第06讲 线段的比较与运算（4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第06讲 线段的比较与运算 课程标准 学习目标 ①直线与线段的基本事实 ②线段的比较 ③线段的和、差 ④线段的中点 1. 掌握直线与线段的基本事实，并能判断生活中的一些现象的数学原理。 2. 掌握线段的比较方法并能够熟练的比较线段的大小关系。 3. 掌握线段的和与差，能够结合图形在线段长度的计算中熟练应用。 4. 掌握线段的中点及其等分点的概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 知识点01 直线与线段的基本事实 1. 直线的基本事实： 经过两点 1条直线。简单说成 。经过一点有 条直线。 2. 线段的基本事实 连接两点间的所有连线中， 是最短的。简单说成两点之间，线段 。 3. 两点之间的距离： 连接两点的线段的 叫做这两点间的距离。 【即学即练1】 1．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 知识点02 线段的比较 1. 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点 ，另一个端点朝 ，另一个端点离重合端点越远线段越 。 【即学即练1】 2．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 【即学即练2】 3．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（　　） A． a B．b C．c D．D 知识点03 线段的和与差 1. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 【即学即练1】 4．如图所示： （1）AC＝　 　+　 　； （2）AC＝　 　﹣　 　； （3）BC＝　 　﹣　 　； （4）BC+CD＝　 　； （5）CD＝AD﹣ 　； （6）AC+BD﹣BC＝　 ． 【即学即练2】 5．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝BD﹣BC D．AC﹣AB＝BD﹣CD 知识点04 线段的中点 1. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成 的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 2. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成 的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成 的四部分的点； 以此类推。 【即学即练1】 6．如图，已知点C是线段AB的中点，点D是BC上的一点，若AB＝8，BD＝3，则CD＝　 　． 【即学即练2】 7．点C在直线AB上，AB＝5，BC＝2，点C为BD中点，则AD的长为　 　． 题型01 判断生活现象的数学道理 【典例1】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式2】下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式3】下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（　　） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上． ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线． ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． ④把弯曲的公路改直就能缩短路程． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型02 比较线段的长短 【典例1】用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短（如图），下列结论正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．不确定 【变式1】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，AC＝BD，比较线段AB与线段CD的大小（　　） A．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．无法比较 【变式3】体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 题型03 线段长度的计算 【典例1】如图，点C在线段AB上，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝6，则DE的长为　 　． 【变式1】如图，已知线段AB上有两点C、D，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝10cm，AC＝BD＝8cm，则线段MN的长为　 　cm． 【变式2】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．25cm C．105cm或25cm D．以上都不对 【变式3】如图所示，C，D是线段AB上的两点，D为AC的中点，若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【变式4】如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC．点D是线段BA延长线上一点，． （1）求线段BC的长； （2）求线段DC的长． 【变式5】如图所示，点C在线段AB上，AB＝30，AC＝12，点M，N分别是AB，BC的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度． 【变式6】如图，线段AB＝14cm，C是线段AB上一点，AC＝8cm，点D、E分别是线段AB、BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）求线段DE的长． 1．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线AB到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线AB＝3cm D．延长线段AB至C，使AC＝BC 2．值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 3．如图，下列关系式中与图不符合的式子是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC 4．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．