第03讲 直线的一般式方程（2种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 直线的一般式方程（2种题型+过关检测） 知识点：直线的一般式方程 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 题型1直线的一般式方程 【例题1】（22-23高二上·山东青岛·阶段练习）已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【变式2】．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 【变式3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知的三个顶点分别为．（结果请写成直线方程的一般式） (1)求边AB和边AC所在直线的方程； (2)求边AC上的中线所在直线的方程； (3)求边AC的垂直平分线的方程． 题型2方程含参数的直线过定点问题 【例题2】（23-24高二上·全国·课后作业）不论m取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·安徽合肥·期中）不论为何实数，直线恒过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【变式3】（23-24高二上·上海浦东新·期中）设直线的方程为. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 一、单选题 1．（23-24高二上·山东聊城·期末）直线在x轴上的截距为（    ）． A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州黔南·期末）直线的横截距为（    ） A． B． C．1 D． 5．（22-23高二上·江苏无锡·期中）不论实数为何值，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·吉林白山·阶段练习）已知直线，不论取何值时，恒经过点（    ） A． B． C． D．不确定 7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（    ） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 10．（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（    ） A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 11．（23-24高二上·福建莆田·期中）关于直线：，下列说法正确的有（ ） A．直线的斜率为 B．经过点 C．在轴上的截距为 D．直线经过第二､三､四象限 三、填空题 12．（2024高二上·全国·专题练习）直线在轴上的截距等于 ． 13．（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ． 14．（24-25高二上·上海·随堂练习）若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 四、解答题 15．（23-24高二·全国·课堂例题）直线，在x轴，y轴上的截距是多少？ 16．（2023高二上·全国·专题练习）若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点. 17．（23-24高二上·吉林·阶段练习）一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标. 18．（22-23高二上·河北张家口·期中）已知直线． (1)求证：直线l恒过定点； (2)已知两点，，过点A的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围． 19．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点. (1)当斜率为2时，求的一般式方程； (2)求面积的最小值时直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 直线的一般式方程（2种题型+过关检测） 知识点：直线的一般式方程 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 题型1直线的一般式方程 【例题1】（22-23高二上·山东青岛·阶段练习）已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可； （2）根据题意，分点位于直线上方和点位于直线下方两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，故方程为， 当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等， 所以，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以所求直线方程为 综上，满足条件的直线方程为或. （2）解：因为的顶点，，直线的斜率为， 所以，直线方程为，直线的倾斜角为， 根据题意，作出其图形，如图， 当点位于直线下方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即； 当点位于直线上方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即. 所以，角的角平分线所在直线的一般式方程为或 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 【变式2】．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两点式方程可得； （2）先求中点的坐标，再根据得的斜率，进而可得的斜截式方程. 【详解】（1）由题意得的两点式方程为， 化为一般式方程为. （2）设，的斜率分别为，. 由题意得中点的坐标为， 由，得，则. 因为，所以，得. 故的斜截式方程为. 【变式3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知的三个顶点分别为．（结果请写成直线方程的一般式） (1)求边AB和边AC所在直线的方程； (2)求边AC上的中线所在直线的方程； (3)求边AC的垂直平分线的方程． 【答案】(1)直线为；直线为 (2) (3) 【分析】（1）计算，，代入点坐标得到答案. （2）确定中点坐标为，，得到答案. （3）边AC的垂直平分线的斜率，直线过点，计算得到答案. 【详解】（1），故直线为：，即； ，故直线为：，即； （2）的中点，， 故直线为：，即. （3）边AC的垂直平分线的斜率，直线过点， 故垂直平分线为：，即 题型2方程含参数的直线过定点问题 【例题2】（23-24高二上·全国·课后作业）不论m取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，求解即可得定点. 【详解】因为，整理得， 令，解得， 所以直线过定点. 故选：B. 【变式1】（21-22高二上·安徽合肥·期中）不论为何实数，直线恒过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】求出直线恒过定点，即可作出判断. 【详解】直线可化为，由，解得，因为点在第四象限，所以直线恒过第四象限. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海浦东新·期中）设直线的方程为. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）化简直线方程为，列出方程组，求得定点坐标，即可可证； （2）根据题意，分直线过坐标原点和不过坐标原点，两种情况讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线的方程为，可化为， 由，解得，即， 所以不论为何值，直线比过定点. （2）解：由（1）知，直线恒过定点， 当直线过坐标原点时，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得，即， 综上可得，直线的方程为或 一、单选题 1．