. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】六##6 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出，解之即可得出答案． 本题主要考查多边形内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和为． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则，解得，即这个多边形的边数为六． 故答案：六． 14. 北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 15. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为______________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．将整理为，据“正巧数”定义可得出的值． 【详解】解：， 是“正巧数”， ． 故答案为：9． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第203圈后的第4个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标． 【详解】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线长度为， ， 细线另一端在绕四边形第203圈的第4个单位长度的位置， 即点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算: ； （2）先化简，再求值: ，其中， 【答案】（1）；（2），1 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值： （1）先计算同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，再合并同类项即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项化简，最后将x和y的值代入，利用积的乘方的逆运算求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将，代入，得： 原式． 18. 把下列各式进行因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． （1）运用提取公因式法分解即可； （2）先提取公因式，再套用公式分解即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 19. 解方程组． 【答案】． 【解析】 【分析】先把方程化成最简形式，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：去分母，整理得： 由①得：③， 把③代入②，得： 解得：， 把代入③，得： ， 所以这个方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 20. 如图，直线，相交于点，且． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得出，根据余角的定义得出，根据对顶角相等即可求解； （2）根据垂直的定义得出，根据已知条件得到，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 21. 如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求△ABC的面积； （2）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】（1）△ABC的面积为18；（2）P点的坐标为（0，5）或（0，1）． 【解析】 【分析】（1）先根据点的坐标求出AB长和点C到AB的距离，根据三角形的面积公式求出即可； （2）设P点到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式求出h，即可得出P点的坐标． 详解】解：（1）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）， ∴AB∥x轴，AB＝4﹣（﹣2）＝6，C到AB的距离是3﹣（﹣3）＝6， ∴△ABC的面积为：＝18； （2）设P点到直线AB的距离为h， ∵△ABP的面积为6，AB＝6， ∴＝6， 解得：h＝2， ∵3+2＝5，3﹣2＝1， ∴P点的坐标为（0，5）或（0，1）． 【点睛】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质等知识点，能求出AB的长和分别求出点C、P到直线AB的距离是解此题的关键． 22. 如图，已知，，． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，平分，试求的度数． 【答案】（1），证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出． 本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【小问1详解】 解：，理由： ，， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， 又平分， ， ， 又， ． 23. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 （1）学校购进红、蓝文化衫各几件? （2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润． 【答案】（1）学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件 （2）这次义卖活动共获得元利润 【解析】 【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，根据两种文化衫220件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件， 依题意，得：， 解得：． 答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件； 【小问2详解】 (元)． 答：该校这次义卖活动共获得元利润． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24. 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； （3）如图4，若用其中张边长为正方形，张边长为的正方形，张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则__________； （4）如图4，若有4张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为__________． 【答案】（1）， （2）155 （3）9 （4） 【解析】 【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，可知的值，代入求解即可； （4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图2知，∵大长方形的面积， 大长方形面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积， ∴； 由图3知，∵大正方形的面积， 大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积， ∴； 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵由（1）知：， ∴， ， 把代入， ． 故答案为：155． 【小问3详解】 ∵， 可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图： ∴，，， ∴． 故答案：9． 【小问4详解】 4张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴①可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， ②也可以选取4张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， ③也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， ∴拼成的正方形的边长最长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 25. 【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①；②作图见解析部分；（2）①；②；（3）． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $