第01讲 有理数的加法（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第01讲 有理数的加法 课程标准 学习目标 ①有理数加法的运算法则 ②有理数加法的运算定律 1. 掌握有理数的运算法则并熟练的对有理数进行加法计算。 2. 掌握有理数的运算定律并能够熟练的用定律对有理数加法进行简便运算。 3. 掌握有理数加法中的一些计算技巧并能够熟练应用。 知识点01 有理数的加法运算法则 1. 加法运算法则： ①同号相加：同号相加， 不变， 相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和 每一个加数，同为负数相加时，和 每一个加数。 ②异号相加：异号相加，取绝对值 的数的符号，再把 做差。大的绝对值减去 小的绝对值。 ③与0相加：任何数与0相加都等于 。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 【即学即练1】 1．计算： （1）15+（﹣22）； （2）（﹣13）+（﹣8）； （3）（﹣0.9）+1.5； （4）． 知识点02 有理数加法的运算定律与技巧 1．有理数加法的运算定律： ①加法交换律：交换加数的位置，和 。。 ②加法结合律：三个加数相加时，先把 加数相加或先把 加数相加，和不变。即： 2. 有理数加法计算时的技巧： （1） 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2） 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3） 凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4） 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号 ） 【即学即练1】 2．计算． （1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）； （2）13+（﹣12）+17+（﹣18）； （3）（﹣）+（﹣）++（﹣）； （4）（﹣20）+3+20+（﹣）； （5）（﹣3.75）+2+（﹣1）； （6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）． 题型01 有理数的加法计算 【典例1】计算： （1）（﹣8）+（﹣15）； （2）（﹣20）+15； （3）16+（﹣25）； （4）2.7+（﹣3.8）； （5）+（﹣）； （6）（）+（﹣）． 【变式1】计算： （1） （2） （3） （4）． 【变式2】计算 （1）9+（﹣7）+10+（﹣3）+（﹣9） （2）12+（﹣14）+6+（﹣7） （3）﹣ （4）﹣4.2+5.7+（﹣8.7）+4.2． 【变式3】计算： （1）23+（﹣17）+6+（﹣22）； （2）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4）； （3）（﹣）+（﹣）++（﹣）； （4）（﹣4）+（﹣3）+6+（﹣2）． 【变式4】阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式＝ ＝ ＝ 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算：． 题型02 有理数的加法与绝对值 【典例1】已知|a|＝15，|b|＝14，且a＞b，则a+b的值等于（　　） A．29或1 B．﹣29或1 C．﹣29或﹣1 D．29或﹣1 【变式1】若x2＝9，|y|＝2，且x＜y，求x+y的值． 【变式2】若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x+y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【变式3】若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x+y＝　 　． 【变式4】已知|m+5|和|﹣n|互为相反数，则m+2n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣ C． D．0 【变式5】若|x|＝3，|y|＝2，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值． 题型03 有理数的加法与实际应用 【典例1】为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？ （2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 【变式1】2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：+2.5，﹣1.2，+1.1，﹣1.5，+0.8．（单位：千米） （1）求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【变式2】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【变式3】岚山多岛海以其优美的海岸线，宽广的金沙滩吸引了众多游客慕名而来．如表是某社会实践小组统计的2023年8月1日～7日七天内每天旅游人数变化表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.7 已知7月31日的游客人数为0.3万人，根据图表，可求出8月1日的游客人数是0.3+1.8＝2.1（万人）．结合以上信息解决下列问题： （1）8月4日的旅客人数为 　 　万人； （2）8月1日～7日中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　 　万人； （3）如果每万人带来的经济收入约为300万元，则8月1日～7日的旅游总收入约为多少万元？ 