第02讲 有理数的减法（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第02讲 有理数的减法 课程标准 学习目标 ①有理数的减法法则 ②省略式子中的括号和加号 ③有理数的加减混合运算 1. 掌握有理数的减法运算法则，能够熟练的对有理数进行减法运算。 2. 掌握省略括号和加号的方法以及有理数加减的混合运算，在有理数的加减运算中熟练的应用。 知识点01 有理数的减法 1. 减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的 ，把减法变成加法计算。即 。 （1） 较大的数－较小的数＝正数。即则 0。 （2） 较小的数－较大的数＝负数。即 0。 （3） 相等的数的差等于0。即 0。 【即学即练1】 1．计算： （1）（﹣3）﹣（+6） （2）﹣（﹣） （3）（﹣2）﹣ （4）0﹣（﹣8） 知识点02 省略式子中的加号和括号 1. 省略式子中的加号和括号： 根据有理数的减法运算法则，有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，为了简化书写形式，通常把式子中的加号和括号省略。 【即学即练1】 2．写成省略加号和的形式后为﹣6﹣7﹣2+9的式子是（　　） A．（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9） B．﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9） C．（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9） D．﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） 知识点03 有理数的加减混合运算 1. 有理数的加减混合运算步骤： 有理数的加减混合运算先将混合运算统一成加法运算，然后运用加法交换律，结合律等进行简便运算。 【即学即练1】 3．计算： （1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）； （2）3）+5+（﹣8）； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）； （4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2． 题型01 有理数的减法及其加减混合运算 【典例1】计算： （1）16﹣47； （2）28﹣（﹣74）； （3）（﹣37）﹣（﹣85）； （4）（﹣54）﹣14； （5）123﹣190； （6）（﹣112）﹣98； （7）（﹣131）﹣（﹣129）； （8）341﹣249． 【变式1】计算： （1）1.6﹣（﹣2.5）； （2）0.4﹣1； （3）（﹣3.8）﹣7； （4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）； （5）（﹣2.3）﹣3.6； （6）4.2﹣5.7； （7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）； （8）6.18﹣（﹣2.93）． 【变式2】计算． （1）0﹣（﹣3）． （2）（﹣16）﹣（﹣18）﹣（﹣12）﹣24； （3）23﹣36﹣（﹣76）﹣（﹣105）； （4）（﹣32）﹣87﹣（﹣72）﹣（﹣27）． （5）2.75﹣（﹣8.5）﹣1.5﹣2.75． （6）； （7）． 【变式3】计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15； （2）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）﹣（﹣32）； （3）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5+（﹣6）． 【变式4】计算： （1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）； （2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）； （3）； （4）﹣9+（﹣3）+3． 【变式5】计算： （1）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16） （2）+（﹣）﹣1+ （3）（﹣26.54）+（﹣6.4）﹣18.54+6.4 （4）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣3 （5）0+1﹣[（﹣1）﹣（﹣）﹣（+5）﹣（﹣）]+|﹣4| 题型02 利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离 【典例1】数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值 ①数轴上表示3和8的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和﹣9的两点之间的距离是　 　；数轴上表示2和﹣8的两点之间的距离是　 　； ②数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离是　 　；如果|AB|＝4，那么x为　 　； ③当代数式|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是　 　． 【变式1】阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1） 问题 （1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝　 　； （2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝　 　； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m． 【变式2】如图，数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3、0、2.5、5、﹣6，回答下列问题． （1） O、B两点间的距离是 　 　． （2）A、D两点间的距离是 　 　． （3）C、B两点间的距离是 　 　． （4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，那么用含m，n的代数式表示A、B两点间的距离是 　 　． 题型03 绝对值与有理数的加减法 【典例1】已知|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝﹣x﹣y，则x﹣y的值为（　　） A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7 【变式1】若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【变式2】如果|a|＝7，|b|＝5，a、b异号．试求a﹣b的值为（　　） A．2或﹣2 B．﹣12或﹣2 C．2或12 D．12或﹣12 【变式3】若|x﹣2|+|y+1|＝0，则x﹣y的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【变式4】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（　　） A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1 【变式5】若|a﹣4|与|3+b|互为相反数，则b﹣a+（﹣1）的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9 题型04 有理数的加减法与数轴上的点的移动 【典例1】在数轴上，点A表示数﹣5，将点A在数轴上移动7个单位长度到达点B，则点B所表示的数为（　　） A．7 B．2 C．﹣12 D．2或﹣12 【变式1】数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【变式2】如图，一个点在数轴上从原点开始先向右移动1个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣3，则a的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【变式3】点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时终点所表示的数是（　　） A．