第02讲 子集、全集、补集（3种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第02讲 子集、全集、补集（3种题型+3个易错点+过关检测） 知识点一、子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC； (2)若A≠∅，则∅A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 知识点二、补集与全集 1．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 题型1子集的概念 【例题1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值为（    ） A．2，18 B．2 C．18 D．0，2，18 【变式1】（21-22高一上·安徽安庆·期中）已知集合，则集合中元素的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且有4个子集，则实数m的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 题型2真子集的概念 【例题2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）集合的所有真子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】（23-24高一上·海南·阶段练习）集合且的真子集的个数是 ． 【变式3】（22-23高一上·河北张家口·期中）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 题型3全集与补集 【例题3】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）设全集，集合，则=（    ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 【变式1】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，设全集，则 ． 【变式3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 易错点1混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 【例题1】（22-23高一上·天津武清·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 易错点2忽略对空集的讨论而致错 【例题2】（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知集合，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； 若，求实数的取值范围； 易错点3忽略端点的取值情况而致错 【例题3】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）集合，集合，若，则实数a取值范围为（    ） A． B． C．a>2 D． 【变式1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知，，若，则的取值范围 . 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，若,求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（22-23高一上·四川眉山·期末）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·天津·期中）已知全集，集合，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）集合的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（22-23高一上·云南保山·阶段练习）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 5．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．（22-23高二上·湖南怀化·开学考试）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 11．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 三、填空题 12．（22-23高一上·上海金山·期末）设全集，若集合，则 . 13．（23-24高一上·江西景德镇·期中）若集合，集合，且，则 ． 14．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 16．（22-23高一上·山西太原·阶段练习）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围 17．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 18.（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 19．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集（3种题型+3个易错点+过关检测） 知识点一、子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC； (2)若A≠∅，则∅A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 知识点二、补集与全集 1．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 题型1子集的概念 【例题1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值为（    ） A．2，18 B．2 C．18 D．0，2，18 【答案】D 【分析】根据集合子集个数确定元素的个数，讨论、，结合一元二次方程中判别式求参数值. 【详解】由题意，集合A中只有一个元素，即方程仅有一个解， 当时，，可得或； 当时，方程为仅有一解，满足题设； 综上，实数a的值为0，2，18. 故选：D 【变式1】（21-22高一上·安徽安庆·期中）已知集合，则集合中元素的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先利用常用数集的定义化简集合，从而利用子集的个数公式即可得解. 【详解】因为，有2个元素， 所以的子集个数为个. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且有4个子集，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解不等式得到，根据的子集个数，得到元素个数，进而得到实数m的取值范围. 【详解】， 因为有4个子集，所以中有2个元素， 则. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【分析】对集合A的子集分类，分类依据是子集中含有的元素个数，从而即可求解. 【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 题型2真子集的概念 【例题2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】求得集合，得到，结合真子集的个数的求法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 因为，可得，所以的真子集的个数为个. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）集合的所有真子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据子集个数的求法公式计算即可求解. 【详解】由题意知，集合的真子集个数为. 故选：C 【变式2】（23-24高一上·海南·阶段练习）集合且的真子集的个数是 ． 【答案】15 【分析】由题意可得，即可求出真子集的个数. 【详解】由题意知，，集合A含有4个元素， 所以真子集的个数是. 故答案为：15 【变式3】（22-23高一上·河北张家口·期中）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可； （2）根据真子集的定义写出的所有真子集即可. 【详解】（1）因为，所以或， 当，即时，不满足集合元素的互异性； 当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或， 所以当时，， 综上实数. （2）由（1）得， 所以的所有真子集为，，. 题型3全集与补集 【例题3】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）设全集，集合，则=（    ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 【答案】A 【分析】根据补集运算的定义求解. 