【变式4】某大米批发公司现有大米100吨，2023年国庆期间进出大米的吨数为： 日期 9.29 9.30 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 数量 ﹣18 +19 ﹣26 ﹣32 +34 +24 ﹣24 +13 （其中“+”表示进货，“﹣”表示出货） （1）国庆假期后，公司的大米增多了还是减少了？变化了多少？ （2）如果进出大米的装卸费都是每吨5元，公司这8天要付多少元的装卸费？ （3）这8天中库存最大值与库存最小值的差是多少？ 题型04 有理数的加法与“幻方”游戏 【典例1】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣28或﹣10 B．﹣28或10 C．2或﹣2 D．2或﹣16 【变式1】对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（　　） A．5 B．1 C．0 D．﹣1 【变式2】在一个3×3的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶幻方，则m+n的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式3】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【变式4】在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“坚持不懈”这四个字表示的数之和为（　　） ﹣10 坚 持 不 0 x﹣5 2x+2 ﹣18 懈 A．18 B．19 C．21 D．22 1．下列各数中，与的和为0的是（　　） A． B． C． D． 2．温度由﹣4℃上升7℃后的温度为（　　） A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣11℃ D．11℃ 3．计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 4．已知|x|＝3，y的相反数是1，则x+y＝（　　） A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．2 D．﹣4 5．如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一正数一负数 D．至少有一个是正数 6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（　　） A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7 7．为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 2500 2200 2000 1500 1600 高强度 3400 4000 4500 4000 2500 休息 0 0 0 0 0 小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（　　） A．若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步9800m B．若小李第4天休息，则他这5天最多跑步10400m C．小李这5天最少跑步6000m D．小李这5天最多跑步11000m 8．若|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，则x+y的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1或1 D．1或5 9．再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． D． 10．将2，﹣4，6，﹣8，10，﹣12，14，﹣16分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则x+y的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 11．a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c是最大的负整数，则a+b+c＝　 　． 12．若|a|＝2，|b|＝1，且a＞b，那么a+b的值是 　 　． 13．某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（+1，﹣7），则车上还有 　 　人． 14．定义一种新运算*，其规则为，如：，那么4*（﹣3）的值是 　 　． 15．同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：满足条件|x+3|+|x﹣6|＝9所有整数x的和为 　 　． 16．计算： （1）（﹣99）+（﹣103）； （2）（﹣）+（﹣）； （3）+（﹣）； （4）（﹣0.6）+2+（﹣0.4）； （5）（﹣14）+（﹣12）+（+12）+34； （6）3+（﹣1.75）+2+（+1.75）+（﹣）． 17．为了确保祖国母亲六十二华诞期间的用电安全，电力工人开车沿着一条南北方向的公路来回的行驶，某一天早晨从A地出发，晚上到达了B地，约定向北为正，向南为负，当天记录如下（单位：千米）：﹣17，+8，+6，﹣14，﹣8，+17，+5，﹣6 （1）问B地在A地何处，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 18．如图，串联在一起的每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，从左到右，第1个至第3个曲别针所挂卡片上的整数分别为﹣3，﹣5，2． （1）求前三个曲别针所挂卡片上数的和． （2）若后两个数绝对值的和比前两个数的和的绝对值大3，请求出第4个数． 19．