AC+BD＝BC+CD C． D． 5．如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、BC的中点，若MN＝5cm，则线段AB的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 6．研究下面解题过程： 如图，点M，N在线段AB上，且MB＝2AM，点N是AB的中点，若AM＝2cm，求MN的长． 解：因为AM＝2cm，MB＝2AM， 所以MB＝①______cm． 因为AB＝AM+MB＝②______cm， 而N是AB的中点， 所以AN＝BN＝③______cm． 所以MN＝AN﹣AM＝④______cm． 针对其中①～④，给出的数值不正确的是（　　） A．①＝4 B．②＝6 C．③＝2 D．④＝1 7．已知线段AB＝6cm，点C是AB的中点，点D在线段AB上且，则线段AD的长为（　　） A．2cm B．4cm C．2cm或3cm D．2cm或4cm 8．如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．四边形周长小于三角形周长 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 9．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AD＝3BD； ②若AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 10．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB＝2a，AC＝a+6，BC＝3a+1，则这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 11．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．如图是贵州一座横跨峡谷的大桥，天堑变通途，径直的大桥极大程度地缩短了大桥两端的路程，其中“径直的大桥缩短了大桥两端的路程”所蕴含的数学原理是 　 　． 12．a与b互为相反数，a在b的右边是表示a的点到表示b的点的距离为9，则b＝　 　． 13．如图，画射线PQ，在射线PQ上依次截取PA＝AB＝2，在线段PB上截取BC＝3，则PC的长为　 　． 14．如图，已知线段AB＝8cm，CD＝13cm，以点C为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点F，再以点D为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点E，则点E和点F之间的距离为 　 　cm． 15．如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为 　． 16．如图，点B，D在线段AC上，且BC＝2AB，D是AC的中点． （1）若AB＝2cm，补全下列求BD的长的解答过程； 解：因为AB＝2cm，BC＝2AB， 所以BC＝4cm， 所以AC＝ 　 　+BC＝　 　cm． 因为D是AC的中点， 所以AD＝　 　AC＝　 　cm． 所以BD＝AD﹣　 　＝　 　cm． （2）直接写出CD是AB的多少倍． 17．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，点D、E分别是AC、AB的中点． （1）求DE的长度； （2）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 18．如图，已知线段AD＝30cm，点C、B都是线段AD上的点，点E是AB的中点． （1）若BD＝6cm，求线段AE的长； （2）在（1）的条件下，若AC＝AD，且点F是线段CD的中点，求线段EF的长． 19．如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 20．如图，已知C，D为线段AB上的两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）图中共有 　 　条线段． （2）若AB＝30，CD＝12，求MN的长度． （3）若AB＝a，CD＝b，请用含a，b式子直接表示MN的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 线段的比较与运算 课程标准 学习目标 ①直线与线段的基本事实 ②线段的比较 ③线段的和、差 ④线段的中点 1. 掌握直线与线段的基本事实，并能判断生活中的一些现象的数学原理。 2. 掌握线段的比较方法并能够熟练的比较线段的大小关系。 3. 掌握线段的和与差，能够结合图形在线段长度的计算中熟练应用。 4. 掌握线段的中点及其等分点的概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 知识点01 直线与线段的基本事实 1. 直线的基本事实： 经过两点 有且只有 1条直线。简单说成 两点确定一条直线 。经过一点有 无数 条直线。 2. 线段的基本事实 连接两点间的所有连线中， 线段 是最短的。简单说成两点之间，线段 最短 。 3. 两点之间的距离： 连接两点的线段的 长度 叫做这两点间的距离。 【即学即练1】 1．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【解答】解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 知识点02 线段的比较 1. 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点 重合 ，另一个端点朝 同一侧 ，另一个端点离重合端点越远线段越 长 。 【即学即练1】 2．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 【分析】根据比较线段的长短进行解答即可． 【解答】解：由图可知，A′B′＜AB； 故选：C． 【即学即练2】 3．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解． 【解答】解：根据图形可知，c的长度等于正方形的边长，b的长度小于正方形的边长，a、d的长度大于正方形的边长， 再a与d比较，因为a往下少了一点，所以最长的是d． 故选：D． 知识点03 线段的和与差 1. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 【即学即练1】 4．如图所示： （1）AC＝　AB　+　BC　； （2）AC＝　AD　﹣　CD　； （3）BC＝　AC　﹣　AB　； （4）BC+CD＝　BD　； （5）CD＝AD﹣　AC　； （6）AC+BD﹣BC＝　AD　． 【分析】根据图形和线段之间的关系填空即可． 【解答】解：（1）AC＝AB+BC； （2）AC＝AD﹣CD； （3）BC＝AC﹣AB； （4）BC+CD＝BD； （5）CD＝AD﹣AC； （6）AC+BD﹣BC＝AD． 