0 B．6 C．﹣2 D．﹣8 【变式4】点A在数轴上表示的数如图所示，点B先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点A，则点B在数轴上表示的数为 　 　． 题型05 利用有理数的加减法与数轴对绝对值进行化简 【典例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）用“＞”或“＜”填空：b+c　 　0；b﹣a　 　0；a+c　 　0； （2）化简|b+c|+|b﹣a|﹣|a+c|． 【变式1】已知有理数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：|a+c|+|b﹣d|﹣|c﹣b| 【变式2】若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．化简2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a| 【变式3】有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： ﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|+|c﹣b|． 【变式4】（1）若|a|＝2，b＝﹣3，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值； （2）已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，化简：|b﹣a|+|a+b|﹣|﹣b|． 题型06 有理数的加减混合运算的实际应用 【典例1】某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“+”，减少粮食记作“﹣”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在1～7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【变式1】为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：﹣10，+4，+11，﹣9，+1． （1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ （2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【变式2】某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 ﹣4 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣5 ﹣2 （1）求收工时距A地多远？ （2）在第 　 　次纪录时距A地最远． （3）若每km耗油0.4升，问共耗油多少升？ 【变式3】小明家购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）．已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）“■”处的数为 　 　，“●”处的数为 　 　； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【变式4】最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣10 ﹣14 0 +24 +31 +35 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一多走 　 　km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.4元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 1．下面算法正确的是（　　） A．（﹣4）+8＝﹣（8﹣4） B．5﹣（﹣8）＝5﹣8 C．（﹣5）+0＝﹣5 D．（﹣3）+（﹣4）＝3+4 2．把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 3．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣9+3＝﹣6 B．﹣9﹣3＝﹣12 C．9﹣3＝6 D．9+3＝12 4．式子﹣2﹣1+6﹣9有下面两种读法： 读法一：负2，负1，正6与负9的和； 读法二：负2减1加6减9． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（　　） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 5．这是2024年1月某日的气温实时预测情况，则通过预测图可知，下午5时的气温和此时气温的相对差值为（　　） A．4℃ B．3℃ C．2℃ D．﹣4℃ 6．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示﹣1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是（　　） A．﹣1+4π B．﹣1+2π C．﹣1+4π或﹣1﹣4π D．﹣1+2π或﹣1﹣2π 7．若|m|＝3，|n|＝5，且m，n异号，则|m﹣n|的值为（　　） A．8或2 B．2或﹣2 C．2 D．8 8．若|a|＝7，|b|＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣b为（　　） A．16 B．2 C．16或2 D．以上都不对 9．阅读材料：已知|4﹣1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．若|x+1|＝3，则符合条件的整数x的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．不存在 10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4． ①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种； 以上说法中正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.2）kg的字样，则从该超市里任意拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多相差 　 　kg． 12．已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则b﹣2a＝　 　． 13．有理数a，b，c，满足|a+b+c|＝a+b﹣c，且c≠0，则|a+b﹣c+3|﹣|c﹣6|＝　 　． 14．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|a+c|＝　 　． 15．M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）．则A﹣B的值为 　 　． 两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H 测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6 16．计算： （1）﹣38﹣（﹣36）； （2）（﹣5）﹣（﹣3）+（+）+（﹣3）； （3）（﹣0.6）+0.2+（﹣11.4）+0.8； （4）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）+（﹣15）； （5）﹣30+17． 17．岚山多岛海以其优美的海岸线，宽广的金沙滩吸引了众多游客慕名而来．如表是某社会实践小组统计的2023年8月1日～7日七天内每天旅游人数变化表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.7 已知7月31日的游客人数为0.3万人，根据图表，可求出8月1日的游客人数是0.3+1.8＝2.1（万人）．