福建省福州市联盟校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

福州市联盟校2023一2024学年高一第二学期期末联考 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修二。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的， 1.已知复数：清足号，则 A.5+2i B.5-2i C.4+2i D.4-2i 2.已知α，3，y为三个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列结论正确的是 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n C.若B⊥a,Y⊥a,则B∥y D.若m∥a,n⊥x,则m⊥n 3.若数据1、x2、…、xm的平均数是4，方差是4，数据3x1十1、3.2十1、…、3.xn十1的平均数是 ,标准差是s,则下列结论正确的是 A.m=12,s=36 B.m=12,s=6 C.m=13,s=36 D.m=13,s=6 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=否，b=4,下面使得△ABC有两组解的 a的值可以为 A.3 B.√13 C.2 D.25 5.某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为 A号 B c品 D易 6.已知轴截面为正方形ABCD的圆柱，AB为下底面直径，E是弧AB的中 D 点，则AE与BD所成的角为 A. B c D 【高一期末·数学第1页（共4页）】 HD240616A 7.我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点A,B,C处分别测得塔顶P点的 仰角为30°，45°，60°，且AB=BC=206m,设该塔高为PO,示意图如图，则该塔高PO= m. A.60 B.30 C.20√3 D.20√6 8.已知非零向量a,b,e在同一平面，其中e是单位向量，a与e的夹角为5，b-2e=1,则 a一b1的最小值是 A.2 B.1 C.3 D.3-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若复数之满足|之一1=|z十1|，则 A.x为纯虚数 B.-1|=3+1 C.之十交=0 D.x·= 10.连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a,b,记m=a十b,下列说法错误的是 A事件“m=2”的概率为品8 B.事件“m是奇数”与“a=b”为互斥事件 C事件“m>11"的概率为8 D.事件“m为偶数”与“m≥8”互为独立事件 11.已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.设E为空间内 任一点，且A,B,C,D,E五点在同一个球面上，则 A.四面体ABCD的表面积为4√15 B.四面体ABCD的体积为214 C.当AE=23时，点E的轨迹长度为4π D当三棱锥E-ABC的体积为时，点E的轨迹长度为32 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a=(1,1),b=(-2,1),c=(n,2),若(a十b)⊥c,则n= 13.已知1一2i是关于x的方程x2十px十q=0(其中pq为实数)的一个根，则p-g的值为 14.已知A,B,C,D是表面积为20π的球体表面上四点，若AB=4,AC=2,BC=2√3，且三棱锥 A-BCD的体积为2√3，则线段CD长度的最大值为 【高一期末·数学第2页（共4页）】 HD240616A 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知复数1=a十4i,2=4十3i,i为虚数单位，其中a是实数 (1)若是实数，求a的值： (2)若复数12在复平面内对应的点在第二象限，求α的取值范围 16.(15分) 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试 成绩（总分100分），将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值：为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数： (2)试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 频率 组距 0.030 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数 17.(15分) 目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费 标准是每车每次租车时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费2元（不足一小 时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙 不超过1小时还车的概率分别为子，了：1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为2， 3;两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率. 【高一期末·数学第3页（共4页）】 HD240616A 18.