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． （1）若点A表示的数为﹣2，则A的幸福点F所表示的数应该是 　 　； （2）如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和是多少？ 20．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 　15　； （2）请将﹣6，﹣3，0，3，6，9，12，15，18填入图2，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （3）如图3，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣7到﹣2这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 有理数的加法 课程标准 学习目标 ①有理数加法的运算法则 ②有理数加法的运算定律 1. 掌握有理数的运算法则并熟练的对有理数进行加法计算。 2. 掌握有理数的运算定律并能够熟练的用定律对有理数加法进行简便运算。 3. 掌握有理数加法中的一些计算技巧并能够熟练应用。 知识点01 有理数的加法运算法则 1. 加法运算法则： ①同号相加：同号相加， 符号 不变， 绝对值 相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和 大于 每一个加数，同为负数相加时，和 小于 每一个加数。 ②异号相加：异号相加，取绝对值 较大 的数的符号，再把 绝对值 做差。大的绝对值减去 小的绝对值。 ③与0相加：任何数与0相加都等于 任何数本身 。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 【即学即练1】 1．计算： （1）15+（﹣22）； （2）（﹣13）+（﹣8）； （3）（﹣0.9）+1.5； （4）． 【分析】（1）（3）（4）根据绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算． （2）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加计算． 【解答】解：（1）15+（﹣22）＝﹣（22﹣15）＝﹣7； （2）（﹣13）+（﹣8）＝﹣（13+8）＝﹣21； （3）（﹣0.9）+1.5＝1.5﹣0.9＝0.6； （4）＝﹣（﹣）＝﹣． 知识点02 有理数加法的运算定律与技巧 1．有理数加法的运算定律： ①加法交换律：交换加数的位置，和 不变 。。 ②加法结合律：三个加数相加时，先把 前两个 加数相加或先把 后两个 加数相加，和不变。即： 2. 有理数加法计算时的技巧： （1） 相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2） 同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3） 凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4） 相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号 一致 ） 【即学即练1】 2．计算． （1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）； （2）13+（﹣12）+17+（﹣18）； （3）（﹣）+（﹣）++（﹣）； （4）（﹣20）+3+20+（﹣）； （5）（﹣3.75）+2+（﹣1）； （6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）． 【分析】（1）先算（+7）+（﹣7），然后再运算即可； （2）先算[13+（﹣12）]+[17+（﹣18）]，再运算即可； （3）根据加法交换律和结合律，将同分母分数先相加，即[（﹣）+]+[（﹣）+（﹣）]，然后再运算； （4）根据加法交换律和结合律，互为相反数的数和同分母分数分别运算，即（﹣20）+20+3+（﹣），然后再运算； （5）先算（﹣3.75）+（﹣1），再运算； （6）先算（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）]，然后再运算． 【解答】解：（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7） ＝（+7）+（﹣7）+（﹣6） ＝﹣6； （2）13+（﹣12）+17+（﹣18） ＝[13+（﹣12）]+[17+（﹣18）] ＝1﹣1 ＝0； （3）（﹣）+（﹣）++（﹣） ＝[（﹣）+]+[（﹣）+（﹣）] ＝1﹣1 ＝0； （4）（﹣20）+3+20+（﹣）＝ （﹣20）+20+3+（﹣） ＝3； （5）（﹣3.75）+2+（﹣1） ＝（﹣3.75）+（﹣1）+2 ＝﹣5+2 ＝﹣3； （6）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1． 题型01 有理数的加法计算 【典例1】计算： （1）（﹣8）+（﹣15）； （2）（﹣20）+15； （3）16+（﹣25）； （4）2.7+（﹣3.8）； （5）+（﹣）； （6）（）+（﹣）． 【分析】利用有理数加法运算法则逐一进行运算即可． 【解答】解：（1）（﹣8）+（﹣15）＝﹣23； （2）（﹣20）+15＝﹣5； （3）16+（﹣25）＝﹣9； （4）2.7+（﹣3.8）＝﹣1.1； （5）+（﹣）＝+（﹣）＝﹣； （6）（）+（﹣）＝（﹣）+（﹣）＝﹣． 【变式1】计算： （1） （2） （3） （4）． 【分析】有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0 【解答】解：（1）原式＝﹣﹣ ＝﹣ ＝﹣6； （2）原式＝3.25﹣2.5 ＝0.75； （3）原式＝﹣0.25+0.25 ＝0； （4）原式＝﹣+ ＝ ＝． 【变式2】计算 （1）9+（﹣7）+10+（﹣3）+（﹣9） （2）12+（﹣14）+6+（﹣7） （3）﹣ （4）﹣4.2+5.7+（﹣8.7）+4.2． 