第03讲 交集、并集（3种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第03讲 交集、并集（3种题型+1个易错点+过关检测） 一、交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 二、并集 1．并集的概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A⊆A∪B，B⊆A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 三、区间及其表示 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆． (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 题型1交集运算 【例题1】（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）设全集是实数集，，，则等于 （　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，，且，求由实数所组成的集合． 题型2并集运算 【例题2】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，或， ； （2）集合，，则 ． 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 题型3集合的区间表示 【例题3】（20-21高一上·宁夏·阶段练习）集合，则 (结果用区间表示). 【变式1】（20-21高一上·河南开封·阶段练习）设集合A=[-2，10)，B=[5，13)，则∁R(A∩B)= (用区间表示) 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 【变式3】（21-22高一上·江西九江·阶段练习）设，且，，且，若，试求a，b的取值范围（用区间表示）. 易错点 含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错 【例题1】（22-23高一上·北京·期中）已知集合，且，则所有可能的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】（21-22高一上·湖北武汉·期中）已知集合，，若，则实数a满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果，，，那么（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合或，，则 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则 ． 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，求． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 17．（23-24高一上·广东广州·期中）设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知集合 (1)若时，求； (2)若，求的取值范围. 19．（20-21高一上·江西南昌·阶段练习）全集，若集合，． （1）求，，（结果用区间表示）； （2）若集合，，求a的取值范围； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 交集、并集（3种题型+1个易错点+过关检测） 一、交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 二、并集 1．并集的概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A⊆A∪B，B⊆A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 三、区间及其表示 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆． (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 题型1交集运算 【例题1】（23-24高一下·海南海口·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）设全集是实数集，，，则等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据集合的交集的运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，，且，求由实数所组成的集合． 【答案】 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或， 所以或， 故 题型2并集运算 【例题2】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，或， ； （2）集合，，则 ． 【答案】 【分析】（1）利用并集的运算法则计算，可借助数轴数形结合来求解； （2）能理解表示所有偶数，表示所有奇数，求并集为整数集． 【详解】（1），或， . （2）为偶数集，为奇数集， 为全体整数，即， 故答案为：；． 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算； （2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 题型3集合的区间表示 【例题3】（20-21高一上·宁夏·阶段练习）集合，则 (结果用区间表示). 【答案】 【解析】利用交集的定义求得结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合交集的求解，属于基础题目 【变式1】（20-21高一上·河南开封·阶段练习）设集合A=[-2，10)，B=[5，13)，则∁R(A∩B)= (用区间表示) 【答案】 【分析】根据集合A=[-2，10)，B=[5，13)，求得，然后再利用补集运算求解. 【详解】因为集合A=[-2，10)，B=[5，13)， 所以， 所以， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 【答案】 【分析】利用集合与区间的对应关系即可直接写出答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：，，，. 【变式3】（21-22高一上·江西九江·阶段练习）设，且，，且，若，试求a，b的取值范围（用区间表示）. 【答案】， 【分析】已知集合A，B，由A∩B＝{1，2}即可求出a，b的取值范围. 【详解】∵，且，，且， ∴，且， 若，可得， 易错点 含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错 【例题1】（22-23高一上·北京·期中）已知集合，且，则所有可能的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，列出集合所有的可能，即可得到结果. 【详解】由已知可得，集合的所有可能为：，，，，，，，. 所以，所有可能的集合的个数是8. 故选：B. 【变式1】（21-22高一上·湖北武汉·期中）已知集合，，若，则实数a满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意； 当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意； 若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意， 综上：实数a满足. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：，分类讨论，根据包含关系可得实数a的取值范围. 【详解】因为，可知，则有： 若，则，解得； 若或，则，解得， 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； 可知符合题意； 若，则，无解，不合题意； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）解不等式得到，并根据，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）由，得，分和，得到不等式，求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，得或． 又，，则． 结合数轴，可得或 解得或． 则实数的取值范围是或 （2）由，得． 当时，，即，满足． 当时，结合数轴，如图（1）（4），可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】. 故选：. 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为， 则. 故选：A 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果，，，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补运算的定义即可求解. 【详解】由题设，所以， 故选：D 4．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】解：， 故选：C． 5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集定义求解即得. 【详解】由题意，. 故选：B. 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解集合，再求解两个集合的交集. 【详解】由题意可知，，则. 故选：D. 7．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：A. 8．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个集合，再使用并集运算的定义即可得到答案. 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由集合的表示方法以及交并集的概念求解即可. 【详解】由题意，解得集合，， 则，故A错误，B正确；，C正确；，D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据交、并集的定义和运算，结合选项即可求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BD． 11．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出，故B错误；C选项，由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以， 而，故B错误； C选项，因为，所以，C正确； D选项，，如图所示， 所以表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合或，，则 ． 【答案】 【分析】借助数轴，和集合交集运算的定义即可得出结果 【详解】由题意，将集合A、集合B用数轴表示如图所示： 根据交集运算的定义，可得， 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，结合集合交集的概念，即可求解. 【详解】由集合，， 联立方程组，解得，所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 【答案】 【分析】（1）列举集合的元素，再求解并集； （2）（3）根据集合的特征，结合并集的定义，即可求解. 【详解】（1），所以; （2），， 则； （3）集合，或， 所以 故答案为：；；R 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，求． 【答案】答案见解析 【分析】对分类讨论，再利用数轴求两集合交集 【详解】在数轴上标出集合，如图． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先求出集合P、Q，再根据交集和并集的定义求解即可得解. （2）联立方程组求解即可得到交集的元素，进而得解. 【详解】（1）∵，， ∴，． （2）由解得或 ∴． 17．（23-24高一上·广东广州·期中）设全集，集合，． (1)求； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式求得，再求交集即可； （2）由可得，再列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，, 所以. （2）解不等式得，则, 因为，则, 可知，解得, 故实数a的取值范围为. 18．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知集合 (1)若时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的交运算即可求解， （2）根据并集的结果转化为子集关系，即可分类求解. 【详解】（1）时，，又 所以 （2）由可得， 当时，即，此时，显然符合题意， 当时，，解得， 综上可得或 19．（20-21高一上·江西南昌·阶段练习）全集，若集合，． （1）求，，（结果用区间表示）； （2）若集合，，求a的取值范围； 【答案】（1），，；（2）. 【解析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由子集的定义求解． 【详解】解析：（1）∵，， ∴，， （2）∵，∴． 【点睛】本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系，属于基础题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$