(17分)》 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c一acos B=b一√3 asin B. (1)求A: (2)若△ABC的面积为4√3，内角A的角平分线交边BC于E,b=4,求AE的长； (3)若a=7.边BC上的中线AD=T,设点0为△ABC的外接圆圆心，求A0.AD的值。 19.(17分) 如图，在四棱台ABCD-AB,CD,中，AA⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形， BD⊥AC,且E,F,H分别为线段BB:,AB,AD的中点. (1)证明：AB=AD: (2)证明：平面EFH∥平面A1CD: (3)若AB=2AB,AA=1,∠ABC=否，当AB与平面A,CD所成的角最大时，求四棱台 ABCD-A1B,C1D的体积V. B B 【高一期末·数学第4页（共4页）】 HD240616A福州市联盟校2023一2024学年高一第二学期期末联考·数学 参考答案、解析及评分细则 1.A因为千云号-2，则=1-21+20=1-2+4=5-2.所以=5+2红放选入 2.D若m∥a,n∥a,则m,n可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；若m⊥a,na,则m∥，故B错误；若β ⊥a,YLa,则3，y可能平行，可能相交，故C错误；若m∥a,n⊥a,由线面垂直的性质定理可得m⊥n,故D正 确.故选D. 3.D根据题意，数据、x2、…、x。的平均数为x=4,方差为o=4,则 (3x+1)+(3十1)+…+(3，+1D_3(+x+…+）+1=3×4+1=13,数据3x十1、3. +1、…,3x,+1的平均数是m=13,由方差公式可得一)2+(-2)2++（工-）=。=4. =[(3x+1)-(3z+1)]2+[(3+1)-(3+1)…+[(3x,+1)-(3+1)] 9(一)2+9(-)2十十9(。-)2=9g=36,解得=6，故D正确.故选D. 4.B要想△ABC有两组解，则sinA<a<.即4sin号<a<4,即25<a<4,所以a的值可以为3，其他 值均不可.故选B 5.B由题意可知，射击5枪，命中3枪，总的方法包含{000××，00××0,0××00，××000，×0×00,0×0× 0,00×0×,×00×0,0×00×,×000×},共10种，其中3枪中恰有2枪连中的情况有00×0×，00××0，× 00X0,0X0×,0X×0,×0X0,共6种，所以3枪中恰有2枪连中的概率为P-品-号.放选B 6.C取DC的中点F,连接EF,BF,DF,则EF∥AD,且EF=AD,故四边形ADFE为 D 平行四边形，所以DF∥AE,所以∠FDB或其补角为AE与BD所成角，设AB=1,则 AD=1,由勾股定理得BD=V币=E,DF=号，BF=√1+号-.由余弦定理 得cOS∠FDB DF+BD-FE_专+2-号 2DF·BD =之故∠FDB三5，所以AE与BD 2x号× 所成角为5，故选C 7.A设PO=h,由在A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为30°，45,60°，则根据题意有OA=√3h,OB=h,OC 2+2400- =号，在△OBC.△OBA中由余弦定理知c0s∠OBC宁 ,0s∠OBA=2+2400-3,因为 40v6h 40V6h +2400-3 A,B,C三点共线，所以∠OBC+∠OBA=180°，则 40√6h 尼+2400-3=0→号2=4800=h- 40√6h 60.故选A 【高一期末·数学参考答案第1页（共6页）】 HD240616A 8D设0i=a,0i=b.0元=e,0亦=2e.因为1O=1,0=2,∠0A=受，又因为b-2e=1Oi-0= F成=1，所以点B在以F为圆心，1为半径的圆上，A在射线OP上，且∠FOP=号，所以a-b- OA-O1=BA,因为BA的最小值为F到射线OP的距离减去半径，又因为F到射线OP的距离为 OFsm哥=2×-原，所以a-b的最小值为3-1.枚选D 9.BC设复数x=a十bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z,因为x一1=|x+1|,即点Z到点(1,0)与到点 (一1,0)的距离相等，可知点Z的轨迹为虚轴，即a=0,之=i对于A,若b=0,则之=0∈R,故A错误；对于 B,因为=一i在复平面内对应的点轨迹为虚轴，可知点乏到点(1,0)与到点（一1,0）的距离相等，即 一1=乏十1，故B正确：对于C,因为十=i十（一i)=0,故C正确：对于D,因为之·=i·(一bi)= 一=，2=P=一仔，可知当且仅当b=0时，之·=2，例如b=1,之·=1，=一1，两者就不相等，故 D错误.故选BC 10.ACD连掷一枚均匀骰子两次，共有6×6=36种情况，事件“m=2”只有1.1)一种情况，故概率为需，故A 错误；事件“m>11”只有(6,6)一种情况，故概率为，故C错误：事件“m是奇数”与“a=6不能同时发生， 故他们为互斥事件，故B正确：事件“m为偶数”，则a,b同为奇数或同为偶数，设“m为偶数”为事件A,“m≥ 8”为事件B,事件A中基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，(1,1)， (1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)共18种，事件B中基本事件有(2,6)，(3,5)，(3,6)， (4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6).(6,2),(6,3).