专题05 分式易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题05 分式易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 分式的判断】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）代数式、、、、中，分式共有 个． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【易错必刷二 分式的规律性问题】 1．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一列数：，…，它们按一定的规律排列，则第n个数(n为正整数)为 ． 3．（2023·安徽滁州·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第6个等式：_______________________________________________； (2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明． 【易错必刷三 按要求构造分式】 1．（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 2．（22-23八年级下·河南南阳·期中）写出一个只含字母的分式，且当时，分式的值是-1，这个分式可以是 ． 3．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简） 【易错必刷四 分式有无意义的条件】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）根据下列表格信息，可能是（    ） … 0 1 2 … … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若分式有意义，则应满足的条件是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷五 分式值为零的条件】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．0或3 B．3 C． D．3或 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若分式的值为零，则 ． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）当取何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷六 分式的求值】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列条件下分式的值 (1) (2) 【易错必刷七 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）若分式的值为负数，则x的取值范围为 ． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【易错必刷八 求使分式值为整数时未知数的整数值】 1．（22-23七年级下·山东青岛·期中）若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．8 B．6 C．4 D．2 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）当满足 时，分式的值为整数． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 【易错必刷九 判断分式变形是否正确】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北保定·期中）在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：，括号里应填 ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． ①；②；③；④． 【易错必刷十 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 1．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的4倍，那么分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·湖北黄冈·开学考试）在中，若被除数和除数都除以，现在的商是 ；若不变，扩大倍，现在的商是 ；若不变，扩大倍，现在的商是 ． 3．（22-23八年级下·福建泉州·期中）（1）计算并填数： 1 2 5 10 1000 10000 （2）观察上表，描述的值的变化情况． （3）当非常大时，的值接近于什么数？ 【易错必刷十一 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 1．（22-23八年级下·湖北黄石·期中）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 2．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 3．（22-23七年级·上海·假期作业）不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 【易错必刷十二 将分式的分子分母的各项系数化为整数】 1．（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝ ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． (1)； (2)． 【易错必刷十三 最简分式与最简公分母】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【易错必刷十四 约分与通分】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入 ， ． 3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 【易错必刷十五 分式的加减法】 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（22-23八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，则的值为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【易错必刷十六 已知分式恒等式确定分子或分母】 1．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 2．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，则 ． 3．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 【易错必刷十七 分式加减的实际应用】 1．（22-23八年级上·福建龙岩·期末）2020年、2021年、2022年某地的森林面积（单位：）分别是a，b，c，2022年与2021年相比，森林面积增长率提高了（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛·一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为元，出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来 元（用最简分式表示）． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知． 方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程． 解： ， 因为，所以，即p一定大于q． 你觉得方方说法正确吗？为什么？ 【易错必刷十八 分式乘除法】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：，其结果是（　　） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果，那么分式的值是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【易错必刷十九 分式乘方】 1．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京房山·期中）计算： ． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）计算 (1)； (2)． 【易错必刷二十 分式化简求值】 1．（23-24八年级上·广东珠海·期末）计算：（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）若，则 ． 3．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【易错必刷二十一 分式方程的定义】 1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 3．（2021八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【易错必刷二十二 解分式方程】 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若代数式的值是3，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）分式方程，如果设，原方程则化为整式方程为 ． 3．（23-24八年级上·山东日照·期末）解下列方程 (1) (2) 【易错必刷二十三 根据分式方程解的情况求值】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组至少有三个整数解；且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的积为 ． 3．