结合以上信息解决下列问题： （1）8月4日的旅客人数为 多少万人； （2）8月1日～7日中旅客人数最多的一天比最少的一天多多少万人； （3）如果每万人带来的经济收入约为300万元，则8月1日～7日的旅游总收入约为多少万元？ 18．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0． （1）请说明原点在第几部分； （2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a； （3）若a＝﹣1且a﹣b﹣c＝﹣3，求﹣a+3b﹣（b﹣2c）的值． 19．若|﹣1|＝1﹣，|﹣|＝﹣，|﹣|＝﹣，…，照此规律试求： （1）|﹣|＝　 　； （2）计算|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|； （3）计算|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+|+|． 20．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，|3﹣1|表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|3+1|可以转化为|3﹣（﹣1）|，表示3与﹣1的差的绝对值，也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）|3﹣（﹣1）|＝　 　； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若|x+1|＝3，则x＝　 　； ②若|x﹣3|+|x+2|＝5，请直接写出所有的整数：　 　； ③是否存在有理数x，使得式子|x+1|﹣|x﹣3|有最大值？如果存在，写出一个符合条件的x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 有理数的减法 课程标准 学习目标 ①有理数的减法法则 ②省略式子中的括号和加号 ③有理数的加减混合运算 1. 掌握有理数的减法运算法则，能够熟练的对有理数进行减法运算。 2. 掌握省略括号和加号的方法以及有理数加减的混合运算，在有理数的加减运算中熟练的应用。 知识点01 有理数的减法 1. 减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的 相反数 ，把减法变成加法计算。即 。 （1） 较大的数－较小的数＝正数。即则 ＞ 0。 （2） 较小的数－较大的数＝负数。即 ＜ 0。 （3） 相等的数的差等于0。即 ＝ 0。 【即学即练1】 1．计算： （1）（﹣3）﹣（+6） （2）﹣（﹣） （3）（﹣2）﹣ （4）0﹣（﹣8） 【分析】根据有理数的减法运算法则分别进行计算即可得解． 【解答】解：（1）（﹣3）﹣（+6） ＝（﹣3）+（﹣6） ＝﹣9； （2）﹣（﹣） ＝+ ＝； （3）（﹣2）﹣ ＝（﹣2）+（﹣） ＝﹣2； （4）0﹣（﹣8） ＝0+（+8） ＝8． 知识点02 省略式子中的加号和括号 1. 省略式子中的加号和括号： 根据有理数的减法运算法则，有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，为了简化书写形式，通常把式子中的加号和括号省略。 【即学即练1】 2．写成省略加号和的形式后为﹣6﹣7﹣2+9的式子是（　　） A．（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9） B．﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9） C．（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9） D．﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） 【分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数对各选项进行省略整理即可得解． 【解答】解：A、（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9）＝﹣6﹣7+2+9，故本选项错误； B、﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9）＝﹣6+7﹣2﹣9，故本选项错误； C、（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9）＝﹣6﹣7+2+9，故本选项错误； D、﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）＝﹣6﹣7﹣2+9，故本选项正确． 故选：D． 知识点03 有理数的加减混合运算 1. 有理数的加减混合运算步骤： 有理数的加减混合运算先将混合运算统一成加法运算，然后运用加法交换律，结合律等进行简便运算。 【即学即练1】 3．计算： （1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）； （2）3）+5+（﹣8）； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）； （4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2． 【分析】（1）先利用去括号法则去掉括号，再利用法则进行有理数的运算； （2）先利用去括号法则去掉括号，再利用加法的交换律结合律把同分母分数结合在一起运算； （3）先利用去括号法则去掉括号，再利用有理数的加减混合运算法则进行运算； （4）先把互为相反数的两个分数结合在一起，然后利用有理数的加减法则计算． 【解答】解：（1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） ＝4.7+8.9﹣7.5﹣6 ＝13.6﹣13.5 ＝0.1； （2）3）+5+（﹣8） ＝3﹣2+5﹣8 ＝3+5﹣2﹣8 ＝8.5﹣11 ＝﹣2.5； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） ＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2 ＝3.9﹣11.9 ＝﹣8； （4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2 ＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2 ＝﹣0.2﹣1 ＝﹣1.2． 题型01 有理数的减法及其加减混合运算 【典例1】计算： （1）16﹣47； （2）28﹣（﹣74）； （3）（﹣37）﹣（﹣85）； （4）（﹣54）﹣14； （5）123﹣190； （6）（﹣112）﹣98； （7）（﹣131）﹣（﹣129）； （8）341﹣249． 【分析】根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数计算． 【解答】解：（1）16﹣47＝16+（﹣47）＝﹣31； （2）28﹣（﹣74）＝28+74＝102； （3）（﹣37）﹣（﹣85）＝（﹣37）+85＝48； （4）（﹣54）﹣14＝（﹣54）+（﹣14）＝﹣68； （5）123﹣190＝123+（﹣190）＝﹣67； （6）（﹣112）﹣98＝（﹣112）+（﹣98）＝﹣210； （7）（﹣131）﹣（﹣129）＝（﹣131）+129＝﹣2； （8）341﹣249＝92． 【变式1】计算： （1）1.6﹣（﹣2.5）； （2）0.4﹣1； （3）（﹣3.8）﹣7； （4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）； （5）（﹣2.3）﹣3.6； （6）4.2﹣5.7； （7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）； （8）6.18﹣（﹣2.93）． 【分析】将每一个算式转化为代数和的形式，再利用加法法则计算． 