（23-24高二上·山东聊城·期末）直线在x轴上的截距为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】直接利用定义求解截距即可. 【详解】令，解得，显然截距是. 故选：B 2．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由直线的一般式得斜率，即可求出答案. 【详解】因为的斜率为， 所以，则. 故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角. 【详解】由于直线的倾斜角为，则直线的斜率， 再由，可得. 故选：C 4．（23-24高二上·贵州黔南·期末）直线的横截距为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】令即可得出横截距. 【详解】由题意， 在直线中， 当时，， ∴横截距为. 故选：B. 5．（22-23高二上·江苏无锡·期中）不论实数为何值，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线的方程转化为，再求出定点的坐标． 【详解】解：由，可得， 由，可得，此时， 所以直线恒过定点． 故选：D． 6．（22-23高二上·吉林白山·阶段练习）已知直线，不论取何值时，恒经过点（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】只需要令参数前面的系数为0即可求得直线恒过的定点. 【详解】因为可化为， 令，则，联立解得， 故恒过点. 故选：B. 7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】 先求直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可. 【详解】直线斜率则倾斜角为， 直线与直线夹角为，则的倾斜角为或. 故选：C. 8．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小. 【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则， ∵，∴， 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（    ） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10．（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（    ） A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 【答案】BC 【分析】根据直线方程的特征一一分析即可. 【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误； 对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确； 对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确； 对于D：当时直线，即，斜率， 所以的倾斜角为钝角，故D错误； 故选：BC 11．（23-24高二上·福建莆田·期中）关于直线：，下列说法正确的有（ ） A．直线的斜率为 B．经过点 C．在轴上的截距为 D．直线经过第二､三､四象限 【答案】BD 【分析】根据直线的特点一一分析即可. 【详解】因为直线：，令，可得，即直线经过点，故B正确； 由可得， 所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线经过第二､三､四象限， 故AC错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2024高二上·全国·专题练习）直线在轴上的截距等于 ． 【答案】 【分析】由截距概念直接求解. 【详解】令，得. 故答案为： 13．（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】将直线转化为，令，解方程即可. 【详解】将直线化为， 令，解得， 故直线的恒过点为. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·随堂练习）若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】依题意求出，即可求出，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，所以， 则直线的方程为，即. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二·全国·课堂例题）直线，在x轴，y轴上的截距是多少？ 【答案】答案见解析 【详解】当A，B，C均不为0时，一般式方程可化为，此时在x轴，y轴上的截距分别为； 当，B，C均不为0时，直线平行于x轴，此时在y轴上的截距为； 当均不为0时，直线平行于y轴，此时在x轴上的截距为． 16．（2023高二上·全国·专题练习）若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合条件，代入直线方程计算，即可证明直线过定点. 【详解】证明：因为，且不同时为0， 不妨设，则. 代入直线方程，得， 即， 此方程可视为过直线与的交点的直线系方程(不包括直线). 解方程组，解得， 即两条直线的交点的坐标为. 故直线必过定点. 17．（23-24高二上·吉林·阶段练习）一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标. 【答案】， 【分析】求出A关于轴对称的点为的坐标，直线即为反射光线所在直线，易得其方程，其中令可求得入射点坐标． 【详解】设A关于轴对称的点为，则， 所以直线的斜率为， 直线的斜截式方程为，即反射光线所在直线的一般式方程为. 令，得，所以入射点的坐标为， 18．（22-23高二上·河北张家口·期中）已知直线． (1)求证：直线l恒过定点； (2)已知两点，，过点A的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标； （2）求出直线的倾斜角，直线介于直线之间，由此可得结论． 【详解】（1）证明：由，得． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点． （2）由题意可知，， 由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是， ∴的取值范围是 19．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点. (1)当斜率为2时，求的一般式方程； (2)求面积的最小值时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点斜式写出的方程，再化成一般式即； （2）则设直线的方程为，，求得在两坐标轴的截距分别为，，再由，可得，结合基本不等式可得当时，面积的最小值，即可得答案. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的方程：， 即； （2）解：∵点在第一象限，且直线分别与轴正半轴 、轴正半轴相交， ∴直线的斜率， 则设直线的方程为，， 令，得；令，得. ∴. ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立. ∴面积的最小值为6. 此时直线的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$