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【易错必刷二十四 分式方程的增根无解情况】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若数使关于的不等式组无解，使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之积是 ． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【易错必刷二十五 分式方程的实际应用】 1．（23-24八年级上·山东德州·期末）四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖果 乙种糖果 千克数 20 30 单价（元/千克） 25 15 商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 千克． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，大润发超市针对市民的口味准备了A、B、C、D四种口味，超市12月份销售C和B两种口味的香肠数量相同，销售额分别是2400元和3000元，其中B口味的单价比C口味的单价每千克多10元． (1)B口味和C口味的香肠每千克各是多少元？ (2)在（1）的条件下，大润发超市12月份A口味的销量比B口味的销量多千克，A和B两种口味的单价相同；D口味每千克的售价比C口味每千克售价高，D口味的销量比C口味的销量少10千克，最终12月份该超市四种口味的香肠的总销售额为11200元，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 分式的判断】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义．利用分式定义，分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可． 【详解】解：A、是多项式，故本选项不符合题意； B、是分式，故本选项符合题意； C、是单项式，故本选项不符合题意； D、是多项式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）代数式、、、、中，分式共有 个． 【答案】2 【分析】根据分式的定义：如果A、B表示两个整式，其中B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：不是分式，不符合题意； 是分式，符合题意； 不是分式，不符合题意； 不是分式，不符合题意； 是分式，符合题意； ∴分式一共有2个， 故答案为2 【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 【易错必刷二 分式的规律性问题】 1．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 2．（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一列数：，…，它们按一定的规律排列，则第n个数(n为正整数)为 ． 【答案】 【分析】观察可知，分子用n表示，则分母用n2+1表示，从而可求解． 【详解】第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， 第4个数为：， 第5个数为：， …… 第n个数为：． 故答案为：． 【点睛】本题是一道有关数字的变化规律题，解题的关键是由所给的数字总结出存在的规律． 3．（2023·安徽滁州·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第6个等式：_______________________________________________； (2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：，按照此规律即可求解； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：第6个等式：； 故答案为：． （2）解：第个等式：； 证明：右边 左边， ∴等式成立． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题． 【易错必刷三 按要求构造分式】 1．（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩． 【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分， ∴两班在这次测验中的总分为：分， ∴两班在这次测验中的总平均分是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 2．（22-23八年级下·河南南阳·期中）写出一个只含字母的分式，且当时，分式的值是-1，这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据要求和分式的定义可写出即可． 【详解】解：如-，，等，只要分母不等于0且当时，分式的值是-1均可． 故答案为-（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了分式的定义以及分式求值，掌握分式的定义成为解答本题的关键． 3．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简） 【答案】 【分析】根据题意对顺流和逆流时的时间列式表达，然后相加即可得出结论． 【详解】解：船从A到B顺流而下，所需时间为， 从B返回A逆流而上，所需时间为， ∴船从A港出发到返回A港共用时间为． 【点睛】本题考查列分式表示实际问题，理解题意，掌握列分式的基本规则是解题关键． 【易错必刷四 分式有无意义的条件】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）根据下列表格信息，可能是（    ） … 0 1 2 … … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴分式的分母可能是， ∵当时，分式为0， ∴分式的分子可能是， ∴分式可能是， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若分式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，从而得出结果． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)取任何实数 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． （1）根据分式的分母不等于零解答； （2）根据分式的分母不等于零解答； （3）根据分式的分母不等于零解答； （4）根据分式的分母不等于零解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：由题意得：， 解得：； （4）解：由题意得：， ， 取任何实数． 【易错必刷五 分式值为零的条件】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A．0或3 B．3 C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为零，掌握分式的性质，分式值为零的含义是解题的关键． 根据分式的值为零，即分式的分子为零，分母不能为零，由此即可求解． 【详解】解：， ∴或，且分式的分母中， ∴， 故选：B ． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，解方程和不等式等知识点，利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可，熟练掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解决此题的关键． 【详解】根据题意得且， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）当取何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)无解 (4) 【分析】本题考查了分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 关键是熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键； （1）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； （2）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； （3）根据任何非零的数的平方都是非负数，当时，，分式无意义，故无解； （4）根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可； 【详解】（1）由，得． 当时，分式的值为0． （2）， 又， 即． 当时，分式的值为0． （3）时，， 分式无意义， 没有使分式的值为0的值． （4）由 ， 得 当时，分式的值为0． 【易错必刷六 分式的求值】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，根据题意得到，再代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列条件下分式的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】分别把代入分式中，求出分式的值． 【解】（1）当时，， （2）当时，． 【易错必刷七 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）若分式的值为负数，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据分子为非负数，可得分母为负，分子不为零，即可求解． 【详解】依题意可得 解得且 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式为负的条件． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 【易错必刷八 求使分式值为整数时未知数的整数值】 1．（22-23七年级下·山东青岛·期中）若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由原式为整数可得出或或或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x是整数，且的值也是整数， ∴或或或， ∴或或0或．