专题03 分式的加减乘除计算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题03 分式的加减乘除计算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式加减乘除混合运算 题型十三 分式化简求值 知识点1：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点2：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点3：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则m，n的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）在计算时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则⊗表示的式子为 ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式计算 (1)化简： (2)先化简，再求值：，其中a从，，0中的一个合适数代入求值． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）定义一种新运算，例如，则 ． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）化简： (1)； (2)． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（22-23七年级下·广西·期末）计算，结果是（   ） A． B． C． D． 1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东·课后作业）-( ) 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 1．（22-23八年级上·四川德阳·期末）若，则M、N的值分别为(   ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 2．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）已知，则 ， ． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知（是正整数）． (1)计算：； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示之间的关系． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的正确结果是（      ） A． B． C．1 D． 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算得（  ） A． B． C． D．2 2．（2023·云南昆明·模拟预测）已知：且，，，，，则等于 ． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为，下坡速度为，则他上下坡的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b 是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a， b的代数式表示，需化为最简形式） 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题： (1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ． (2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（22-23八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·吉林·期末）计算： ． 3．（22-23八年级上·北京西城·期末）观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（22-23八年级上·河北廊坊·期末）计算的结果为（   ） A． B．m C． D． 1．（22-23八年级上·河北邢台·期中）在等式中，M为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）计算的结果是 ． 3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（2023·河北·模拟预测）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 1．（22-23八年级上·山东烟台·期中）计算÷•的结果是（    ） A． B．x C． D．2y 2．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）计算：= ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（22-23八年级上·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·全国·课时练习）（为正整数）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·浙江·专题练习）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 1．（2023九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 2．（22-23八年级上·全国·课时练习）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】 【例12】（23-24八年级上·浙江台州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 3．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．（2024八年级下·湖北·专题练习）已知 ，则分式的值是 ． 3．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 1．（2024·河北邯郸·一模）化简的结果是（    ） A． B． C．x D． 2．（22-23八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中正确的是（　　） A．＝ B． C． •＝﹣ D． 3．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若，，则的值等于（    ） A．2012 B．2011 C． D． 5．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 6．（22-23八年级下·河南南阳·期末）计算： ． 7．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）化简的结果是 ． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果为 ． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）计算 ． 10．（22-23八年级下·山东青岛·期末）为了进一步优化环境，某区计划对长3000米的河道进行整治，原计划每天修x米，为减少施工对居民生活的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高20%，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了 天．（结果化为最简） 11．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）以下是圆圆的的解题过程中 先化简，再求值： ，其中． 解：原式…① 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 14．（23-24八年级上·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 15．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 【应用】 (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； 【拓展】 (3)已知分式的值为整数，求正整数x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式的加减乘除计算重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式加减乘除混合运算 题型十三 分式化简求值 知识点1：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点2：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点3：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点4：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的加减法，先对分式进行约分，再利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， ， 故选：． 1．（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则m，n的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）在计算时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则⊗表示的式子为 ． 【答案】m 【分析】根据题意可得，求出即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：m． 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的运算法则是解题的关键． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式计算 (1)化简： (2)先化简，再求值：，其中a从，，0中的一个合适数代入求值． 【答案】(1)2 (2)， 【分析】本题考查了分式的加法，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序，以及分式有有意义的条件：分母不为0． （1）根据同分母加减运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算顺序将分式化简，再根据分式有有意义的条件得出a的值，最后将a的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 根据分式有意义的条件可得：， 则， ∴， 当时，原式． