青海省西宁市大通县2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

西宁市大通县 学年度第二学期期末联考 高 一 数 学 考生注意: 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答题前, 考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效。 4. 本卷命题范围: 人教 A 版必修第一册、必修第二册。 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 化简 A. B. C. D. 2. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是 A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点, 则这两点的连线不一定是圆柱的母线 4. 一组数据: ,则这组数据的 分位数是 A. 3 B. 4 C. 4. 5 D. 5 5. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 3 倍得到 的图象,则 A. B. C. D. 241951Z 6. 用 这 3 个数组成没有重复数字的三位数,则事件 “这个三位数是偶数” 发生的概率为 A. B. C. D. 7. 在长方体 中, 为 的中点,在 中, ,则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在三棱锥 中, 和 均为边长为 2 的等边三角形, ,则该三棱锥的外接球的表面积是 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知复数 ,则 A. 的虚部为 B. 是纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 下列化简正确的是 A. B. C. D. 11. 如图,在棱长为 1 的正方体 中,已知 是线段 上的两个动点,且 ,则 A. 的面积为定值 B. C. 点 到直线 的距离为定值 D. 二面角 的大小为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知 ,若 ,则 _________. 13. 已知 是两个不共线的向量, ,若 与 是共线向量,则实数 _________. 14. 定义在 上的奇函数 满足 ,当 时, ,则函数 的零点的个数为_________. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 袋子中有 9 个大小和质地相同的球,标号为 ,从中随机摸出一个球. (1) 写出试验的样本空间; (2) 用集合表示事件 “摸到球的号码小于 5”,事件 “摸到球的号码大于 4”,事件 “摸到球的号码是偶数”. 16. (本小题满分 15 分) (1) 已知 ,求 的值; (2) 已知 ,求 的值. 17. (本小题满分 15 分) 已知 分别是 三个内角 的对边,且 . (1) 求 ; (2) 若 ,则 的面积为 ,求 . 18. (本小题满分 17 分) 如图,四棱柱 的底面 是正方形, . (1) 证明: 平面 平面 ; (2) 证明: 平面 平面 . 19. (本小题满分 17 分) 为了估计一批产品的质量状况, 现对 100 个产品的相关数据进行综合评分 (满分 100 分), 并制成如图所示的频率分布直方图. 记综合评分为 80 分及以上的产品为一等品. （1）求图中 的值,并求综合评分的平均数; （2）用样本估计总体, 以频率作为概率, 按分层随机抽样的思想, 先在该条生产线中随机抽取 5 个产品, 再从这 5 个产品中随机抽取 2 个产品记录有关数据, 求这 2 个产品中最多有 1 个一等品的概率; （3）已知落在 的平均综合评分是 54,方差是 3,落在 的平均综合评分为 63, 方差是 3,求落在 的总平均综合评分 和总方差 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2023~2024学年度第二学期大通县期末联考·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由向量的减法AB-AD-D心-D-D心=C弦.故选A. 2.B由题意可得A={x(分)）广<}={zx>2,CRA={xr≤2，所以BU CKA=-{x≤2.故 选B 3.C易知ABD正确；当以斜边所在直线为旋转轴时，所成几何体不是圆锥，C错误.故选C 4.D将数据从小到大排序为1,1,2,2,2,2,3,3,5,5，因为10×85%=8.5,8.5不是整数，故取第9个数，第9 个数为5，故这组数据的第85百分位数为5.故选D. 5.B将函数f(x)=sin2x的图象向左平移开个单位，可得y=sin2(x+开)=sin(2x+乏)=cos2x的图 象：再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得g(x)=3cos2x.故选B. 6.C由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有{234,243,324,342,423,432}，共6种，其中 偶数有234,324,342,432，共4种，事件“这个三位数是偶数“发生的概率为言=号故选C 7.B如图，连接DM,易得CM=DM,设AD=a(a>0),则CM=√a+4,CD= B √4P+3=5,MD,=√Df+DD=V√a+4+3=√a+13,因为CM⊥ MD,所以MC+MD=CD,即a2+4+a+13=25,解得a=2(负值舍去).故 选B. &.C取BD中点G,连接AG,CG,在AG和CG上分别作点E和点F,使得EG=号AG,FPG=CG,过点E和 点F分别作垂直平面ABD和平面BCD的直线交于点H,易得点H是该三棱锥外接球的球心.因为AB= 2.所以AG=尽，AE=29,在△AGC中，由余弦定理得c∠0GA= AG0EAC-,339=-号，故∠0GA=120,在R△HBG中.GE= 2AG·CG 2×3×w3 号，∠HGE-=号∠CGA=60,所以HE=GE·m∠HGE=1,在R△AHE中，AH =VA+D=,故外接球的半径R=,外接球的表面积S=R- 2故选C 9.AC对于A,由虚部定义知x的虚部为√3，故A正确：对于B,纯虚数要求实部为0，故B错误：对于C, 【高一期末联考·数学参考答案第1贞（共4页）】 241951Z |=√2”十(W3)=√7，故C正确；对于D,z在复平面内对应的点为(2)，位于第一象限，故D错误.