故答案为：（1）AB、BC；（2）AD、CD；（3）AC、AB；（4）BD；（5）AC；（6）AD． 【即学即练2】 5．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝BD﹣BC D．AC﹣AB＝BD﹣CD 【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案． 【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，不符合题意； B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确，不符合题意； C、AC﹣BC＝AB，而BD﹣BC≠AB，故本选项错误，符合题意； D、AC﹣AB＝BD﹣CD，正确，不符合题意． 故选：C． 知识点04 线段的中点 1. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成 相等 的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 2. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成 相等 的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成 相等 的四部分的点； 以此类推。 【即学即练1】 6．如图，已知点C是线段AB的中点，点D是BC上的一点，若AB＝8，BD＝3，则CD＝　1　． 【分析】因为点C是线段AB的中点，所以AC＝BC＝AB，已知AB＝8，BD＝3，可得CD的长． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝8， ∴AC＝BC＝4， ∵BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝1， 故答案为：1． 【即学即练2】 7．点C在直线AB上，AB＝5，BC＝2，点C为BD中点，则AD的长为　1或9　． 【分析】由于线段BC与线段AB的位置关系不能确定，故应分C在线段AB内和AB外两种情况进行解答． 【解答】解：如图1， ∵BC＝2，点C为BD中点， ∴BD＝4， ∴AD＝5﹣4＝1； 如图2，∵BC＝2，点C为BD中点， ∴BD＝4， ∴AD＝5+4＝9； 故答案为：1或9． 题型01 判断生活现象的数学道理 【典例1】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案． 【解答】解：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧； “弯曲公路改值”，可以用“两点之间线段最短”来解释，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释． ∴这些现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个． 故选：A． 【变式1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【变式2】下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】①根据两点确定一条直线的性质即可求解； ②根据两点确定一条直线的性质即可求解； ③对，两点之间线段最短，减少了距离； ④对，两点之间线段最短，减少了距离． 【解答】解：①属于两点确定一条直线的性质，不符合题意； ②属于两点确定一条直线的性质，不符合题意； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，符合题意； ④两点之间线段最短，减少了距离，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（　　） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上． ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线． ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． ④把弯曲的公路改直就能缩短路程． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】认真分析题干，运用线段的性质和直线的性质判断即可． 【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上可以用两点确定一条直线来解释． ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线可以用两点确定一条直线来解释． ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设可以用两点之间，线段最短来解释． ④把弯曲的公路改直就能缩短路程可以用两点之间，线段最短来解释． 所以可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有③④， 故选：D． 题型02 比较线段的长短 【典例1】用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短（如图），下列结论正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．不确定 【分析】根据尺规法比较线段的大小的原理，确定线段的长短即可． 【解答】解：∵点A与A′重合时，点B′在点B的右端， ∴A′B′＞AB， 故选：A． 【变式1】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“叠合法”比较两条线段的方法进行判断即可． 【解答】解：根据用“叠合法”比较两条线段的方法以及各个选项所表达的操作过程可知， 选项C的方法是正确的， 故选：C． 【变式2】如图，AC＝BD，比较线段AB与线段CD的大小（　　） A．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．无法比较 【分析】根据AC＝BD以及BC＝BC，即可判断线段AB与线段CD的大小进行作答． 【解答】解：∵AC＝BD，BC＝BC， ∴AC+BC＝BD+BC， 即AB＝CD， 故选：A． 【变式3】体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【分析】比较线段OM、ON、OP、OQ的长短即可． 【解答】解：由点M、N、P、Q所在扇形区域中的位置可知， OP＞ON＞OQ＞OM， 故选：C 题型03 线段长度的计算 【典例1】如图，点C在线段AB上，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝6，则DE的长为　3　． 【分析】根据图示找出DE与AC、CB的数量关系，然后将已知数值代入解答即可． 