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的运算，根据分式的加法，分式的约分分别判定即可． 【详解】A选项：，而，故本选项等式不成立； B选项：，故本选项等式成立； C选项：，故本选项等式成立； D选项：，故本选项等式成立． 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）定义一种新运算，例如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是负整数指数幂及有理数混合运算．根据定义确定n的值，再代入计算求解． 【详解】解：由新定义的运算可知， ． 故答案为： 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，异分母分式加法，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式展开，然后合并解题即可； （2）根据异分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（22-23七年级下·广西·期末）计算，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式进行通分化简，然后进一步计算出答案即可. 【详解】由题意得：==， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握相关方法是解题关键. 1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：原式==，故选A． 考点：分式的加减法． 2．（22-23八年级上·山东·课后作业）-( ) 【答案】错误 【分析】对分式先通分，再进行加减运算. 【详解】- 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是先通分再进行运算. 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题主要查了分式的化简：     （1）根据“和谐分式”的定义，即可求解； （2）根据题意化简分式，即可． 【详解】（1）解：①是“和谐分式”； ②不是“和谐分式”；     ③是“和谐分式”；     ④不是“和谐分式”； 故答案为：①③ （2）解： ． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 【答案】C 【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值. 【详解】， ， 得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11， ∴A+11=5，-2A-11=1， ∴A=-6. 故选C. 【点睛】此题考查了分式的加减法,分式加减法的关键是通分,通分的关键是找最简公分母 1．（22-23八年级上·四川德阳·期末）若，则M、N的值分别为(   ) A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1 【答案】B 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N的值． 【详解】， ∴M+N=-3，N-M=1， 解得：M=-2，N=-1． 故选B． 【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 2．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】先把等式的右边通分，再与左边相比较即可得出结论． 【详解】解：∵右边 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案是：； 【点睛】本题考查的是分式的通分，熟练掌握分式混合运算法则是解答此题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知（是正整数）． (1)计算：； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据异分母分式的减法，先通分，再进行计算即可； （2）根据得出，再进行化简即可； （3）将x和y的表达式代入，再进行化简，得出，根据∵为正整数，是正整数，得出或，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ， ， ∴； （3）解： ， ∵为正整数，是正整数， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的正确结果是（      ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减法，即可得到答案． 【详解】解： = = =； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算得（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】试题分析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2． 故选D． 点睛：本题考查了分式的加减运算，解决此题的关键是把4b－a转化为－(a－4b)． 2．（2023·云南昆明·模拟预测）已知：且，，，，，则等于 ． 【答案】 【分析】分别求出、、，发现：每三个为一个循环，用2020除以3即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴发现：每三个为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【答案】(1)②③ (2)或 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可； 本题考查了分式的加减法和绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，正确理解新定义的法则是解题关键． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②③， （2）设分式的“美妙分式”为， 则 ， 或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或. 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为，下坡速度为，则他上下坡的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减的应用；由题意知，设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为，时间为，利用平均速度=总路程÷总时间即可解答． 【详解】设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为， ∴上坡的时间=，下坡的时间=， ∴他上下坡的平均速度为． 故选D． 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b 是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a， b的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】 【分析】根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是： ， 乙购买面粉的平均单价是： ， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为： ， ， 高的平均单价与低的平均单价的差值为：． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题： (1)填空：户型一的面积（包括入户花园）： ；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝ ． (2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由． 【答案】(1)， (2)户型二的单价较低，理由见详解 【分析】（1）户型一是边长为的正方形，根据完全平方公式计算即可．分别计算户型一入户花园面积与户型二入户花园面积，作差即可． （2）先根据总价÷总面积＝单价，计算两种户型的单价，再利用作差法，即可作出判断． 【详解】（1）户型一的面积为： ， ， 故答案为：，． （2）户型一的单价为：万元， 户型二的单价为：万元， ， ， ，， ， ∴户型二的单价较低． 【点睛】本题考查了比较代数式大小及分式加减法的应用等知识，掌握整式混合运算与分式加减法的运算法则，并利用作差法比较大小是解题的关键． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（22-23八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，然后将各分式的分子、分母因式分解，进而可通过约分、化简得出结果． 【详解】＝ 故选A． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算．如果分子、分母是多项式，那么就应该先分解因式，然后找出它们的公因式，最后进行约分. 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解. 【详解】， =， =. 故选A. 【点睛】本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键. 2．（22-23八年级上·吉林·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】先将第二项的分子分解因式，再约分化简即可． 【详解】， 故答案为：1． 【点睛】此题考查分式的乘法，掌握乘法的计算法则是解题的关键． 3．（22-23八年级上·北京西城·期末）观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第的等式； （2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性． 【详解】（1）解：由题目中的等式可得， 第5个等式为：，第个等式是， 故答案为：，； （2）证明：左边， 右边， 左边右边， 故猜想正确． 【点睛】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（22-23八年级上·河北廊坊·期末）计算的结果为（   ） A． B．m C． D． 【答案】A 【分析】直接进行分式的除法运算，把除法转为乘法后，最后要注意将结果进行约分． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 1．（22-23八年级上·河北邢台·期中）在等式中，M为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解． 