【分析】（1）首先写成省略括号的形式，然后再找相反数，再计算即可； （2）首先写成省略括号的形式，然后再同号两数相加，再异号两数相加进行计算即可； （3）首先写成省略括号的形式，然后再同分母的两数相加，再进一步进行计算即可； （4）首先写成省略括号的形式，然后再找相反数，再计算即可． 【解答】解：（1）原式＝9﹣7+10﹣3﹣9＝0； （2）原式＝12﹣14+6﹣7＝﹣3； （3）原式＝﹣﹣﹣+＝﹣1﹣＝﹣1； （4）原式＝﹣4.2+4.2+5.7﹣8.7＝﹣3． 【变式3】计算： （1）23+（﹣17）+6+（﹣22）； （2）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4）； （3）（﹣）+（﹣）++（﹣）； （4）（﹣4）+（﹣3）+6+（﹣2）． 【分析】（1）可以正、负数分别结合相加； （2）可以正、负数分别结合相加； （3）可以同分母分数结合相加； （4）可以同分母分数结合相加． 【解答】解：（1）23+（﹣17）+6+（﹣22） ＝（23+6）+[（﹣17）+（﹣22）] ＝29﹣39 ＝﹣10； （2）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4） ＝[（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）]+（3+1+2） ＝﹣9+6 ＝﹣3； （3）（﹣）+（﹣）++（﹣） ＝[（﹣）+]+[（﹣）+（﹣）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1； （4）（﹣4）+（﹣3）+6+（﹣2） ＝[（﹣4）+（﹣3）]+（6+﹣2﹣） ＝﹣8+4 ＝﹣3． 【变式4】阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式＝ ＝ ＝ 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算：． 【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值． 【解答】解：原式＝（﹣2000﹣）+（﹣1999﹣）+（4000+）+（﹣1﹣） ＝（﹣2000﹣1999+4000﹣1）+（﹣﹣）+（﹣+） ＝0﹣1+0 ＝﹣1． 题型02 有理数的加法与绝对值 【典例1】已知|a|＝15，|b|＝14，且a＞b，则a+b的值等于（　　） A．29或1 B．﹣29或1 C．﹣29或﹣1 D．29或﹣1 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出a+b的值． 【解答】解：∵|a|＝15，|b|＝14，且a＞b， ∴a＝15，b＝14；a＝15，b＝﹣14， 则a+b＝29或1． 故选：A． 【变式1】若x2＝9，|y|＝2，且x＜y，求x+y的值． 【分析】由已知可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，代入即可求解． 【解答】解：∵x2＝9，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2， ∵x＜y， ∴x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2， ∴x+y＝﹣1或﹣5． 【变式2】若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x+y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则判断即可． 【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0， ∴x＝7，y＝5；x＝7，y＝﹣5， 则x+y＝12或2， 故选：A． 【变式3】若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x+y＝　﹣1　． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+3＝0， 解得x＝2，y＝﹣3， 所以，x+y＝2+（﹣3）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式4】已知|m+5|和|﹣n|互为相反数，则m+2n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣ C． D．0 【分析】根据绝对值的非负数的性质即可求出m与n的值，代入计算即可． 【解答】解：∵|m+5|和|﹣n|互为相反数， ∴|m+5|+|﹣n|＝0， 又∵|m+5|≥0，|﹣n|≥0， ∴m+5＝0，＝0， ∴m＝﹣5，n＝， ∴m+2n＝﹣5+5＝0， 故选：D． 【变式5】若|x|＝3，|y|＝2，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值． 【分析】根据|x﹣y|＝y﹣x，即可得到y≥x，再根据|x|＝3，|y|＝2即可确定x，y的值，从而求解． 【解答】解：因为|x﹣y|≥0，所以y﹣x≥0，y≥x． 由|x|＝3，|y|＝2可知，x＜0，即x＝﹣3． （1）当y＝2时，x+y＝﹣1； （2）当y＝﹣2时，x+y＝﹣5． 所以x+y的值为﹣1或﹣5． 题型03 有理数的加法与实际应用 【典例1】为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？ （2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？ 【分析】（1）把这些数值相加，结果为正，在东方，反之在西方； （2）不论向那边走，都要耗油，所以与方向无关，算这些数的绝对值的和加上返回的20千米即为所走的路程，进而求出耗油量． 