【解答】解：（1）1.6﹣（﹣2.5）＝1.6+2.5＝4.1； （2）0.4﹣1＝0.4+（﹣1）＝﹣0.6； （3）（﹣3.8）﹣7＝（﹣3.8）+（﹣7）＝﹣10.8； （4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）＝（﹣5.9）+6.1＝0.2； （5）（﹣2.3）﹣3.6＝（﹣2.3）+（﹣3.6）＝﹣5.9； （6）4.2﹣5.7＝4.2+（﹣5.7）＝﹣1.5； （7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）＝（﹣3.71）+1.45＝﹣2.26； （8）6.18﹣（﹣2.93）＝6.18+2.93＝9.11． 【变式2】计算． （1）0﹣（﹣3）． （2）（﹣16）﹣（﹣18）﹣（﹣12）﹣24； （3）23﹣36﹣（﹣76）﹣（﹣105）； （4）（﹣32）﹣87﹣（﹣72）﹣（﹣27）． （5）2.75﹣（﹣8.5）﹣1.5﹣2.75． （6）； （7）． 【分析】（1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝0+3 ＝3； （2）原式＝（﹣16）+18+12+（﹣24） ＝﹣16+18+12﹣24 ＝﹣10； （3）原式＝23+（﹣36）+76+105 ＝23+76+105﹣36 ＝168； （4）原式＝（﹣32）+（﹣87）+72+27 ＝﹣119+99 ＝﹣20； （5）原式＝2.75+8.5﹣1.5﹣2.75 ＝11.25﹣4.25 ＝7； （6）原式＝﹣+1+1﹣1.75 ＝1； （7）原式＝23+15﹣7 ＝31． 【变式3】计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15； （2）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）﹣（﹣32）； （3）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5+（﹣6）． 【分析】有理数的加减混合运算，一般应统一成加法运算，再运用运算律进行简化计算． 【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15 ＝12+18﹣7﹣15 ＝30﹣22 ＝8； （2）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）﹣（﹣32） ＝﹣40﹣28+19﹣24+32 ＝﹣40﹣28﹣24+19+32 ＝﹣41； （3）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5+（﹣6） ＝4.7+8.9﹣7.5﹣6 ＝0.1． 【变式4】计算： （1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）； （2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）； （3）； （4）﹣9+（﹣3）+3． 【分析】（1）（2）利用有理数加减运算法则：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用加大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0.3；从而求解． （3）（4）可以先通分然后再进行有理数加减运算； 【解答】解：（1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）＝﹣36+25﹣36+72＝25； （2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）＝﹣8+3+5﹣9＝﹣9； （3）＝﹣﹣+﹣＝﹣+﹣＝﹣； （4）﹣9+（﹣3）+3＝﹣9﹣+＝﹣9； 【变式5】计算： （1）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16） （2）+（﹣）﹣1+ （3）（﹣26.54）+（﹣6.4）﹣18.54+6.4 （4）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣3 （5）0+1﹣[（﹣1）﹣（﹣）﹣（+5）﹣（﹣）]+|﹣4| 【分析】（1）（2）（3）先去括号，然后进行有理数的加减运算． （4）先去小括号，再去中括号，然后再进行有理数的加减运算． 【解答】解：（1）原式＝23﹣17+7﹣16， ＝23+7﹣17﹣16， ＝﹣3． （2）原式＝（+﹣1）+（﹣）， ＝﹣． （3）原式＝（﹣26.54）﹣18.54+[（﹣6.4）+6.4]， ＝（﹣26.54）﹣18.54， ＝﹣45.08． （4）原式＝（﹣4）+5+（﹣4）﹣3， ＝（﹣4﹣4﹣3）+5， ＝﹣12+5＝﹣6． （5）原式＝1﹣[（﹣1）+﹣5+]+4， ＝1﹣[（﹣1+）﹣5]+4， ＝10． 题型02 利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离 【典例1】数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值 ①数轴上表示3和8的两点之间的距离是　5　；数轴上表示﹣3和﹣9的两点之间的距离是　6　；数轴上表示2和﹣8的两点之间的距离是　10　； ②数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离是　|x+2|　；如果|AB|＝4，那么x为　2或﹣6　； ③当代数式|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是　2　． 【分析】①和②，主要是根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算； ③，结合数轴和两点间的距离进行分析． 【解答】解：①数轴上表示3和8的两点之间的距离是8﹣3＝5； 数轴上表示﹣3和﹣9的两点之间的距离是﹣3﹣（﹣9）＝6； 数轴上表示2和﹣8的两点之间的距离是2﹣（﹣8）＝10； ②数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离是|x+2|， 如果|AB|＝4，则|x+2|＝4，x+2＝±4，x＝2或﹣6； ③|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示﹣1、2、3的三点的距离之和，显然只有当x＝2时，距离之和才是最小． 【变式1】阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1） 问题 （1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝　10　； （2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝　3　； （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m． 【分析】（1）根据点M、N代表的数分别为﹣9和1，可得线段MN＝1﹣（﹣9）； （2）根据点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，可得线段EF＝﹣3﹣（﹣6）； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为m，即可得到|m﹣2|＝5． 【解答】解：（1）∵点M、N代表的数分别为﹣9和1， ∴线段MN＝1﹣（﹣9）＝10； 故答案为：10； （2）∵点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3， ∴线段EF＝﹣3﹣（﹣6）＝3； 故答案为：3； （3）由题可得，|m﹣2|＝5， 解得m＝﹣3或7， ∴m值为﹣3或7． 【变式2】如图，数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3、0、2.5、5、﹣6，回答下列问题． （1）O、B两点间的距离是 　2.5　． （2）A、D两点间的距离是 　3　． （3）C、B两点间的距离是 　2.5　． （4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，那么用含m，n的代数式表示A、B两点间的距离是 　n﹣m　． 【分析】首先由题中的坐标轴得到各点的坐标，坐标轴上两点的距离为两数坐标差的绝对值． 【解答】解：（1）B、O的距离为|2.5﹣0|＝2.5 （2）A、D两点间的距离|﹣3﹣（﹣6）|＝3 （3）C、B两点间的距离为：|5﹣2.5|＝2.5 （4）A、B两点间的距离为|m﹣n|＝n﹣m． 