【详解】， 即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的乘除，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（2023·河北·模拟预测）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】B 【分析】运用分式的乘除运算法则逐项排查即可． 【详解】解：，即甲正确； ，即乙错误； ，即丙正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式乘除的运算法则，掌握并灵活运用分式乘除的运算法则成为解答本题的关键． 1．（22-23八年级上·山东烟台·期中）计算÷•的结果是（    ） A． B．x C． D．2y 【答案】A 【分析】原式从左到右依次计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）计算：= ． 【答案】 【分析】首先计算乘方、把除法转化成乘法运算，然后进行约分即可； 【详解】解：原式== 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，约分是解答的关键． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，解题的关键是掌握分式的乘除法法则． （1）根据分式的乘除法法则运算即可； （2）根据分式的除法法则运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（22-23八年级上·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 1．（22-23八年级上·全国·课时练习）（为正整数）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘方计算法则解答． 【详解】． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键． 2．（2023九年级·浙江·专题练习）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 【答案】 两 【分析】（1）根据分式的基本性质解答； （2）根据分式的加减法计算法则解答； （3）根据分式的乘除法计算法则解答； （4）根据分式的乘方法则解答． 【详解】解：（1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：． 故答案为：两； （2）分式的加减法： 同分母相加减：； 异分母相加减：． 故答案为：，； （3）分式的乘除法： ；． 故答案为：，； （4）分式的乘方： （n为正整数） 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的基本性质，分式的加减、乘除、乘方运算法则，熟记法则是解题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 1．（2023九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 2．（22-23八年级上·全国·课时练习）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 3．（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，分式的混合计算： （1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】 【例12】（23-24八年级上·浙江台州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简，先通分算括号内的，再把分子，分母分解因式约分即可． 【详解】解： ； 故选：A． 1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：由题意可得： 被墨汁遮住部分的代数式是， ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算前两项的和，再求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 3．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算． （1）先用提公因式法和公式法分解因式，再将除法转化为乘法，最后约分即可； （2）先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】（1） ； （2） 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式化简法则将化简，再把代入即可，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 原式， 故选：B． 1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算将化简为，再将代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 上式的值为， 故选：A． 2．（2024八年级下·湖北·专题练习）已知 ，则分式的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将变形为，再把已知代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， 由题意得，且， ∴时， 原式， ． 1．（2024·河北邯郸·一模）化简的结果是（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简．根据题意直接两式相加，再将分子因式分解后约分即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（22-23八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中正确的是（　　） A．＝ B． C． •＝﹣ D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质以及运算法则逐项分析即可． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查分式的性质以及分式的乘除运算，熟记基本性质和运算法则是解题关键． 3．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若，，则的值等于（    ） A．2012 B．2011 C． D． 【答案】D 【分析】先对所求的分式的分子分母因式分解，再约分，最后把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴原式， 当， 原式， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是注意分子、分母的因式分解，以及整体代入． 5．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题考查列代数式的知识，根据工作时间工作总量工作效率，表示出原计划所用时间，以及现在所用时间，利用原计划所用时间现在所用时间，即可解题． 【详解】解：由题意得，原计划所用时间为：天， 现在所用时间为：天， 工厂完成这个订单的时间比原计划提前天， 故选：B． 6．（22-23八年级下·河南南阳·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 7．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加法运算法则是解本题的关键． 原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，分式的化简，因式分解，熟知运算规则是解题的关键． 先进行分式的减法，再对分子分母进行因式分解，进行分式的化简． 【详解】解： 故答案为： ． 9．（2023八年级下·全国·专题练习）计算 ． 【答案】 【分析】先算乘方，再把除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则得结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 10．（22-23八年级下·山东青岛·期末）为了进一步优化环境，某区计划对长3000米的河道进行整治，原计划每天修x米，为减少施工对居民生活的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高20%，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了 天．（结果化为最简） 【答案】 【分析】根据原计划完成的天数-实际完成的天数=缩短的工期天数，解答即可． 【详解】解：根据题意，得：（天）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式，注意化简． 11．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 13．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）以下是圆圆的的解题过程中 先化简，再求值： ，其中． 解：原式…① 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【答案】有错误；正确的解答过程见解析 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了分式的加法运算法，掌握分式的加法法则是解题的关键． 14．（23-24八年级上·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 15．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 【应用】 (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； 【拓展】 (3)已知分式的值为整数，求正整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或16 【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可； （2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式； （3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）设，则， ∴ ∴， 故答案为：； （3）设，则， ∴ ∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，， 由，得或 由，得或（舍） ∴正整数x的值为4或2或16． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则． 学科网（北京）股份有限公司 $$