【解答】解：根据题意，点D是AC的中点， ∴， 又点E是CB的中点， ∴， ∵DE＝DC+CE＝（AC+CB）＝AB＝×6＝3， ∴DE＝3， 所以DE的长为3． 故答案为：3． 【变式1】如图，已知线段AB上有两点C、D，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝10cm，AC＝BD＝8cm，则线段MN的长为　3　cm． 【分析】先求出AD＝2cm，再根据线段的中点求出，，即可得解． 【解答】解：∵BD＝8cm，AB＝10cm， ∴AD＝AB﹣BD＝2cm， ∵M、N分别是线段AC、AD的中点， ∴，， ∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1＝3（cm）， 故答案为：3cm． 【变式2】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．25cm C．105cm或25cm D．以上都不对 【分析】在画图时，应考虑到A、B、M、N四点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题． 【解答】解：本题有两种情形： （1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， ∴MN＝CN﹣AM ＝CD﹣AB ＝65﹣40 ＝25（cm）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ∴MN＝CN+BM ＝CD+AB ＝65+40 ＝105（cm）． 综上所述，两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或105cm， 故选：C． 【变式3】如图所示，C，D是线段AB上的两点，D为AC的中点，若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【分析】先根据AB＝10cm，BC＝4cm求出AC的长，再由D为AC的中点即可得出AD的长． 【解答】解：∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm）， ∵D为AC的中点， ∴AD＝AC＝×6＝3（cm）． 故选：B． 【变式4】如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC．点D是线段BA延长线上一点，． （1）求线段BC的长； （2）求线段DC的长． 【分析】（1）由AC＝AB+BC＝3BC，AB＝20cm，即可求出BC的长； （2）由，AB＝20cm，求出AD的长，进而求出DC的长． 【解答】解：（1）∵AC＝3BC，AC＝AB+BC， ∴AB＝2BC， ∵AB＝20cm， ∴BC＝10cm； （2）∵，AB＝20cm， ∴AD＝10cm， ∵BC＝10cm， ∴DC＝AD+AB+BC＝40cm． 【变式5】如图所示，点C在线段AB上，AB＝30，AC＝12，点M，N分别是AB，BC的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度． 【分析】（1）已知AB＝15，AC＝6，可得BC的长度，又因点N是BC的中点，即CN＝BN＝BC，可得CN的长度； （2）因为点M是AB的中点，即BM＝AB，可得BM的长度，又因MN＝BM﹣BN，可得MN的长度． 【解答】解：（1）∵AB＝30，AC＝12， ∴BC＝18， ∵点N是BC的中点， ∴CN＝BN＝BC＝9； （2）∵点M是AB的中点， ∴BM＝AB＝15， ∵MN＝BM﹣BN， ∴MN＝6． 【变式6】如图，线段AB＝14cm，C是线段AB上一点，AC＝8cm，点D、E分别是线段AB、BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）求线段DE的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义得到AD＝7cm，根据线段的和差即可得到结论； （2）根据线段的和差得到BC＝14﹣8＝6cm，根据线段中点的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵D是AB的中点， ∴AD＝AB＝×14＝7（cm）， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣7＝1（cm）， （2）∵BC＝AB﹣AC， ∴BC＝14﹣8＝6（cm）， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BC＝×6＝（cm）， ∵DE＝DC+CE， ∴DE＝1+3＝4（cm）． 1．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线AB到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线AB＝3cm D．延长线段AB至C，使AC＝BC 【分析】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的； B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的； C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的； D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的； 故选：B． 2．值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 【分析】根据直线的性质公理，两点可以确定一条直线进行解答． 【解答】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点， ∴这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 3．如图，下列关系式中与图不符合的式子是（　　） A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC 【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案． 【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确， B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确； C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误； D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确． 故选：C． 4．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．AC+BD＝BC+CD C． D． 