共有4个， 故选：C 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简与求值的方法并明确数的整除性是解题的关键． 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）当满足 时，分式的值为整数． 【答案】 【分析】分当和时两种情况讨论，去绝对值符号即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，，是整数， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求分式的值，绝对值的性质，分类求解是解题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 【答案】小芳的解答不对．改正见解析 【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而的值是，，，故可以求出的值． 【详解】解：小芳的解答不对， 若使分式值是一个整数，则一定是4的约数，4的约数有，，共6个， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 即，，0，2，3，5时，分式的值是整数． 【点睛】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根． 【易错必刷九 判断分式变形是否正确】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式的基本性质， 根据分式的基本性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：. 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北保定·期中）在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：，括号里应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0 的整式，分式的值不变”是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． ①；②；③；④． 【答案】①；②；③；④ 【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案. 【详解】解：①； ②； ③； ④ 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的三个符号问题是解题的关键. 【易错必刷十 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 1．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的4倍，那么分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的4倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式． 【详解】解：A、，分式的值保持不变，符合题意； B、，分式的值改变，不符合题意； C、，分式的值改变，不符合题意； D、，分式的值改变，不符合题意； 故选：A． 2．（22-23七年级上·湖北黄冈·开学考试）在中，若被除数和除数都除以，现在的商是 ；若不变，扩大倍，现在的商是 ；若不变，扩大倍，现在的商是 ． 【答案】 ； ； ； 【分析】因为除法可以转换成分数形式，根据分数的基本性质进行解答即可． 【详解】在中，若被除数和除数都除以，现在的商是； 若不变，扩大到原来的倍，现在的商是； 若不变，扩大到原来的倍，现在的商是； 故答案为：，，． 【点睛】此题考查了有理数的运算，理解分数的基本性质是解题关键． 3．（22-23八年级下·福建泉州·期中）（1）计算并填数： 1 2 5 10 1000 10000 （2）观察上表，描述的值的变化情况． （3）当非常大时，的值接近于什么数？ 【答案】（1）表格详见解析；（2）随着的增大，的值也越来越大，并且越来越接近于0；（3）当非常大时，的值接近于1． 【分析】（1）根据x的值，分别求出的值填入表格即可； （2）根据表格中x与值变化写出即可； （3）根据表格中x值最大时，找到值接近的数，从而找到接近的数，写出即可. 【详解】解：（1）， ， 填表如下： （2）观察上表，随着的增大，的值也越来越大，则并且越来越接近于0； （3）当非常大时，越来越接近于0， 则的值接近于1． 【点睛】本题是对分式求值的考查，准确根据代数式求值和找到表格中数值的规律是解决本题的关键. 【易错必刷十一 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 1．（22-23八年级下·湖北黄石·期中）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 2．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 3．（22-23七年级·上海·假期作业）不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案； （2）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 【易错必刷十二 将分式的分子分母的各项系数化为整数】 1．（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 2．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝ ． 【答案】 【分析】将分子、分母都乘以6可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是利用分式的性质进行求解． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把分式的分子、分母同时乘以10即可得出结论； （2）把分式的分子、分母同时乘以30即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【易错必刷十三 最简分式与最简公分母】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键；因此此题可根据“分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式”进行求解即可 【详解】解：，，，都不是最简分式， ，，是最简分式， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法主要包括以下几个步骤：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母（或因式）的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母；由此即可得出答案． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， 故答案为：． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【易错必刷十四 约分与通分】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，利用分式的性质约分即可求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：①； ②． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键． （1）将分式分子分母分解因式，再约分即可； （2）根据通分法则计算即可． 【详解】解：（1）． （2）最简公分母为， ， ． 【易错必刷十五 分式的加减法】 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 2．（22-23八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得出，代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出是解题的关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， 原式． 【易错必刷十六 已知分式恒等式确定分子或分母】 1．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 2．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①+②得：； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 【答案】A=3，B=5． 【分析】根据分式的加法运算法则进行化简，然后利用待定系数法求出A与B的值． 【详解】解： ， 由题意可知：， 解得：A=3，B=5． 【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型． 【易错必刷十七 分式加减的实际应用】 1．（22-23八年级上·福建龙岩·期末）2020年、2021年、2022年某地的森林面积（单位：）分别是a，b，c，2022年与2021年相比，森林面积增长率提高了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】解：2021年的增长率是：， 2022年的增长率是：， 则2022年与2021年相比，森林面积的增长率提高了：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了列代数式，分式加减运算，正确表示出增长率和掌握分式加减运算法则是解题关键． 2．（2023·山东青岛·一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为元，出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来 元（用最简分式表示）． 