【解答】（1）+14+（﹣9）+（+8）+（﹣7）+（+13）+（﹣6）+（+12）+（﹣5）＝20（千米）， 答：交警最后所在地在A地的东方20千米处． （2）14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|+20＝94（千米）， 94×0.2＝18.8（升）， 答：这次巡逻（含返回）共耗油18.8升． 【变式1】2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：+2.5，﹣1.2，+1.1，﹣1.5，+0.8．（单位：千米） （1）求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【分析】（1）直接把各数相加即可得出结论； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）+2.5﹣1.2+1.1﹣1.5+0.8＝1.7（千米）． 答：此时飞机比起飞点高了1.7千米； （2）（2.5+1.1+0.8）×6+（1.2+1.5）×4 ＝4.4×6+2.7×4 ＝26.4+10.8 ＝37.2（升）． 答：一共消耗37.2升燃油． 【变式2】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值． 本周水位最高的为周五， 周一：+0.2， 周二：+0.2+0.8＝+1， 周三：+1﹣0.4＝+0.6， 周四：+0.6+0.2＝+0.8， 周五：+0.8+0.3＝1.1， 1.1+33＝34.1（m）， 34.1﹣33＝1.1（m） 故本周五水位最高，高于警戒水位1.1m． （2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m， 故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m． 【变式3】岚山多岛海以其优美的海岸线，宽广的金沙滩吸引了众多游客慕名而来．如表是某社会实践小组统计的2023年8月1日～7日七天内每天旅游人数变化表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.7 已知7月31日的游客人数为0.3万人，根据图表，可求出8月1日的游客人数是0.3+1.8＝2.1（万人）．结合以上信息解决下列问题： （1）8月4日的旅客人数为 　1　万人； （2）8月1日～7日中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　1.6　万人； （3）如果每万人带来的经济收入约为300万元，则8月1日～7日的旅游总收入约为多少万元？ 【分析】（1）先根据题意，列出算式，计算从8月1日到7号每天的旅客人数即可； （2）由（1）找出旅客人数最多的一天的人数和最少的一天人数，求出它们的差即可； （3）先求出8月1日～7日的旅客总人数，然后用总人数乘每万人带来的经济收入300万元，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意可知：8月2号的旅客人数为：2.1+（﹣0.6）＝1.5（万人）； 8月3号的旅客人数为：1.5+0.2＝1.7（万人）； 8月4号的旅客人数为：1.7+（﹣0.7）＝1（万人）； 8月5号的旅客人数为：1+（﹣0.3）＝0.7（万人）； 8月6号的旅客人数为：0.7+0.5＝1.2（万人）； 8月7号的旅客人数为：1.2+（﹣0.7）＝0.5（万人）； 故答案为：1； （2）由（1）可知：旅客人数最多的一天的人数2.1万人，最少的一天人数为0.5万人， ∴8月1日～7日中旅客人数最多的一天比最少的一天多的人数为： 2.1﹣0.5＝1.6（万人）， 故答案为：1.6； （3）由（1）可知：8月1日～7日的旅客人数为： 2.1+1.5+1.7+1+0.7+1.2+0.5＝8.7（万人）， ∴8月1日～7日的旅游总收入旅游总收入为：300×8.7＝2610（万元）， 答：8月1日～7日的旅游总收入约为2610万元． 【变式4】某大米批发公司现有大米100吨，2023年国庆期间进出大米的吨数为： 日期 9.29 9.30 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 数量 ﹣18 +19 ﹣26 ﹣32 +34 +24 ﹣24 +13 （其中“+”表示进货，“﹣”表示出货） （1）国庆假期后，公司的大米增多了还是减少了？变化了多少？ （2）如果进出大米的装卸费都是每吨5元，公司这8天要付多少元的装卸费？ （3）这8天中库存最大值与库存最小值的差是多少？ 【分析】（1）将所有数据相加即可得出答案； （2）先求各数的绝对值，再乘以5即可求出装卸费； （3）根据进出货求出每天的库存，比较即可． 【解答】解：（1）（﹣18）+（+19）+（﹣26）+（﹣32）+（+34）+（+24）+（﹣24）+（+13） ＝﹣18+19﹣26﹣32+34+24﹣24+13 ＝﹣10（吨）， 答：公司的大米减少了，减少了10吨； （2）|﹣18|+19+|﹣26|+|﹣32|+34+24+|﹣24|+13 ＝18+19+26+32+34+24+24+13 ＝190（吨）， 5×190＝950（元）， 答：公司这8天要付950元的装卸费； （3）9.29日库存量为100﹣18＝82（吨）， 9.30日库存量为82+19＝101（吨）， 10.1日库存量为101﹣26＝75（吨）， 10.2日库存量为75﹣32＝43（吨）， 10.3日库存量为43+34＝77（吨）， 10.4日库存量为77+24＝101（吨）， 10.5日库存量为101﹣24＝77（吨）， 10.6日库存量为77+13＝90（吨）， 这8天中库存最大值为101吨，库存最小值为43吨， 所以101﹣43＝58（吨）， 答：这8天中库存最大值与库存最小值的差是58吨． 题型04 有理数的加法与“幻方”游戏 【典例1】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣28或﹣10 B．﹣28或10 C．2或﹣2 D．