【分析】因为点C、D分别是线段AB、CB的中点，所以线段间存在长度相当，通过替换等检验选项是否正确． 【解答】解：∵点C三线段AB的中点，点D是线段CB的中点， ∴AC＝BC，CD＝DB， A、CD＝AC﹣BD＝BC﹣BD，正确，不符合题意； B、AC+BD＝BC+CD，正确，不符合题意； C、CD＝AB﹣BD＝BC﹣BD，正确，不符合题意； D、CD＝AB，不正确，符合题意． 故选：D． 5．如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、BC的中点，若MN＝5cm，则线段AB的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 【分析】根据线段中点的定义可得、，再结合MN＝5cm可得MC+NC＝5cm，进而得到，即，据此求解即可． 【解答】解：∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴，， ∵MN＝5cm， ∴MC+NC＝5cm， ∴， ∴， ∴， ∴AB＝10cm． 故选：D． 6．研究下面解题过程： 如图，点M，N在线段AB上，且MB＝2AM，点N是AB的中点，若AM＝2cm，求MN的长． 解：因为AM＝2cm，MB＝2AM， 所以MB＝①______cm． 因为AB＝AM+MB＝②______cm， 而N是AB的中点， 所以AN＝BN＝③______cm． 所以MN＝AN﹣AM＝④______cm． 针对其中①～④，给出的数值不正确的是（　　） A．①＝4 B．②＝6 C．③＝2 D．④＝1 【分析】先求出MB＝4cm，进而得AB＝6cm，再根据线段中点的定义得AN＝BN＝3cm，则MN＝AN﹣AM＝1cm，由此可得出答案． 【解答】解：因为AM＝2cm，MB＝2AM， 所以MB＝4cm． 因为AB＝AM+MB＝6cm， 而N是AB的中点， 所以AN＝BN＝3cm． 所以MN＝AN﹣AM＝1cm． 故选：C． 7．已知线段AB＝6cm，点C是AB的中点，点D在线段AB上且，则线段AD的长为（　　） A．2cm B．4cm C．2cm或3cm D．2cm或4cm 【分析】根据线段中点的性质求出CB，根据题意求出CD，分点D在线段CB上，点D在线段AC上两种情况计算即可． 【解答】解：由题意可得： ， ∵， ∴CD＝1cm， 分类讨论如下： 如图，当点D在线段CB上时， ∴AD＝AC+CD＝3+1＝4（cm）， 如图，当点D在线段AC上时， ∴AD＝AC﹣CD＝3﹣1＝2（cm）， 故选：D． 8．如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．四边形周长小于三角形周长 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【分析】根据两点之间，线段最短进行解答． 【解答】解：如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：C． 9．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AD＝3BD； ②若AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可． 【解答】解：如图，∵M、N分别是线段AD、BC的中点， ∴AM＝MD＝AD，CN＝BN＝BC， ∵AD＝BM， ∴AD＝MD+BD， ∴AD＝AD+BD， ∴AD＝2BD，故①不符合题意； ∵AC＝BD， ∴AD＝BC， ∴， ∴AM＝BN，故②符合题意； ∵AC﹣BD＝AD﹣CD﹣BD＝AD﹣（CD+BD）＝AD﹣BC， ∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC+CD﹣CD﹣DN）＝2（MC﹣DN）， 故③符合题意； ∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD， ∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN＝2（MD+CN﹣CD）， ∵MD＝AD，CN＝， ∴2MN＝2×（AD+） ＝AD﹣CD+BC﹣CD ＝AC+BD ＝AB﹣CD， 故④不符合题意， 故选：B． 10．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AB＝2a，AC＝a+6，BC＝3a+1，则这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【分析】用假设法分别计算各选项中的a值，再根据a＞0判断即可． 【解答】解：∵AC＝a+6，BC＝3a+1，AB＝2a，A、B、C三点互不重合， ∴a＞0， 若点A在B、C之间， 则AB+AC＝BC， 即2a+a+6＝3a+1， 此时无解， 故此情况不存在， 若点B在A、C之间， 则BC+AB＝AC， 3a+1+2a＝a+6， a＝， 故此情况存在， 若点C在A、B之间， 则BC+AC＝AB， 即3a+1+a+6＝2a， a＝﹣， 故此情况不存在， ∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上， 故选：B． 11．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．如图是贵州一座横跨峡谷的大桥，天堑变通途，径直的大桥极大程度地缩短了大桥两端的路程，其中“径直的大桥缩短了大桥两端的路程”所蕴含的数学原理是 　两点之间线段最短　． 【分析】根据两点之间线段最短解答即可． 【解答】解：“径直的大桥缩短了大桥两端的路程”所蕴含的数学原理是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 12．a与b互为相反数，a在b的右边是表示a的点到表示b的点的距离为9，则b＝　﹣4.5　． 【分析】根据相反数的定义可得表示a的数与表示b的数到原点的距离相等，再由表示a的数与表示b的数的距离为9且点b在点a左侧即可得到答案． 【解答】解：∵a与b互为相反数，a在b的右边，表示a的点到表示b的点的距离为9， ∴表示b的点距离原点的距离为4.5， ∵a在b的右边， ∴b＝﹣4.5， 故答案为：﹣4.5． 13．如图，画射线PQ，在射线PQ上依次截取PA＝AB＝2，在线段PB上截取BC＝3，则PC的长为　1　． 【分析】根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：∵PA＝AB＝2， ∴PB＝4， ∵BC＝3， ∴PC＝PB﹣BC＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 14．如图，已知线段AB＝8cm，CD＝13cm，以点C为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点F，再以点D为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点E，则点E和点F之间的距离为 　3　cm． 