题型03 绝对值与有理数的加减法 【典例1】已知|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝﹣x﹣y，则x﹣y的值为（　　） A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7 【分析】根据|x|＝5，|y|＝2，求出x＝±5，y＝±2，然后根据|x+y|＝﹣x﹣y，可得x+y≤0，然后分情况求出x﹣y的值． 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2， ∴x＝±5、y＝±2， 又|x+y|＝﹣x﹣y， ∴x+y＜0， 则x＝﹣5、y＝2或x＝﹣5、y＝﹣2， 所以x﹣y＝﹣7或﹣3， 故选：D． 【变式1】若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【分析】题中给出了x，y的绝对值，可求出x，y的值；再根据x+y＞0，分类讨论，求x﹣y的值． 【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝5， ∴x＝±7，y＝±5． 又x+y＞0，则x，y同为正数或x，y异号，但正数的绝对值较大， ∴x＝7，y＝5或x＝7，y＝﹣5． ∴x﹣y＝2或12． 故选：A． 【变式2】如果|a|＝7，|b|＝5，a、b异号．试求a﹣b的值为（　　） A．2或﹣2 B．﹣12或﹣2 C．2或12 D．12或﹣12 【分析】先根据绝对值的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可． 【解答】解：∵|a|＝7，|b|＝5，a、b异号， ∴a＝7，b＝﹣5或a＝﹣7，b＝5， ∴a﹣b＝7﹣（﹣5）＝12或﹣7﹣5＝﹣12． 故选：D． 【变式3】若|x﹣2|+|y+1|＝0，则x﹣y的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【分析】根据非负数的性质得出x﹣2＝0，y+1＝0，即可求出x、y的值，从而求出x﹣y的值． 【解答】解：∵|x﹣2|+|y+1|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+1|≥0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3， 故选：B． 【变式4】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（　　） A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1 【分析】根据任何数的绝对值都是非负数，可以得y+3＝0，2x﹣4＝0，即可求解． 【解答】解：∵|y+3|＝﹣|2x﹣4|， ∴|y+3|+|2x﹣4|＝0， ∴y+3＝0，2x﹣4＝0， 解得x＝2，y＝﹣3， ∴x﹣y＝2+3＝5． 故选：B． 【变式5】若|a﹣4|与|3+b|互为相反数，则b﹣a+（﹣1）的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9 【分析】根据绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|a﹣4|与|3+b|互为相反数，即|a﹣4|+|3+b＝0， ∴a﹣4＝0，3+b＝0， 解得a＝4，b＝﹣3， ∴b﹣a+（﹣1） ＝﹣3﹣4+（﹣1） ＝﹣8， 故选：C． 题型04 有理数的加减法与数轴上的点的移动 【典例1】在数轴上，点A表示数﹣5，将点A在数轴上移动7个单位长度到达点B，则点B所表示的数为（　　） A．7 B．2 C．﹣12 D．2或﹣12 【分析】数轴上点的平移，根据左减右加的方法，即可得出答案． 【解答】解：点A表示数﹣5，左移7个单位，得﹣5﹣7＝﹣12， 点A表示数﹣5，右移7个单位，得﹣5+7＝2， 故点B表示的数是2或﹣12， 故选：D． 【变式1】数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题． 【解答】解：由题意得，M表示的数可能为5或﹣5． ∴点N表示的数是5+3＝8或﹣5+3＝﹣2． ∴点N表示的数是8或﹣2． 故选：D． 【变式2】如图，一个点在数轴上从原点开始先向右移动1个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣3，则a的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【分析】根据题意，数形结合，由数轴上两点之间距离的表示方法列式求解即可得到答案， 【解答】解：根据题意可知，1﹣a＝﹣3， ∴a＝4， 故选：B． 【变式3】点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时终点所表示的数是（　　） A．0 B．6 C．﹣2 D．﹣8 【分析】根据点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，可以得到最后点A所在的位置，从而可得点A在数轴上的位置，从而可以解答本题． 【解答】解：∵点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点A处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度， ∴点A表示的数是﹣3，﹣3+4﹣1＝0， 即点A最终的位置在数轴上对应的数是0， 故选：A． 【变式4】点A在数轴上表示的数如图所示，点B先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点A，则点B在数轴上表示的数为 　0　． 【分析】点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的． 【解答】解：由题意可知，点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位， ∵点A在数轴上表示的数为﹣3， ∴点B在数轴上表示的数为0． 故答案为：0． 题型05 利用有理数的加减法与数轴对绝对值进行化简 【典例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）用“＞”或“＜”填空：b+c　＞　0；b﹣a　＞　0；a+c　＜　0； （2）化简|b+c|+|b﹣a|﹣|a+c|． 【分析】（1）先由数轴得出a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|，即可判定． （2）先由数轴得出a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|，再去绝对值求解即可． 【解答】解：（1）∵由数轴可得：a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|． ∴b+c＞0；b﹣a＞0；a+c＜0； 故答案为：＞，＞，＜． （2）∵由数轴可得：a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|． ∴|b+c|+|b﹣a|﹣|a+c| ＝b+c+b﹣a+（a+c） ＝2b+2c． 【变式1】已知有理数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：|a+c|+|b﹣d|﹣|c﹣b|的结果为 　﹣a﹣2c+d　． 【分析】先观察数轴，得到a＜b＜0＜c＜d，从而得到a+c＜0，b﹣d＜0，c﹣b＞0，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：由数轴可知，a＜b＜0＜c＜d， ∴a+c＜0，b﹣d＜0，c﹣b＞0， ∴|a+c|+|b﹣d|﹣|c﹣b| ＝﹣a﹣c﹣b+d﹣c+b ＝﹣a﹣2c+d， 故答案为：﹣a﹣2c+d． 【变式2】若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．化简2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|＝　0　． 