2或﹣16 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定b＝﹣6或b＝8，从而求出d的值，即可求解． 【解答】解：∵﹣6+8﹣10+12﹣14+16﹣18+20＝8， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴﹣14+12+16+a＝4， ∴a＝﹣10， ∵12+8+a+c＝4，b+16﹣14+d＝4， ∴c＝﹣6，b+d＝2， ∴b＝﹣18或b＝20， 当b＝﹣18时，d＝20，此时a+b＝﹣10﹣18＝﹣28， 当b＝20时，d＝﹣18，此时a+b＝﹣10+20＝10． ∴a+b的值为﹣28或10． 故选：B． 【变式1】对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为（　　） A．5 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】由题意推出0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2），即可得到答案． 【解答】解：∵同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等， ∴0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2）， ∴那正中间的方格中的数字为1． 故选：B． 【变式2】在一个3×3的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶幻方，则m+n的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出n的值，再求出m的值，即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：3n＝6+n， 解得：n＝3， 故3n＝9，则m﹣2＝9， 解得：m＝11， 故m+n＝14． 故选：B． 【变式3】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5， 6+4+b+c＝2，得c＝﹣3， a+c+4+d＝2，a+d＝1， ∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3， 故选：A． 【变式4】在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“坚持不懈”这四个字表示的数之和为（　　） ﹣10 坚 持 不 0 x﹣5 2x+2 ﹣18 懈 A．18 B．19 C．21 D．22 【分析】根据幻方的特点列出2x+2﹣18＝﹣10+0，求出x，然后代入求出四个字表示的数即可． 【解答】解：根据题意得，2x+2﹣18＝﹣10+0， 解得x＝3， ∴持表示的数是﹣18+0﹣（﹣10）＝﹣8， ∴每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和2x+2+0+（﹣8）＝2×3+2﹣8＝0， ∴坚表示的数是0﹣（﹣8）﹣（﹣10）＝0+8+10＝18，不表示的数是0﹣0﹣（x﹣5）＝﹣（3﹣5）＝2，懈表示的数是0﹣（﹣8）﹣（﹣2）＝8+2＝10， ∴“坚持不懈”这四个字表示的数之和为18+（﹣8）+2+10＝22， 故选：D． 1．下列各数中，与的和为0的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 【解答】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．温度由﹣4℃上升7℃后的温度为（　　） A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣11℃ D．11℃ 【分析】上升7℃即是比原来的温度高了7℃，所以把原来的温度加上7℃即可得出结论． 【解答】解：根据题意知，升高后的温度为﹣4+7＝3（℃）， 故选：B． 3．计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 【分析】根据有理数加法解答即可． 【解答】解：（﹣2）+（﹣4）＝﹣6， 故选：D． 4．已知|x|＝3，y的相反数是1，则x+y＝（　　） A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．2 D．﹣4 【分析】根据绝对值、相反数的意义先确定x、y的值，再计算x+y的值． 【解答】解：∵|x|＝3，y的相反数是1， ∴x＝±3，y＝﹣1． ∴x+y＝±3﹣1． ∴x+y得值为2或﹣4． 故选：A． 5．如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一正数一负数 D．至少有一个是正数 【分析】有理数的加法法则：同号的两数相加，取相同符号，并把两数绝对值相加．异号的两个数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．根据法则，不难分析出：如果两个有理数的和是正数，那么这两个数有三种情况：同正或一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值或一个正数和0．显然三种情况中，至少一个为正数． 【解答】解：根据有理数的加法法则可知：如果两个有理数的和是正数，那么这两个数有三种情况：同正或一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值或一个正数和0．显然三种情况中，至少一个为正数． 故选：D． 6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（　　） A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7 【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案． 