【答案】 【分析】直接根据题意表示出平均每人要付的车费，进而结合分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：（元）； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了最简分式，分式的加减，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知． 方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程． 解： ， 因为，所以，即p一定大于q． 你觉得方方说法正确吗？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据分式加减运算法则求出，然后分情况进行讨论即可． 【详解】解：方方说法不正确，理由： ∵ ， 而方方在解答过程中将分母去掉了， ∴方方说法不正确． 正确的解法为： ∵ ， ∵，当时，， ∴， ∴p大于q； ∵，当时，， ∴， ∴p大于q； ∵，当时，， ∴， ∴p小于q． 综上，p不一定大于q． 【易错必刷十八 分式乘除法】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：，其结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷十九 分式乘方】 1．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 2．（23-24八年级上·北京房山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的计算．根据分式的乘方法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）先算乘方，再约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【详解】（1）原式； （2）原式． 【易错必刷二十 分式化简求值】 1．（23-24八年级上·广东珠海·期末）计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，根据同分母分式分母不变，分子相加减求解即可得到答案； 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】根据得，结合，解答即可． 本题考查了已知代数式的值，求值，通分，整体变形是解题的关键． 【详解】解：根据得， 故， 故答案为：1． 3．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【易错必刷二十一 分式方程的定义】 1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 2．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 3．（2021八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 【易错必刷二十二 解分式方程】 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若代数式的值是3，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了解分式方程，根据题意可得，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）分式方程，如果设，原方程则化为整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元法解分式方程，掌握整体换元的思想是解本题的关键．根据完全平方公式得出，即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴原方程则化为整式方程为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东日照·期末）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：方程两边乘， 得， 解得：， 检验：当时，， 故是增根，原方程无解； （2）解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【易错必刷二十三 根据分式方程解的情况求值】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，先解方程得到，再由方程的解为正数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：A． 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组至少有三个整数解；且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的积为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．不等式组整理后，由已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出的值，进而确定出满足题意的所有的值，求出它们的积即可． 【详解】解不等式组 得:， ∵不等式组至少有三个整数解， ， 解得：， 解关于的分式方程 ， 得: ， ∵分式方程解为正整数，且 ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的积为， 故答案为:． 3．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【答案】正整数m的值为1或2或4或5 【详解】解：方程两边同乘，得，解得 ∵该分式方程的解为非负数， 且， 解得且， ∴符合要求的正整数m的值为1或2或4或5． 【易错必刷二十四 分式方程的增根无解情况】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先去分母化为整式方程，再根据增根的定义求出的值，然后代入整式方程求解即可．掌握分式方程增根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 两边都乘以，得， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴． ∴， ∴， 故选：A． 2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若数使关于的不等式组无解，使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】90 【分析】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握运算算法则是解本题的关键．先分别解两个不等式，和分式方程，再分别根据解的情况得出m的范围，进而求解即可． 【详解】不等式组整理得， 由不等式组无解，可得， 解得， 分式方程去分母，得， 解得， 由分式方程的解为正数，可得， 解得且， ∴的取值范围为且， ∴满足条件的整数的值为， ∴乘积为， 故答案为：90． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 【易错必刷二十五 分式方程的实际应用】 1．（23-24八年级上·山东德州·期末）四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系是解题的关键． 由“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得出一株椽的价格为文，结合单价=总价数量，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵这批椽有株，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价格为文， 根据题意得：． 故选：D． 2．（2023·浙江杭州·二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖果 乙种糖果 千克数 20 30 单价（元/千克） 25 15 商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 千克． 【答案】10 【分析】 本题考查了分式方程的应用．设需加入甲种糖千克，利用单价总价数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】 解：设需加入甲种糖千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 需加入甲种糖10千克． 故答案为：10． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，大润发超市针对市民的口味准备了A、B、C、D四种口味，超市12月份销售C和B两种口味的香肠数量相同，销售额分别是2400元和3000元，其中B口味的单价比C口味的单价每千克多10元． (1)B口味和C口味的香肠每千克各是多少元？ (2)在（1）的条件下，大润发超市12月份A口味的销量比B口味的销量多千克，A和B两种口味的单价相同；D口味每千克的售价比C口味每千克售价高，D口味的销量比C口味的销量少10千克，最终12月份该超市四种口味的香肠的总销售额为11200元，求a的值． 【答案】(1)B：50元/千克，C：40元/千克 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设C口味的香肠每千克x元，则B口味的香肠每千克元，利用数量总价单价，结合益家超市月份销售B和C两种口味的香肠数量相同，即可得出关于的分式方程，即可求解； （2）利用数量总价单价，可求出12月份B和C口味的香肠的销量，利用总价单价数量，结合12月份该超市四种口味的香肠的总销售额为11200元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】（1）解：设C口味的香肠每千克x元，则B口味的香肠每千克元． 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， B口味：（元）． 答：B口味的香肠每千克50元，C口味的香肠每千克40元． （2）解：由（1）得12月B口味的销量为：（千克）， 12月C口味的销量为：（千克）， 由题意可得： ， 解得：． 答：的值为5． 学科网（北京）股份有限公司 $$