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：a＜c＜0＜b，且|b|＜|c|＜|a|， ∴a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0， 则原式＝2c﹣a﹣b+b﹣c﹣c+a＝0． 故答案为：0． 【变式3】有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： ﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|+|c﹣b|． 【分析】根据数轴对应点的位置确定每一个绝对值里面式子的取值情况，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”解答即可． 【解答】解：∵a＜b＜﹣1＜0＜c＜1， ∴a﹣b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|+|c﹣b| ＝﹣（b﹣a）﹣b﹣c﹣（c﹣a）+c﹣b ＝﹣b+a﹣b﹣c﹣c+a+c﹣b ＝2a﹣3b﹣c． 【变式4】（1）若|a|＝2，b＝﹣3，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值； （2）已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，化简：|b﹣a|+|a+b|﹣|﹣b|． 【分析】（1）利用绝对值的代数意义确定出a的值，找出最大的负整数确定出c，即可求出a+b﹣c的值； （2）利用异号两数相加的法则及减法法则判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：a＝2或﹣2，b＝﹣3，c＝﹣1， 当a＝2时，原式＝2﹣3+1＝0；当a＝﹣2时，原式＝﹣2﹣3+1＝﹣4； （2）∵a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴b﹣a＜0，a+b＜0， 则原式＝a﹣b﹣a﹣b+b＝﹣b． 题型06 有理数的加减混合运算的实际应用 【典例1】某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“+”，减少粮食记作“﹣”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在1～7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【分析】（1）由题意得，﹣4+2﹣6+5+3﹣7，计算可得； （2）设7号粮食变化x袋，由题意得，，解得x的值即为7号这天仓库粮食变化情况． 【解答】解：（1）﹣4+2﹣6+5+3﹣7＝﹣7 答：前6天，仓库粮食减少7袋； （2）设7号粮食变化x袋，由题意得， ， 解得：x＝﹣2 答：7号粮食减少2袋． 【变式1】为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：﹣10，+4，+11，﹣9，+1． （1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ （2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【分析】（1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可； （2）剩下的那名同学的成绩可记为a，根据题意列出关于a的不等式，进而得出答案． 【解答】解：（1）+11﹣（﹣10） ＝11+10 ＝21（次）， 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次． （2）设剩下的那名同学的成绩可记为a， 由题意可得﹣10+4+11﹣9+1+a＞0，解得a＞3， ∴剩下的那名同学的成绩最少为160+4＝164（次）． 答：剩下的那名同学的成绩最少为164次． 【变式2】某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 ﹣4 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣5 ﹣2 （1）求收工时距A地多远？ （2）在第 　五　次纪录时距A地最远． （3）若每km耗油0.4升，问共耗油多少升？ 【分析】（1）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值； （2）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可； （3）所有记录数的绝对值的和×0.4升，就是共耗油数． 【解答】解：（1）﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2＝﹣4﹣9﹣5﹣2+7+8+6＝﹣20+21＝1km； （2）由题意得，第一次距A地4千米；第二次距A地﹣4+7＝3千米；第三次距A地|﹣4+7﹣9|＝6千米；第四次距A地|﹣4+7﹣9+8|＝2千米；第五次距A地|﹣4+7﹣9+8+6|＝8千米；而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共7千米，所以在第五次纪录时距A地最远； （3）（4+7+9+8+6+5+2）×0.4＝41×0.4＝16.4L． 【变式3】小明家购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）．已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）“■”处的数为 　+5　，“●”处的数为 　﹣6　； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了45km，第六天行驶了34km，然后根据以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余15%时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【解答】解：（1）由表格可知：第三天行驶了45km，第六天行驶了34km， ∴第三天处的数为：45﹣40＝+5，第六天处记录的数为：34﹣40＝﹣6， ∴“■”处的数为+5，“●”处的数为﹣6， 故答案为：+5，﹣6； （2）由题意得：﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7 ＝2+5+8+7﹣6﹣3﹣6 ＝22﹣15 ＝7（km）， 40×7+7 ＝280+7 ＝287（km）， 350﹣350×15% ＝350﹣52.5 ＝297.5（km）， ∵297.5＞287， ∴行车电脑不会发出充电提示． 【变式4】最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣10 ﹣14 0 +24 +31 +35 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一多走 　49　km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.4元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1）35﹣（﹣14）＝35+14＝49（km）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一多走49km， 故答案为：49； （2）50×7+（﹣8﹣10﹣14+0+24+31+35） ＝350+58 ＝408（千米）， 即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了408千米； （3）408÷100×15×0.4＝24.48（元）， 即小明家这7天的行驶费用是24.48元． 1．下面算法正确的是（　　） A．（﹣4）+8＝﹣（8﹣4） B．5﹣（﹣8）＝5﹣8 C．（﹣5）+0＝﹣5 D．（﹣3）+（﹣4）＝3+4 【分析】直接利用有理数的混合运算法则分别判断得出答案． 【解答】解：A．（﹣4）+8＝8﹣4，故此选项不合题意； B．5﹣（﹣8）＝5+8，故此选项不合题意； C．（﹣5）+0＝﹣5，故此选项符合题意； D．（﹣3）+（﹣4）＝﹣（3+4），故此选项不合题意． 故选：C． 2．把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5． 