【解答】解：由题意得：（+3）+（﹣4）＝﹣1， 故选：C． 7．为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 2500 2200 2000 1500 1600 高强度 3400 4000 4500 4000 2500 休息 0 0 0 0 0 小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（　　） A．若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步9800m B．若小李第4天休息，则他这5天最多跑步10400m C．小李这5天最少跑步6000m D．小李这5天最多跑步11000m 【分析】根据有理数运算法则逐项分析判断即可． 【解答】解：A．选择“低强度”方案，5天共跑步：2500+2200+2000+1500+1600＝9800（m），结论正确，故不符合题意； B．第1天高强度，第2天休息，第3天高强度，第4天休息，第5天高强度，此时跑步最远：3400+4500+2500＝10400（m），结论正确，故不符合题意； C．第1天低强度，第2天休息，第3天低强度，第4天低强度，第5天休息，此时跑步最少：2500+2000+1500＝6000（m），结论正确，故不符合题意； D．第1天高强度，第2天低强度，第3天休息，第4天高强度，第5天低强度，此时跑步最远：3400+2200+4000+1600＝11200（m），结论错误，故符合题意； 故选：D． 8．若|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，则x+y的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣1或1 D．1或5 【分析】先根据已知条件和绝对值的性质，求出x，y，再把x，y的值代入x+y进行计算即可． 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2， ∵x+y＞0， ∴x＝3，y＝±2， 当x＝3，y＝2时，x+y＝3+2＝5； 当x＝3，y＝﹣2时，x+y＝3+（﹣2）＝1； ∴x+y的值为5或1， 故选：D． 9．再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． D． 【分析】依次将每个分数变成相减的形式，再进行计算即可． 【解答】解：++++++ ＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣ ＝1﹣ ＝， 则1﹣＝． 故选：C． 10．将2，﹣4，6，﹣8，10，﹣12，14，﹣16分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则x+y的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等可得﹣16+10+14＝x+y+10，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，﹣16+10+14＝x+y+10， ∴x+y＝﹣2， 故选：A． 11．a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c是最大的负整数，则a+b+c＝　0　． 【分析】由a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c是最大的负整数，可得a，b，c的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c是最大的负整数， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1， ∴a+b+c＝1+0﹣1＝0， 故答案为：0． 12．若|a|＝2，|b|＝1，且a＞b，那么a+b的值是 　3或1　． 【分析】先根据已知条件和绝对值的性质，求出a，b，再根据a＞b，对a，b的值进行取舍，然后把符合条件的a，b值代入a+b，进行计算即可． 【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝1， ∴a＝±2，b＝±1， ∵a＞b， ∴a＝2，b＝±1， ∴当a＝2，b＝1时，a+b＝2+1＝3； 当a＝2，b＝﹣1时，a+b＝2+（﹣1）＝1； ∴a+b的值为3或1， 故答案为：3或1． 13．某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（+1，﹣7），则车上还有 　12　人． 【分析】根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：由题意，得 22+4+（﹣8）+6+（﹣5）+2+（﹣3）+1+（﹣7）＝12（人）， 故答案为：12 14．定义一种新运算*，其规则为，如：，那么4*（﹣3）的值是 　　． 【分析】代入新运算计算，即可求解． 【解答】解：根据题意得： ． 故答案为：． 15．同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：满足条件|x+3|+|x﹣6|＝9所有整数x的和为 　15　． 【分析】令x+3＝0，x﹣6＝0，则x＝﹣3，x＝6，然后分三种情况讨论：①x≤﹣3，②﹣3＜x＜6，③x≥6，分别求出符合题意的x即可． 【解答】解：令x+3＝0，x﹣6＝0，则x＝﹣3，x＝6， ①x≤﹣3时，﹣（x+3）﹣（x﹣6）＝9，解得x＝﹣3，符合； ②﹣3＜x＜6时，x+3﹣（x﹣6）＝9恒成立， ∴x取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5； ③x≥6时，x+3+x﹣6＝9，解得x＝6，符合． 综上所述，符合条件的整数为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6， ∴﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6＝15， 故答案为：15． 