(6,4),(6,5),(6,6)共15种，事件A与B同 时发生的基本事件有(2,6)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，(3,5)(5,3)，(5,5)共9种所以PA)= 36 合，PB)=需-是，所以PAPB)=之×是-员≠器-子=PAB),即事件m为偶数”与m≥8”不相 互独立，故D错误.故选ACD. I1.AC对于A,因为四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且DA=CB=DB=AC=4,DC=AB= 2.设F为AB的中点，连接CF,则CF1AB,所以S%=方·AB·CF=合×2XV④-T下=历，则四面 体ABCD的表面积为S=4S=4√15，故A正确：对于B,将四面体ABCD放入长 方体中，如图所示，设长方体的相邻的三条棱长分别为x,y,,则x十y=4,x2十2 16,y2+之=16，解得x=y=√2，=√4，由=√4，所以异面直线AB和CD的距 离为I4,因为F为AB的中点，在等腰△ABC和△ABD中，可得AB⊥CF,AB⊥ DF,又因为CF∩DF=F且CF,DFC平面CFD,所以AB⊥平面CFD,所以四面体ABCD的体积为V 号S·AB=号×号×2XV瓜X2=2,故B错误：对于C,由四面体ABCD的外接球和补成的长 方体的外接球为同一个球，设四面体的外接球的半径为R,可得2R=√P+了+交-32，所以R=3 2 由AE=2,8.可得点E的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为则户+√号-F+3要)=(23)，解得 【高一期末·数学参考答案第2页（共6页）】 HD240616A r=2,所以轨迹E的长度为2xr=4r,故C正确：对于D,由题意得CF=√4一I=√15，所以si∠ABC= CF/1 AC 4 8 BC 4 ,所以△ABC的外接圆的半径为号× sin∠ABC-立 正后·所以球心到△ABC所在平 面的距离为、 32)-8) 2 )-夏，设三棱锥E-AC的高为h,由三棱锥E-ABC的体积为时， √15'30 可得5·一号×号×2XV百X-夏解得一是·又由要票所以点E的执达为外 /30 接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距离为反的两个截面圆，其中一个圆为外接球的大圆，所以点 30 E的轨迹长度大于2x×32=3反，因为点E的轨迹为外接球上平行于平面ABC两个截面圆，所以轨迹 2 的长度大于3√2π，故D错误.故选AC 12.4因为a=(1,1),b=(-2,1),c=(n,2),(a+b)⊥c,所以a+b=(-1,2),n×(-1)+2×2=0,n=4. p+4-3= 13.一7方法一：由已知可得(1一2i)2+(1一2i)+g=0,即(p+q一3)一(4十2)i=0,所以{ ,解得 4十2p=0 -2 ,所以p一q=一7.方法二：因为1一2i是关于x的方程x2十px十q=0(其中p,q为实数)的一个根， 0=5 1-2i+1+2i=- p=-2 所以1十2i也是该方程的一个根，由韦达定理得 ,解得 ,所以p一q=一7. (1-2i)(1+2i)= 9=5 14.3√2由球的表面积为20π，可得球的半径R=√5.，AB=4,AC=2,BC=25,∴.AB=AC十BC°， ∠ACB=受Sam=2×25×2=23则△ABC外接圆O,的半径为号AB=2.设D到平面ABC 的距离为h,则号×h×25=23,解得h=3>5,则点D与平面ABC在球心的 异侧.设球心O到平面ABC的距离为d,则d=O)=√5一4=1，设D在球的截 面圆所在的平而为α，故球心到平面α的距离为2，则截面圆的半径为√5一4=1. 设D在平面ABC上的投影为E,当CE最长时CD最长，则CEx=2+1=3,故 CD长度的最大值为√32+3=3√2， 15.解：(1)4=9+i-a+4)(4-3m_4a+12+(16-3a)i 24+3i(4+3i)(4-3i) 25 因为兰是实数，则16-3a=0,a= 3 6分 (2)z=(a+4i)(4-3i)=4a-3ai+16i+12=(4a+12)+(16-3a)i, 4a十12<0 a<-3 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则 16-3a>0 16 →a<-3, 3 故a的取值范围为（一0∞，一3）.… …13分 16.解：(1)由(0.005十0.01十0.015×2十a十0.030)×10=1，解得a=0.025:…4分 【高一期末·数学参考答案第3页（共6页）】 HD240616A 设该样本的60百分位数为x分， 因为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)对应的频率分别为0.05,0.15,0.3,0.25， 所以60百分位数在[70,80)内，由题意可得0.5十(x-70)×0.025=0.6,解得x=74. 所以60百分位数为74.…10分 (2)45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71, 故本次防疫知识测试成绩的平均分为7L.… 15分 17.解：)甲租车时间超过2小时且不超过3小时的概率为1一子一弓=子 …2分 乙租车时间超过2小时且不超过3小时的概率为1一弓一弓-子 …4分 (2)甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P=}×号-=立： 都付2元的概率为P=之×号=名： 都付4元的概率为户=十×号-立 所以甲，乙两人所付租车费用相同的概率P-P,十P,+P,= 3· …10分 (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为元， 则=4表示两人的租车费用之和为4元， 其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元 所以可得Pg-)-×号+名×号+好×号-合 即甲，乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为子· 15分 18.