【详解】，， . 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念求解出结果. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 【变式2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，设全集，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合，全集， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 易错点1混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 【例题1】（22-23高一上·天津武清·阶段练习）下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，分析四个个选项，利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系即可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，1为元素，而为集合，应为，该选项错误； 选项B，为集合，而为集合，应为，该选项错误； 选项C，为集合，为集合，所以，该选项正确； 选项D，为集合，而为集合，应为，该选项错误； 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示出集合A，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】依题意，，所以，，B错误，D正确； 显然，，AC错误. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 【答案】 = 【分析】根据集合之间的关系逐项判断即可. 【详解】①集合中的元素具有无序性，故； ②空集是任何元素的子集，故； ③元素和集合之间是属于和不属于的关系，故； ④集合包含于集合，故. 故答案为：=；；；. 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求出集合，观察两集合中的元素的关系可判断； （2）求出集合，由两集合之间的包含关系分析判断. 【详解】（1）集合， 所以两个集合中的元素完全相同，这两个集合相等； （2）集合，集合中的元素都属于集合， 所以集合是的子集； 反之，集合中元素都属于集合， 所以集合是子集， 即两个集合互为子集，这两个集合相等 易错点2忽略对空集的讨论而致错 【例题2】（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，即时，此时满足，符合题意； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知集合，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为， 所以①当集合为空集时， ， ②当集合不为空集时， 当， 此时，满足题意； 当时，由韦达定理有： ，无解，舍去， 综上所述：若，则实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 【答案】或 【分析】根据，进行讨论和，求解参数范围. 【详解】当，则时，； 当，则时，， 要使，须有，解得， 综上可知，能使成立的a的取值集合为或． 故答案为：或 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； 若，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. 易错点3忽略端点的取值情况而致错 【例题3】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）集合，集合，若，则实数a取值范围为（    ） A． B． C．a>2 D． 【答案】D 【分析】根据列出不等式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围是. 故选：C 【变式2】（21-22高一上·四川遂宁·期末）已知，，若，则的取值范围 . 【答案】 【分析】根据包含关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于，所以，所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，若,求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，列出关于端点的不等式组，即可求解. 【详解】 解得， 故. 的取值范围是． 一、单选题 1．（22-23高一上·四川眉山·期末）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2．（22-23高一上·天津·期中）已知全集，集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】因为，且，所以. 故选：B. 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）集合的真子集个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】 利用集合元素个数即可求出集合共有三个真子集. 【详解】根据题意可知集合中有3个元素，所以共有个， 即有三个真子集. 故选：A 4．（22-23高一上·云南保山·阶段练习）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】C 【分析】根据真子集的定义即可得解. 【详解】且， 集合有个元素， 所以集合的真子集的个数是个. 故选：C. 5．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由解得即， 所以， 因为，所以， 故选:B. 6．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到参数的取值范围. 【详解】解：因为，且， 所以， 所以； 故选：B 7．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据集合中有个元素，从而可求解其非空真子集的个数，即可求解. 【详解】由题意知集合中有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为，故B项正确. 故选：B. 8．（22-23高二上·湖南怀化·开学考试）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得0，3均为中的元素，从而求得结果. 【详解】因为，故0，3均为中的元素，所以 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以或或. 故选：ABC. 10．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 11．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 三、填空题 12．（22-23高一上·上海金山·期末）设全集，若集合，则 . 【答案】/ 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故答案为：. 13．（23-24高一上·江西景德镇·期中）若集合，集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由子集关系得出元素的关系求得结果. 【分析】由已知，所以，解得. 故答案为：3. 14．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得A中共8个元素，从而可得结果； （2）根据子集关系布列不等式组，可得结果. 【详解】（1）当时，，，0，1，2，3，4，，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）显然， 根据得，，解得， 故实数m的取值范围是. 16．（22-23高一上·山西太原·阶段练习）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，列出不等式即可得到结果. （2）根据，分与进行讨论，列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以， 即a的取值范围是； （2）因为， 若，则； 若，则， 综上所述：． 17．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或 18.（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 19．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【分析】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$