专题01 多项式的因式分解与提公因式法重难点题型专训（2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

专题01 多项式的因式分解与提公因式法重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用因式分解求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下列各式属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）分解因式： ． 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 3．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    4．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 3．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为 ． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）在多项式中，各项的公因式是(    ) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）多项式的公因式为 ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）因式分解： ． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 1．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）化简． (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）（1）已知，，求的值． （2）化简求值：，其中，． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由. 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 1．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 3．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______，共运用了______次． (2)请用上述方法因式分解：． (3)猜想：（是正整数）因式分解的结果是______． 【拓展训练三 运用因式分解求多项式的值】 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 1．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知，，①由，可得；②由，可得依此方法计算的值是（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 6．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）4x2-9=(2x+3)(2x-3)从左到右的变形是 . 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）运用简便方法计算： （1） ； （2） ． 9．（24-25八年级上·湖南永州·期末）若，则 ． 10（24-25八年级上·湖南永州·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 . 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）分解因式： (1) (2) 12．（2025八年级上·湖南娄底·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 13．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）阅读理解 请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ①； ②; ③； ④；…… 问题： (1)（____________）； (2)________； (3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解； (4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______． 15．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 多项式的因式分解与提公因式法重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用因式分解求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）下列各式属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式乘积的形式”判断即可． 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解； B. ，最后运算减法，不是因式分解； C. ，是因式分解； D. ，最后运算加法，不是因式分解； 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 直接提取公因式法，进而分解因式得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25八年级上·湖南怀化·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的特征逐项判断即可．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】A、是因式分解，运用平方差公式分解，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、不是因式分解，此选项是将前两个整式做了乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； C、不是因式分解，此选项是整式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； D、不是因式分解，等号右边几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解的方法逐一排除即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项因式分解不完全，不符合题意； 、，原选项因式分解正确，符合题意； 、左边不可以因式分解，原选项不符合题意； 、的右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，原选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 3．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)不是；理由见解析 (3)是；理由见解析 (4)是；理由见解析 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知因式分解的定义是关键． 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可． 【详解】（1）解：是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （2）不是因式分解，因为变形后的式子不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义． （3）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． （4）是因式分解，因为变形后的式子是整式与整式的积，符合因式分解的定义． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由多项式分解因式后有一个因式是得出当时，多项式的值为，由此得出关于的方程，求出方程的解即可， 【详解】解：多项式分解因式后有一个因式是， 当时，多项式的值为， 即， 解得：， 故选． 【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键． 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题的关键． 根据整式合并后对应项的系数相等即可解答． 【详解】解：∵关于x的多项式可以分解为， ∴， ∴． 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为 ． 【答案】4 【分析】设另一个因式为x-a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2﹣mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得结论． 【详解】解：设另一个因式为x﹣a， 则x2﹣mx+n=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣ax﹣2x+2a=x2﹣（a+2）x+2a，得： ， ∴2m-n=2（a+2）-2a=4， 故答案为4． 【点睛】本题是因式分解的意义，按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）在多项式中，各项的公因式是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解． 【详解】解：在多项式中，各项的公因式是， 故选：A． 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把多项式进行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴多项式与的公因式是； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，正确的求出多项式的公因式． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）多项式的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式中， 系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是， 因此公因式是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·课堂例题）（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，因式分解，先把式子整理得，再提公因式，进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选B． 1．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式、因式分解的应用，正确找出公因式是解题关键． 直接利用提取公因式法分解因式即可解答． 【详解】解： =． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式． 观察多项式，确定各项的公因式为，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：对多项式进行因式分解，先找出各项的公因式． 在中含有因式a和在中含有因式、a和所以公因式为． 提取公因式可得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 1．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简和提公因式法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）提取公因式，然后化简，即可求解； （2）先对分式的分子的分母分别因式分解，然后根据分式的性质即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）（1）已知，，求的值． （2）化简求值：，其中，． 【答案】（1）10；（2）， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，整式的化简求值： （1）把所求式子因式分解为，据此利用整体代入法求解即可； （2）先根据多项式除以单项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2） ， ，时，原式． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由. 【答案】能，或. 【分析】化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k的方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ . ∴要使代数式，只要. ∴，解得或. 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 1．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题关键． （1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先把前两项利用平方差公式因式分解，再提取公因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （5）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解即可； （6）利用分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 3．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______，共运用了______次． (2)请用上述方法因式分解：． (3)猜想：（是正整数）因式分解的结果是______． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】本题考查了利用提取公因式法进行多次因式分解及规律探究，解题的关键是理解并运用逐步提取公因式的方法，观察因式分解过程中的规律． （1）观察所给因式分解过程，判断使用的方法及运用次数； （2）模仿题目中给出的方法，依次提取公因式进行因式分解； （3）根据前两问的结果，归纳总结出一般规律． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法． 第一次提取公因式后得到； 第二次提取公因式后得到，共运用了2次． 故答案为：提取公因式法，2． （2） 故答案为：． （3）由（1）中结果为（此时中结果为（此时，可猜想： 因式分解的结果是． 【拓展训练三 运用因式分解求多项式的值】 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式． 【答案】 【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x-1）（x-9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x-2）（x-4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案． 【详解】解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）． 因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以原多项式为． 【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】(1)提取公因式 (2) (3) 【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可； （2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可； （3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法 故答案为：提取公因式 （2）解：由题意得： （3）解：设，将代入中得： 原式 【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果． 1．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式变成几个整式乘积的形式，逐一判断即可； 【详解】解： A 左边是多项式，但右边是一部分乘积，整体还是多项式，故选项错误； B 、左边是整式乘积的形式，右边是多项式，这个是整式的乘法运算，故选项错误； C、48是一个数不是多项式，故选项错误； D、左边是多项式，右边是整式乘积，并且两边相等，故选项正确； 故选D. 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用公式法和提公因式法分解因式．根据完全平方公式和提公因式法逐项因式分解即可得到答案． 【详解】解：A．，能用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意； B． ，能用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意； C． ，不能用提公因式法分解因式，故此选项符合题意 D．，能用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知，，①由，可得；②由，可得依此方法计算的值是（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，因式分解，掌握多项式乘多项式法则是正确解答的关键． 根据题目所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：已知， ①由，可得； ②由，可得； ③由，可得； ④由，可得； ⑤由，可得； ⑥由，可得； 故选：A． 6．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）4x2-9=(2x+3)(2x-3)从左到右的变形是 . 【答案】因式分解 【详解】因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，由此可得该变形属于因式分解. 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·随堂练习）运用简便方法计算： （1） ； （2） ． 【答案】 9400 2000 【分析】此题主要考查利用因式分解简化比较复杂的计算，此题分别利用了提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式，通过分解因式可以大大简化计算过程，平时应该多训练这方面的问题． （1）利用平方差公式分解因式即可简化计算，从而求出结果； （2）先提公因式80，然后利用完全平方公式分解因式即可求出结果． 【详解】解：（1） ； （2）      ； 故答案为：9400；2000． 9．（24-25八年级上·湖南永州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 10（24-25八年级上·湖南永州·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 . 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 12．（2025八年级上·湖南娄底·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解 (2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解 (3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解 (4)等式的左边不是多项式，不是因式分解 【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答； （2）根据因式分解的定义判断即可得答案； （3）根据因式分解的定义判断即可得答案； （4）根据因式分解的定义判断即可得答案． 【详解】（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2），一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3），没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4），等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 13．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）阅读理解 请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ①； ②; ③； ④；…… 问题： (1)（____________）； (2)________； (3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解； (4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______． 【答案】(1) (2) (3)是 (4)； 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解，规律探究，解题的关键是理解题意，得出一般规律． （1）仿照已知等式归纳总结得出规律，写出结果即可； （2）根据解析（1）中得到规律，写出即可； （3）根据因式分解的定义进行判断即可； （4）根据平方差公式进行因式分解，然后根据因式分解的结果得出即可． 【详解】（1）解：∵； ; ； ； …… ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：根据（1）中得出的规律可知： ． 故答案为：． （3）解：以上各等式，从左到右的变形是因式分解． 故答案为：是． （4）解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：；． 15．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$