解：(1)在△ABC中，由c+√asin B-b-acos B=0及正弦定理， 得sinC-sin Acos B=sinB-√3 sin Asin B, mii sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,]cos Asin B+/3sin Asin B-sin B=0, 显然sinB>0,因此1-cosA=3sinA,(1-cosA)2=3sinA=3(1-cosA), 由0KA<,得-1<c0sA<1,解得cosA=-, 又A∈(0，，所以A-系. …5分 (2)由5w=号ksmA=45得，灰=16，则6=c=4 又SA=S△E+S△ME, 4=A6+AE 2, 16=2,即AE的值为2. :.AE-b+c 10分 【高一期末·数学参考答案第4页（共6页）】 HD240616A (3)在△ABC中，由余弦定理a2=+c2-2cosA,得？+c2+=49, 由边BC上的中线AD=,又因为A店+A衣=2A, 两边平方得A亦+AC+2AB.AC=4AD, 则+e+2kcas经=1.即份+-在=1， 解得十2=30，… …13分 令边AB,AC的中点分别为M,N,由点O为△ABC的外接圆圆心， 得OM⊥AB,ON⊥AC. A0.AB=AM+M0·AB=Ai.AB=号A亦=， Ad.A花=(A衣+NO.A花=A.AC=2AC=2, 所以Aò.AD-A0.2(成+AO=号Aò.AB+号Aò.Ad =+)- ,…17分 19.(1)证明：如图，连接AC,与BD交于点O, 因为AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA:⊥BD, 又因为BD⊥AC,AA∩AC=A,AA1、ACC平面AA1C, 所以BD⊥平面AA:C, 因为ACC平面AAC,所以AC⊥BD. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，则|AB=|AD, 因为AA1⊥平面ABCD,所以AA,⊥AB,AA⊥AD, 所以|AB2=|AA2+AB2=AA2+|AD12=A1D2,即AB=AD引.…5分 (2)证明：延长EF交AA,于点M,连接MH, 由中位线性质可得EF∥AB,因为AB∥AB∥CD,所以EF∥CD, 因为EF过平面ACD,CDC平面ACD, 所以EF∥平面ACD, 所以M为AA,的中点，则MH∥AD. 因为MH平面A:CD,A1DC平面A1CD,所以MH∥平面A1CD, 因为EF∩MH=M,所以平面EFH∥平面ACD.…10分 (3)解：设1AB=m,m>0.因为∠ABC=受，所以AC=BC=AB1=m,则1AB1=Vm+T,AD= 1AC=vm+i,S4四=分·mVm+1-m=2V经m+m。 设点B到平面A,CD的距离为d,AB与平面A,CD所成的角为a, d 则sina=AB√m+ 【高一期末·数学参考答案第5页（共6页）】 HD240616A 12m2, 3 所以好·t,√骨m+m-停m得= …13分 √/3m+4 3m 所以sina=3m+ ③ 5 =23-3, m2+1 √r+请+？2+72后 当且仅当m=号，即m-2时，等号成立，此时AB与平面ACD所成的角最大， 3 ABcD-AB,GD的体积V=号×1×(2×m+2x×m+V2×9m×2x×号 =×（停x2+××2+√×2x××2 12 …17分 【高一期末·数学参考答案第6页（共6页）】 HD240616A丽■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 福州市联盟校2023-2024学年高一第二学期期末联考 请在各租日的答区线内作答，相出黑色垢无边框厦足区城的客案无餐 青在各短日的落圆区地内件等，位出雪色矩后边作观定区域的许案无效 数学 答题卡 解答抛i墙理以复双光色感本签字老可 (15分 15,13徐) 座位序号 【可可可D可)可 UJT0打UDI可UD 1打12切打 刀刀刀刀刀刀切刀刀刀 精养形同区 44+44 】】 刀习刀)0力1)2 然草划指后艺看公有标过 W■可国 世可 4,挥厚角，等生其得日鱼特有等博作户甲通写再健，并L直单平 同上响场序怜号，机务丝行转 填样例 上进样是年许是湖情的目名迪准，当样量等名时能科3星来 事 作也签中着书可，于体干■，连地诗地 地格写题可到甲食斜思：的养等城声男：超语弹相其黄件习肉 界到L座，在厚由票理相上■理正生 4持主面信，行韩卡国料 选挥题请州经笔墙 ◆ ￥A1gIG创D ￥满a0D ■ 主五回U 。E可@D可 e国d正 ，压旺圆 t压度度亚 ◆ AI D) 空题 125分) 135) 14.5 道在名随任的8想区域内作答，见出奥色矩形边制展定区域的容業藏 请在各越信们答超⅓城内作答，知属黑色矩形边拟刚定区城的客案液 晴在各赠目的答烟区城内签，超州第色距君边伸限定区域的答室无效 商一期末数学第1风其2直 H24e14圆 请在各题目的客四区城内行落，出题色正出现定区域的咨紫无酸 请在各塑目约答面区城白个荐，福出置色距影边刚定区城的答案无收 请在各圈日的客思区城内作答，超出黑色如毛应探观堂区城的答案无验 17.15分) 1&17分1 1以.(17登) 请在答划目的答划区域内并客用用见色距用边用见区域的溶案无查 请夜各题日的客越以城内作养，园水里色距彩过作限定区城的客案天敛 请位各题日的答思区峡内作容，随内黑色更和边你刚定国城的答罩无效 奔-围末数学第2园1两1瓦)