故答案为：A． 3．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣9+3＝﹣6 B．﹣9﹣3＝﹣12 C．9﹣3＝6 D．9+3＝12 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：由题意得﹣9+3＝﹣6， 故选：A． 4．式子﹣2﹣1+6﹣9有下面两种读法： 读法一：负2，负1，正6与负9的和； 读法二：负2减1加6减9． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（　　） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【分析】根据有理数的加减混合运算的读法，可知两种读法都是正确的，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 两种读法都是正确的． 故选：D． 5．这是2024年1月某日的气温实时预测情况，则通过预测图可知，下午5时的气温和此时气温的相对差值为（　　） A．4℃ B．3℃ C．2℃ D．﹣4℃ 【分析】由题意列出算式8﹣12，再根据有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：由题意得，8﹣12＝8+（﹣12）＝﹣4（°C）， 即下午5时的气温和此时气温的相对差值为﹣4°C， 故选：D． 6．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示﹣1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是（　　） A．﹣1+4π B．﹣1+2π C．﹣1+4π或﹣1﹣4π D．﹣1+2π或﹣1﹣2π 【分析】本题通过圆滚动两周，实际上就是A点移动了两个圆的周长的长度，因为没有给定方向，所以有两种情况，分别向左和向右． 【解答】解：圆的周长为：2π×1＝2π， 沿着数轴正方向滚动2周后，A点表示的数是：﹣1+4π， 沿着数轴负方向滚动2周后，A点表示的数是：﹣1﹣4π， 故选：C． 7．若|m|＝3，|n|＝5，且m，n异号，则|m﹣n|的值为（　　） A．8或2 B．2或﹣2 C．2 D．8 【分析】先根据已知条件和绝对值的性质求出m，n的值，再求出m﹣n的值，最后求出答案即可． 【解答】解：∵|m|＝3，|n|＝5， ∴m＝±3，n＝±5， ∵m，n异号， ∴m＝3，n＝﹣5或m＝﹣3，n＝5， ∴m﹣n＝8或﹣8， ∴|m﹣n|＝8， 故选：D． 8．若|a|＝7，|b|＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣b为（　　） A．16 B．2 C．16或2 D．以上都不对 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据|a+b|＝﹣（a+b），得出a+b≤0，进一步确定a、b的值，进而求出a﹣b的值． 【解答】解：∵|a|＝7， ∴a＝±7， ∵|b|＝9， ∴b＝±9， ∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0， ∴a＝7，b＝﹣9或a＝﹣7，b＝﹣9， ∴a﹣b＝7﹣（﹣9）＝7+9＝16或a﹣b＝﹣7﹣（﹣9）＝﹣7+9＝2， 故选：C． 9．阅读材料：已知|4﹣1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．若|x+1|＝3，则符合条件的整数x的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．不存在 【分析】根据数轴上两点之间距离的含义解答即可． 【解答】解：根据题意，|x+1|＝3可以看作表示x与﹣1两数在数轴上所对应的两点问的距离为3， ∵﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2， ∴符合条件的整数x的值为﹣4或2． 故选：C． 10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4． ①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种； 以上说法中正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【解答】解：①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”得：|﹣2﹣3|+|﹣2﹣5|+|﹣2﹣9|+|3﹣5|+|3﹣9|+|5﹣9|＝5+7+11+2+6+4＝35， 故①正确； ②对x，，5进行“差绝对值运算”得：＝， ∵表示的是数轴上点x到和5的距离之和， ∴的最小值为， ∴x，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对a，b，c进行“差绝对值运算”得：|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c+b﹣c＝2a﹣2c； 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c﹣b+c＝2a﹣2b； 当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b不可能≥c； 当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b﹣a+c﹣b+c＝2c﹣2b； 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c﹣b+c＝﹣2a+2c； 当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b+a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c； 当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b不可≤c； 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c+b﹣c＝﹣2a+2b； a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种， 故③不正确， 综上，故只有1个正确的． 故选：B． 11．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.2）kg的字样，则从该超市里任意拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多相差 　0.4　kg． 【分析】由（20±0.2）kg的含义可得每袋大米最多可超过0.2kg，最少可不足0.2kg，从而可得答案． 【解答】解：∵某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.2）kg的字样， ∴从该超市里任意拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多相差0.2﹣（﹣0.2）＝0.4（kg）， 故答案为：0.4． 12．已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则b﹣2a＝　7或13　． 【分析】根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据|a﹣b|＝b﹣a进一步确定a、b的取值，最后代入b﹣2a中计算即可． 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5， ∵|b|＝3， ∴b＝±3， ∵|a﹣b|＝b﹣a， ∴a﹣b≤0， ∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3， ∴b﹣2a＝3﹣2×（﹣5）＝13或b﹣2a＝﹣3﹣2×（﹣5）＝7， 故答案为：7或13． 13．有理数a，b，c，满足|a+b+c|＝a+b﹣c，且c≠0，则|a+b﹣c+3|﹣|c﹣6|＝　﹣3　． 【分析】根据|a+b+c|＝a+b﹣c，得出a+b＝0，c＜0，然后化简代数式即可． 