【分析】先根据题意得出CE＝DF＝5cm，再由EF＝CD﹣CE﹣DF即可得出结论． 【解答】解：∵线段AB＝8cm，CD＝13cm，以点C为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点F， ∴CF＝AB＝8cm， ∴DF＝CD﹣CF＝13﹣8＝5（cm）， ∵点D为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点E， ∴DE＝AB＝8cm， ∴CE＝CD﹣DE＝13﹣8＝5（cm）， ∴EF＝CD﹣DF﹣CE＝13﹣5﹣5＝3（cm）， 故答案为：3． 15．如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为 　8或4　． 【分析】分两种情况，由线段中点定义，折线的“折中点”定义，即可计算． 【解答】解：如图（1）， ∵E为线AC的中点，CE＝3， ∴AC＝2CE＝6， ∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴BD＝AC+CD＝6+1＝7， ∴BC＝BD+CD＝7+1＝8； ∴如图（2） ∵E为线AC的中点，CE＝3， ∴AC＝2CE＝6， ∴AD＝AC﹣CD＝6﹣1＝5， ∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴BC+CD＝AD＝5， ∴BC＝5﹣CD＝5﹣1＝4． ∴BC的长是8或4． 故答案为：8或4． 16．如图，点B，D在线段AC上，且BC＝2AB，D是AC的中点． （1）若AB＝2cm，补全下列求BD的长的解答过程； 解：因为AB＝2cm，BC＝2AB， 所以BC＝4cm， 所以AC＝ 　AB　+BC＝　6　cm． 因为D是AC的中点， 所以AD＝　　AC＝　3　cm． 所以BD＝AD﹣　AB　＝　1　cm． （2）直接写出CD是AB的多少倍． 【分析】（1）根据线段长度之间的数量关系解答即可； （2）根据线段长度之间的数量关系解答即可． 【解答】解：（1）因为AB＝2cm，BC＝2AB， 所以BC＝4cm， 所以AC＝AB+BC＝6cm． 因为D是AC的中点， 所以AD＝AC＝3cm． 所以BD＝AD﹣AB＝1（cm）， 故答案为：AB，6，，3，AB，1． （2）设BA＝a， ∵BC＝2AB， ∴BC＝2a， ∴AC＝AB+BC＝3a， ∵D是AC的中点， ∴CD＝AC＝a， ∴CD是AB的倍． 17．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，点D、E分别是AC、AB的中点． （1）求DE的长度； （2）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 【分析】（1）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长； （2）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm）， 由线段中点的性质，得AE＝AB＝10（cm）， 由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）； （2）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm）， 当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm）， ∴AM的长度为26cm或14cm． 18．如图，已知线段AD＝30cm，点C、B都是线段AD上的点，点E是AB的中点． （1）若BD＝6cm，求线段AE的长； （2）在（1）的条件下，若AC＝AD，且点F是线段CD的中点，求线段EF的长． 【分析】（1）由AB＝AD﹣BD可求AB的长，结合中点的定义可求AE的长； （2）由AC＝AD可得AC＝10cm，则CD＝20cm，结合中点的定义可求EF的长． 【解答】解：（1）∵AD＝30cm，BD＝6cm， ∴AB＝AD﹣BD＝30﹣6＝24（cm）， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝AB＝12（cm）； （2）∵AC＝AD， ∴AC＝10cm，CD＝20cm， ∵点F是线段CD的中点， ∴DF＝CD＝10cm， ∵AD＝30cm，AE＝12cm， ∴EF＝30﹣12﹣10＝8（cm）． 19．如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图所示，线段BC即为所求， ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm， ∴CD＝8+6+10＝24cm， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝DC＝12cm， ∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm． 20．如图，已知C，D为线段AB上的两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）图中共有 　15　条线段． （2）若AB＝30，CD＝12，求MN的长度． （3）若AB＝a，CD＝b，请用含a，b式子直接表示MN的长度． 【分析】（1）根据线段的定义即可得到结论； （2）根据已知可得AC+BD＝6，再根据线段的中点定义可得AM＝AC，BN＝BD，从而可得AM+BN＝3，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据已知可得AC+BD＝a+b，再根据线段的中点定义可得AM＝AC，BN＝BD，从而可得AM+BN＝a+b，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）图中共有15条线段， 故答案为：15； （2）∵AB＝30，CD＝12， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝30﹣12＝18， ∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴AM＝AC，BN＝BD， ∴AM+BN＝AC+BD＝9， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝30﹣9＝21， ∴MN的长度为21； （3）∵AB＝a，CD＝b， ∴AC+BD＝AB+CD＝a+b， ∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴AM＝AC，BN＝BD， ∴AM+BN＝AC+BD＝a+b， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝a﹣（a+b）＝a﹣b， ∴MN的长度为a﹣b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$