16．计算： （1）（﹣99）+（﹣103）； （2）（﹣）+（﹣）； （3）+（﹣）； （4）（﹣0.6）+2+（﹣0.4）； （5）（﹣14）+（﹣12）+（+12）+34； （6）3+（﹣1.75）+2+（+1.75）+（﹣）． 【分析】（1）（2）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加； （3）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （4）（5）（6）运用加法交换律和结合律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（99+103） ＝﹣202； （2）原式＝﹣（） ＝﹣； （3）原式＝ ＝； （4）原式＝2﹣（0.6+0.4） ＝2﹣1 ＝1； （5）原式＝﹣14﹣12+12+34 ＝（12﹣12）+（34﹣14） ＝0+20 ＝20； （6）原式＝（）+（1.75﹣1.75）﹣ ＝6+0﹣ ＝． 17．为了确保祖国母亲六十二华诞期间的用电安全，电力工人开车沿着一条南北方向的公路来回的行驶，某一天早晨从A地出发，晚上到达了B地，约定向北为正，向南为负，当天记录如下（单位：千米）：﹣17，+8，+6，﹣14，﹣8，+17，+5，﹣6 （1）问B地在A地何处，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【分析】（1）把所给的数值相加，求出结果，若为正，则说明B在A的北边，若为负，则说明B在A的南边； （2）先求出所有数值绝对值的和，再乘以0.2即可． 【解答】解：（1）∵（﹣17）+（+8）+（+6）+（﹣14）+（﹣8）+（+17）+（+5）+（﹣6）＝﹣9 ∴B地在A地南边9千米处； （2）|﹣17|+|+8|+|+6|+|﹣14|+|﹣8|+|+17|+|+5|+|﹣6|＝81千米， 81×0.2＝16.2（升）． 答：这一天共耗油16.2升． 18．如图，串联在一起的每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，从左到右，第1个至第3个曲别针所挂卡片上的整数分别为﹣3，﹣5，2． （1）求前三个曲别针所挂卡片上数的和． （2）若后两个数绝对值的和比前两个数的和的绝对值大3，请求出第4个数． 【分析】（1）根据题意进行列式计算即可； （2）先计算出前两个数的和的绝对值，再根据题意进行列式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣3）+（﹣5）+2＝﹣6； （2）|﹣3﹣5|＝8， 8+3﹣|2|＝9， 则第四个数为±9． 19．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． （1）若点A表示的数为﹣2，则A的幸福点F所表示的数应该是 　﹣5或1　； （2）如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和是多少？ 【分析】（1）根据“幸福点”定义可得A的幸福点F所表示的数即可； （2）根据题意列出绝对值方程，分类讨论符合条件的m值，最后相加即可． 【解答】解：（1）根据幸福点的定义可知：A的幸福点F所表示的数应该是：﹣5和1； 故答案为：﹣5和1． （2）设点F表示的数为m，由题意得：丨m﹣4丨+丨m﹣（﹣2）丨＝6， ∴丨m﹣4丨+丨m+2丨＝6， 当m＜﹣2时，丨m﹣4丨+丨m+2丨＝4﹣m﹣m﹣2＝2﹣2m＞6，不符合题意； 当﹣2≤m≤4时，丨m﹣4丨+丨m+2丨＝4﹣m+m+2＝6，符合题意； 当m＞4时，丨m﹣4丨+丨m+2丨＝m﹣4+m+2＝2m﹣2＞6，不符合题意； ∴当﹣2≤m≤4时，丨m﹣4丨+丨m+2丨＝6，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． ∴满足条件的整数m之和为：﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝7． 20．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 　15　； （2）请将﹣6，﹣3，0，3，6，9，12，15，18填入图2，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （3）如图3，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣7到﹣2这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值． 【分析】（1）根据图中数据计算即可作答； （2）先将已知的9个数求和，再除以3即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可． （3）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把﹣7到﹣2这6个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解． 【解答】解：（1）任取两组数据，由图1可知：4+9+2＝8+5+2＝15， 故答案为：15； （2）（﹣6﹣3+0+3+6+9+12+15+18）÷3＝18， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （3）﹣12． 具体如下：将﹣2、﹣3、﹣4填入三角形的三个顶点处， ﹣2与﹣3之间填﹣7， ﹣2与﹣4之间填﹣6， ﹣3与﹣4之间填﹣5， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，﹣2﹣3﹣7＝﹣2﹣4﹣6＝﹣3﹣4﹣5＝﹣12， ∴S的最大值为：﹣12， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$