故 选AC. 10.AC sin(2023π-a)=sin(2022x十π-a)=sin(π-a)=sina,故A正确； tan(a-2023r)=tana,故B错误； sin(+a）=sin(6x-受+a)=sin(-受+a）=-sim(受-a）=-cosa,故C正确： cos(经-a）=cos(-a）=一sima,故D错误.故选AC 11.ABC对于A,因为在△BEF中，高为B到EF的距离，即BB,的长度，为定值，底边为EF的长度，也为定 值，所以△BEF的面积为定值，故A正确： 对于B,因为EF在BD上，BD∥BD,BD⊥AC,所以BD1⊥AC,即EF⊥AC,故B正确： 对于C,A到直线EF的距离等于A到D1B,的距离，为定值，故C正确： 对于D,易知在该正方体中，DD⊥平面ABCD,又DDC平面DDBB,所以平面DDBB,⊥平面ABCD, 即平面DEB⊥平面ABC,故二面角E-BD-C的大小为90°，故D错误.故选ABC x-2=-1x=1, 12.2由题意，得 所以x十y=2. y=1 y=1, 13.-4因为a与b是共线向量，所以存在实数A,使得a=b,所以e-2e=a(2e十e:),即(1一2)e一 1-2=0， (2十ak)e2=0,又因为e1,e是两个不共线的向量，所以 解得 2 2+λk=0, k=一4. 14.5因为f(.x+2)=一f(x),所以f(x十4)=一f(x十2)=f(x),可得函数y=f(x)是周期为4的奇函 数，因为f(x十2)=一f(x)=f(一x),可得y=f(x)的图象关于直线x=1对称.当0<≤1时，f(x)=x, 又易知f(0)=0,所以一1≤x≤1时，f(x)=x,由对称性可先画出函数y=f(x)在区间[1,3]上的图象，根 据函数y=f(x)为奇函数且周期为4，可以画出函数y=f(x)在R上的图象，由y=f(x)一log|x=0, 得f(x)=logx,分别画出函数y=f(x)和y=log|x|的图象，如图. 由f(5)=f(1)=1,又og5=1,f(-3)=f(1)=1,log|-3|=log3<1,又f(-7)=f(1)=1.而 log|一7=log7>1,可以得到函数y=f(x)和y=1ogx|的图象有5个交点，所以函数y=f(x) log|x|零点的个数为5. 15.解：(1)样本空间2={1,2,3,4,5,6,7,8,9}： …7分 (2)事件A=“摸到球的号码小于5”，则A={1,2,3,4},… …9分 【高一期末联考·数学参考答案第2页（共4页）】 241951Z 事件B=“摸到球的号码大于4”，则B={5,6,7,8,9},…11分 事件C=“摸到球的号码是偶数”，则C=《2,4,6,8》.…13分 16.解：(1)：cos(a十)=cos acos--sin asin=5' 3 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B= …3分 将以上两式相加，得到cosa0s分号，将以上两式相减，得到s血asin一号， '.tan atan B-sin asing1 c0 s acos32· …7分 (2:msa+amsf=合sina十sing-3 ∴.(c0sa十cos3)2=cos2a+2 cos ace0s3+cos23= 11分 ，” sin a+sin B)2=sin'a+2sin asin B+sinB= 9 …13分 将以上两式相加得到2十2cos(a一)= 13 36 .cos(a-3)= 59 721 15分 17.解：(1)根据正弦定理得sin Acos C+√3 sin Asin C=sinB十sinC, sin Acos C-+√3 sin Asin C=sin(A十C)十sinC,…5分 .'sin Acos C+3sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 整理，得5sinA一c0sC=1,即A=60°.… 9分 (2)由A=60,S=2 lesin A=5,得x=4 由余弦定理，得a2=+c2-2 bccos A=(b+c)2-2b-2 bccos A, b十=4.… 13分 义x=4,∴.b=c=2.… 15分 18.证明：(1)由题设知BB∥DD1,BB=DD, 所以四边形BBDD是平行四边形， 所以BD∥BD.… 2分 又BD中平面CDB, BDC平面CD1B, 所以BD∥平面CDB,… …4分 因为AD1∥BC,AD=BC, 【高一期末联考·数学参考答案第3贞（共4页）】 241951Z 所以四边形ABCD,是平行四边形， 所以A1B/∥D1C.…6分 又ABt平面CDB,DCC平面CDB, 所以AB∥平面CDB. 又因为BD∩AB=B, 所以平面ABD∥平面CD1B. …9分 (2)因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD,AB=AD.… 10分 因为∠A:AB=∠AAD,所以可得△A1AB≌△A:AD, 则A1B=A1D.… 12分 设AC∩BD=O,连接A,O 易知O为BD中点，则AO⊥BD,… 13分 因为AC∩A1O=O,AC,AOC平面ACC1A1, 所以BD⊥平面ACCA, 又BDC平面ABD, 所以平面ABDL平面ACCA,…17分 19.解：(1)由频率和为1，得(0.005十0.010+0.025十a十0.020)×10=1， 解得=0.04：……3分 设综合评分的平均数为x, 则元-10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81， 所以综合评分的平均数为81，…6分 (2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、C,非一等品记为D、E:… …8分 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间2={ab、ac,aD、aE,br,bD、bE、cD、cE、DE,n(2)=10: 2tt4ttt…0 记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE,n(A)=7, …12分 所以所求的概率为P=高 13分 (3)2354+号X63=60,… 15分 F=号[3+(64-60)1+号[3+(63-60)y]=21. …17分 (注：其他解法参照给分) 【高一期末联考·数学参考答案第4页（共4页）】 241951Z