【解答】解：当a+b+c≥0时，a+b+c＝a+b﹣c，c≠0，不符合题意； 当a+b+c小于0时，﹣a﹣b＝a+b，a+b＝0，则c小于0， ∴|a+b﹣c+3|﹣|c﹣6| ＝0+3﹣c﹣（6﹣c） ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 14．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|a+c|＝　﹣2a　． 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并． 【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1＜2＜c， ∴c﹣b＞0，a﹣b＜0，a+c＞0， ∴|c﹣b|+|a﹣b|﹣|a+c| ＝c﹣b﹣（a﹣b）﹣（a+c） ＝c﹣b﹣a+b﹣a﹣c ＝﹣2a． 故答案为：﹣2a． 15．M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）．则A﹣B的值为 　0.4　． 两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H 测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6 【分析】由于B﹣A＝D﹣A+E﹣D+F﹣E+G﹣F+H﹣G+B﹣H，故将表格中的所有数加起来，即是B﹣A的值． 【解答】解：∵B﹣A＝D﹣A+E﹣D+F﹣E+G﹣F+H﹣G+B﹣H ∴B﹣A＝（D﹣A）+（E﹣D）+（F﹣E）+（G﹣F）+（H﹣G）+（B﹣H） ＝3.3﹣4.2﹣0.5+2.7+3.9﹣5.6 ＝﹣0.4（米）， A﹣B＝0.4（米）， 故答案为：0.4． 16．计算： （1）﹣38﹣（﹣36）； （2）（﹣5）﹣（﹣3）+（+）+（﹣3）； （3）（﹣0.6）+0.2+（﹣11.4）+0.8； （4）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）+（﹣15）； （5）﹣30+17． 【分析】（1）利用有理数的减法法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加法法则计算即可； （4）利用有理数的加减法则计算即可； （5）利用有理数的加减法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣38+36 ＝﹣2； （2）原式＝﹣++（3﹣3） ＝﹣1+0 ＝﹣1； （3）原式＝（﹣0.6﹣11.4）+（0.2+0.8） ＝﹣12+1 ＝﹣11； （4）原式＝﹣30﹣15+（6﹣6） ＝﹣45+0 ＝﹣45； （5）原式＝0+﹣30+17 ＝﹣13 ＝﹣12． 17．岚山多岛海以其优美的海岸线，宽广的金沙滩吸引了众多游客慕名而来．如表是某社会实践小组统计的2023年8月1日～7日七天内每天旅游人数变化表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.7 已知7月31日的游客人数为0.3万人，根据图表，可求出8月1日的游客人数是0.3+1.8＝2.1（万人）．结合以上信息解决下列问题： （1）8月4日的旅客人数为 　1　万人； （2）8月1日～7日中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　1.6　万人； （3）如果每万人带来的经济收入约为300万元，则8月1日～7日的旅游总收入约为多少万元？ 【分析】（1）先根据题意，列出算式，计算从8月1日到7号每天的旅客人数即可； （2）由（1）找出旅客人数最多的一天的人数和最少的一天人数，求出它们的差即可； （3）先求出8月1日～7日的旅客总人数，然后用总人数乘每万人带来的经济收入300万元，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意可知：8月2号的旅客人数为：2.1+（﹣0.6）＝1.5（万人）； 8月3号的旅客人数为：1.5+0.2＝1.7（万人）； 8月4号的旅客人数为：1.7+（﹣0.7）＝1（万人）； 8月5号的旅客人数为：1+（﹣0.3）＝0.7（万人）； 8月6号的旅客人数为：0.7+0.5＝1.2（万人）； 8月7号的旅客人数为：1.2+（﹣0.7）＝0.5（万人）； 故答案为：1； （2）由（1）可知：旅客人数最多的一天的人数2.1万人，最少的一天人数为0.5万人， ∴8月1日～7日中旅客人数最多的一天比最少的一天多的人数为： 2.1﹣0.5＝1.6（万人）， 故答案为：1.6； （3）由（1）可知：8月1日～7日的旅客人数为： 2.1+1.5+1.7+1+0.7+1.2+0.5＝8.7（万人）， ∴8月1日～7日的旅游总收入旅游总收入为：300×8.7＝2610（万元）， 答：8月1日～7日的旅游总收入约为2610万元． 18．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0． （1）请说明原点在第几部分； （2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a； （3）若a＝﹣1且a﹣b﹣c＝﹣3，求﹣a+3b﹣（b﹣2c）的值． 【分析】（1）根据数轴的性质进行解答； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算； （3）根据有理数的加减混合运算法则进行计算； 【解答】解：（1）根据题意可知，bc＜0， ∴b，c异号， ∴原点在第③部分； （2）∵AC＝5，BC＝3， ∴AB＝AC﹣BC＝5﹣3＝2， ∵b＝﹣1， ∴a＝﹣1﹣2＝﹣3； （3）∵a＝﹣1，a﹣b﹣c＝﹣3，即a﹣（b+c）＝﹣3， ∴b+c＝2， ∴﹣a+3b﹣（b﹣2c） ＝﹣a+3b﹣b+2c ＝﹣a+2b+2c ＝﹣a+2（b+c） ＝﹣（﹣1）+2×2 ＝5． 19．若|﹣1|＝1﹣，|﹣|＝﹣，|﹣|＝﹣，…，照此规律试求： （1）|﹣|＝　　； （2）计算|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|； （3）计算|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+|+|． 【分析】根据有理数的减法法则以及绝对值的定义计算即可． 【解答】解：（1）＝． 故答案为：； （2）原式＝ ＝ ＝； （3）原式＝1﹣+﹣+...+﹣ ＝1﹣ ＝． 20．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，|3﹣1|表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|3+1|可以转化为|3﹣（﹣1）|，表示3与﹣1的差的绝对值，也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）|3﹣（﹣1）|＝　4　； （2）利用数轴，解决下列问题： ①若|x+1|＝3，则x＝　2或﹣4　； ②若|x﹣3|+|x+2|＝5，请直接写出所有的整数：　﹣2，﹣1，0，1，2，3　； ③是否存在有理数x，使得式子|x+1|﹣|x﹣3|有最大值？如果存在，写出一个符合条件的x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题； （2）①根据绝对值的定义可以解答本题； ②根据绝对值的定义可以解答本题； ③根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝|3+1|＝4， 故答案为：4； （2）①∵|x+1|＝3， ∴x+1＝3或x+1＝﹣3， 解得：x＝2或x＝﹣4， 故答案为：2或﹣4； ②|x﹣3|+|x+2|＝5， 当x＞3时，x﹣3+x+2＝5， 解得：x＝3（舍去）， 当﹣2≤x≤3时，3﹣x+x+2＝5， 当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2＝5， 解得x＝﹣2（舍去）， 由上可得符合要求的整数x是﹣2，﹣1，0，1，2，3， 故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3． ③存在， 要使|x+1|﹣|x﹣3|有最大值，则可知为﹣1与3之间的距离， 即最大值为3﹣（﹣1）＝4，此时x的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $