第04讲 有理数的除法（4个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第04讲 有理数的除法 课程标准 学习目标 ①有理数的倒数 ②有理数的除法法则 ③有理数的乘除混合运算 ④有理数的加减乘除混合运算 1. 掌握有理数的倒数的求法，能够熟练地求出一个有理数的倒数。 2. 掌握有理数的除法运算法则能够熟练地进行运算。 3. 掌握有理数的乘除以及加减乘除混合运算法则，并能够对有理数混合运算熟练地进行计算。 知识点01 有理数的倒数 1. 倒数的定义： 乘积为 1 的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。若，则与互为 倒数 或是的 倒数 或是的 倒数 。一个数不能说是倒数。 2. 求倒数： 符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。 正数的倒数是 正数 ，负数的倒数是 负数 ， 0 没有倒数，倒数等于它本身的数有 ±1 。 求带分数的倒数时，先把带分数化成 假分数 ，求小数的倒数时，把小数化成 分数 。 【即学即练1】 1．写出下列各数的倒数： ﹣1，1，﹣3，2.5，﹣，﹣3，﹣3.2． 【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数． 【解答】解：﹣1，1，﹣3，2.5，﹣，﹣3，﹣3.2的倒数分别为：﹣1、1、﹣、，，，． 知识点02 有理数的除法 1. 除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的 倒数 。即 。 说法二：两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，再把 绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得 0 。若两数相除的结果为1时，这两个数 相等 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 互为相反数 。 【即学即练1】 2．计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）÷． 【分析】①②③根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【解答】解：①原式＝16.8÷3， ＝16.8×， ＝5.6； ②原式＝， ＝， ＝； ③原式＝﹣， ＝﹣， ＝； ④原式＝1.25÷0.5÷， ＝， ＝4； ⑤原式＝18÷3.25÷2， ＝18××， ＝． 【即学即练2】 3．化简下列分数： （1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】根据同号两数相除得正，异号两数相除得负计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣8； （2）原式＝﹣＝﹣； （3）原式＝＝9； （4）原式＝＝＝30． 知识点03 有理数的乘除混合运算 1. 运算法则： 有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 【即学即练1】 4．计算： （1）（﹣3）÷（﹣）×0.75÷（﹣）×（﹣6）； （2）（﹣）×（﹣0.1）÷×（﹣10）； （3）[（﹣72）×（﹣）]×[（﹣）÷（﹣）]． 【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【解答】解：（1）原式＝3××××6 ＝18； （2）原式＝﹣（××25×10） ＝﹣5； （3）原式＝（72×）×（×） ＝48× ＝54． 知识点04 有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算法则： ①先 乘除 ，后 加减 ，有 括号 的要先算 括号 。先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算 大括号 。 ②同级运算中，按照 从左至右 的顺序计算。 能使用简便运算的使用简便运算。 【即学即练1】 5．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 【分析】（1）利用有理数的乘法和除法运算法则化简求出即可； （2）利用有理数的乘法和除法运算法则以及加减运算法则化简求出即可； （3）利用有理数的乘法分配律和除法运算法则化简求出即可； （4）利用有理数的乘法分配律和除法运算法则化简求出即可； （5）利用有理数的乘法和除法运算法则化简求出即可； （6）利用有理数的乘法和除法运算法则以及加减运算法则化简求出即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（81×××）＝﹣； （2）原式＝﹣1+5×4×（﹣4）＝﹣1﹣80＝﹣81； （3）原式＝﹣（27×+×）＝﹣3； （4）原式＝×12+×12﹣×12＝18+14﹣13＝19； （5）原式＝﹣（5××××）＝﹣1； （6）原式＝1÷（﹣×）+× ＝1÷（﹣）+ ＝1÷（﹣）+ ＝﹣+ ＝0． 题型01 求有理数的倒数及其性质应用 【典例1】从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣ D． 【分析】直接运用倒数的定义求解即可． 【解答】解：2022的倒数为． 故选：D． 【变式1】下列各对数中，互为倒数的一对是（　　） A．4和﹣4 B．﹣2和﹣ C．﹣3和 D．0和0 【分析】根据倒数和相反数的定义逐一判断可得． 【解答】解：A、4和﹣4互为相反数，此选项不符合题意； B、﹣2和﹣互为倒数，此选项符合题意； C、﹣3和不是互为倒数，此选项不符合题意； D、0没有倒数，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】写出下列各数的倒数： （1）﹣5；（2）﹣；（3）0.25；（4）1；（5）﹣1.4． 【分析】两数相乘为1的数互为倒数，注意0没有倒数；带分数要化为假分数、小数化为分数，再根据倒数的概念解答即可． 【解答】解：（1）﹣5的倒数为﹣； （2）﹣的倒数为﹣； （3）0.25＝，它的倒数为4； （4）1＝，它的倒数为； （5）﹣1.4＝﹣，它的倒数为﹣． 【变式3】如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【分析】找出倒数等于本身的数即可． 【解答】解：如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是±1． 故选：D． 【变式4】若a、b互为倒数，则2ab+5的值为（　　） A．1 B．7 C．﹣3 D．﹣5 【分析】根据互为倒数的定义进行计算即可． 【解答】解：∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∴2ab+5＝2+5＝7， 故选：B． 【变式5】若a，b互为倒数，则﹣ab﹣2022的值为 　﹣2023　． 【分析】根据倒数的定义求出ab的值，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∴﹣ab﹣2022＝﹣1﹣2022＝﹣2023． 故答案为：﹣2023． 【变式6】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd+的值． 【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答； （2）分两种情况讨论，即可解答． 【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2． （2）当m＝2时，m+cd+＝2+1+0＝3； 当m＝﹣2时，m+cd+＝﹣2+1+0＝﹣1． 题型02 有理数的除法、乘除法以及加减乘除混合运算 【典例1】计算： （1）（﹣18）÷0.6； （2）﹣25.6÷（﹣0.064）； （3）÷（﹣1）； （4）﹣3÷； （5）﹣0.25÷； （6）﹣÷（﹣1.5）． 【分析】（1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0），进而得出即可； （2）将除法写成竖式形式将分子与分母化成整数再约分即可； （3）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0），进而得出即可； （4）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0），进而得出即可； （5）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0），进而得出即可； （6）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0），进而得出即可； 【解答】解：（1）（﹣18）÷0.6＝﹣18×＝﹣30； （2）﹣25.6÷（﹣0.064）＝＝400； （3）÷（﹣1）＝﹣； （4）﹣3÷＝﹣×＝﹣； （5）﹣0.25÷＝﹣×＝﹣； （6）﹣÷（﹣1.5）＝﹣×（﹣）＝． 【变式1】计算： （1）0.9÷； （2）（﹣）÷5； （3）﹣18÷（﹣）； （4）÷（﹣8）； （5）÷（﹣）； （6）2÷÷（﹣）． 【分析】（1）把带分数化为假分数，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （3）把带分数化为假分数，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （4）把带分数化为假分数，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （5）把带分数化为假分数，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （6）把除法转化为乘法，再按照从左到右的顺序依次进行计算即可得解． 【解答】解：（1）0.9÷3 ＝× ＝； （2）（﹣）÷5 ＝（﹣）× ＝﹣； （3）﹣18÷（﹣1） ＝18× ＝10； （4）2÷（﹣8） ＝×（﹣） ＝﹣； （5）2÷（﹣2）＝﹣1； （6）2÷÷（﹣4） ＝2××（﹣） ＝﹣1． 【变式2】计算： （1）（﹣6）÷（﹣4）÷（﹣）； （2）（﹣16）÷[（﹣）÷（﹣）]； （3）（﹣5）÷（﹣）××（﹣）÷7． 【分析】（1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（6÷4÷）， ＝﹣（6××）， ＝﹣； （2）原式＝（﹣16）÷（×64） ＝﹣16÷4 ＝﹣4； （3）原式＝﹣（5××××） ＝﹣1． 【变式3】计算： （1）[（﹣）÷]×（﹣）； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣）； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]×． 【分析】（1）先算括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）先把小数化为分数，除法转化为乘法，然后约分计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法与除法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：（1）[（﹣）÷]×（﹣） ＝（×30）×（﹣） ＝5×（﹣） ＝﹣1； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣） ＝﹣×× ＝﹣； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣） ＝（﹣25+13﹣3）×（﹣） ＝﹣15×（﹣） ＝7； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]× ＝（﹣×+×）× ＝（﹣+）× ＝﹣×+× ＝﹣2+3 ＝1． 【变式4】计算： （1）0÷（﹣）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（×××）， ＝﹣； （3）原式＝81××× ＝1； （4）原式＝（﹣+）×（﹣） ＝×（﹣）﹣×（﹣）+×（﹣） ＝﹣2+3﹣ ＝． 【变式5】计算： （1）375÷（﹣）÷（﹣）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（﹣）+（﹣）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【分析】（1）将除法运算化为乘法运算，计算即可得到结果； （2）先计算乘除运算，再计算加法运算，即可得到结果； （3）先计算乘除运算，再计算加减运算，即可得到结果； （4）先计算括号中的运算，再计算除法运算，即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝375×（﹣）×（﹣）＝； （2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16； （3）原式＝﹣28+3＝﹣25； （4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7． 【变式6】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果； （2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝×（﹣）×× ＝﹣； （2）原式＝（﹣+﹣）×（﹣42） ＝﹣35+18﹣14+27 ＝﹣4． 题型03 繁分数的化简 【典例1】化简： （1）﹣； （2）﹣； （3）． 【分析】分别根据有理数的除法化简即可． 【解答】解：1）﹣＝﹣7； （2）﹣＝﹣； （3）＝． 【变式1】化简下列分数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案． 【解答】解：（1）＝﹣3； （2）＝﹣； （3）＝6×5＝30； （4）＝＝20． 【变式2】计算： ． 【分析】各项先化为除法运算，利用乘除法法则计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝﹣12÷3 ＝﹣4； （2）原式＝﹣÷（﹣3） ＝﹣×（﹣） ＝； （3）原式＝﹣÷（﹣） ＝﹣×（﹣2） ＝． 题型04 数轴与有理数的混合运算 【典例1】如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对各选项进行分析即可． 【解答】解：由数轴图可知，a＞0，b＜0，a＜|b|， ∴ab＜0，a+b＜0，a﹣b＞0，＜0， ∴ABC选项正确，D选项错误． 故选：D． 【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＜0 B．ab＜0 C．|a|＞|b| D． 【分析】先观察数轴判断a，b的正负和绝对值的大小关系，然后根据有理数的加法和乘除法则对各个选项中的结论进行判断即可． 【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＞0，ab＜0，|a|＜|b|，， ∴A，C，D选项中的结论错误，B选项中的结论正确， 故选：B． 【变式2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 【分析】先根据数轴分析出b＜﹣1＜0＜a＜1，再根据选项进行逐项判断即可． 【解答】解：由数轴可知， b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，故C项正确； 又可知a+b＜0，＜0，故A与D正确； a是正数，b是负数，则a﹣2b＞0，故选项B错误． 故选：B． 【变式3】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：①ab＜0；②；③a+b＜0；④a﹣b＜0；⑤a＜|b|； ⑥﹣a＞﹣b．正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】观察数轴可得a＜0＜b，且|a|＞|b|，再根据有理数的加减乘除运算判断，即可求解． 【解答】解：观察数轴得：a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴ab＜0，，a+b＜0，a﹣b＜0，a＜|b|，﹣a＞﹣b， 故①②③④⑤⑥正确； 故选：D． 【变式4】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①﹣a＞b；②ab＞0；③a﹣b＜0；④|a|＞|b|；⑤a+b＞0；⑥．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据数轴得到a、b的正负，再根据有理数的运算来解答． 【解答】解：∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴﹣a＞b，故①符合题意； ②∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故②不符合题意； ③∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，故③符合题意； ④根据数轴上a距原点比b距原点的距离大，∴|a|＞|b|，故④符合题意； ⑤∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故⑤不符合题意； ⑥∵a＜0，b＞0，∴，故⑥符合题意， 故选：C． 1．2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数即可得出答案． 【解答】解：2024的倒数是， 故选：C． 2．计算1÷时，除法变为乘法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将带分数化为假分数，然后再依据除法法则进行变形即可． 【解答】解：原式＝1÷（﹣）＝1×（﹣）． 故选：D． 3．计算9÷（﹣3）×的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9 【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝﹣3× ＝﹣1． 故选：A． 4．下列说法中正确的是（　　） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．﹣a的倒数是 D．2a是一个正数 【分析】根据相反数，倒数的定义，绝对值的性质，正数的定义逐项判断即可． 【解答】解：一个数的相反数的相反数是它本身，则A符合题意； 绝对值等于它本身的数是0和正数，则B不符合题意； 若a＝0时，﹣a没有倒数，则C不符合题意； 若a＝0时，2a＝0不是正数，则D不符合题意； 故选：A． 5．汽车油箱中有汽油20L，行驶的平均耗油量为0.1L/km，则汽车最多能行驶（　　） A．100km B．200km C．300km D．400km 【分析】根据有理数除法运算法则运算判断即可． 【解答】解：汽车最多能行驶：20÷0.1＝200（km）， 故选：B． 6．下列语句说法正确的个数是（　　） （1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正． （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数． （3）加上一个数等于减去这个数的相反数． （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数． （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的加减乘除运算法则和倒数的概念，绝对值的意义依次分析即可． 【解答】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意； （2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意； （3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意； （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数，这句话是错误的，如a＝﹣1，b＝﹣2， 但，此时，故（4）不符合题意； （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意． 故选：B． 7．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 【分析】先观察数轴可知a＜0，b＞0，|a|＞|b|，然后根据有理数的加法法则计算a+b和a﹣b，再根据乘除法则计算C，D，最后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0，，ab＜0， ∴A、B、D的计算正确，故不符合题意， 选项C计算错误，故符合题意， 故选：C． 8．若m，n互为倒数，且满足m+mn＝3，则n的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】根据倒数的定义可得mn＝1，然后求出m的值，即可得出n的值． 【解答】解：∵m与n互为倒数， ∴mn＝1， ∵m+mn＝3， ∴m＝2， ∴n＝． 故选：B． 9．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（　　） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 【分析】先求出淘淘和巧巧的速度差，再求出淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处的路程差，然后根据时间＝路程差÷速度差，列出算式，求出答案即可． 【解答】解：1.5﹣1＝0.5（米/秒），2×15＝30（米）， 30÷0.5＝60（秒） ∴经过60秒，淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故答案为：B． 10．对于从左到右依次排列的三个实数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号“+”、“﹣”、“×”、“÷”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数x、y、z进行“四则操作”，例如：对实数1、2、3的“四则操作”可以是：，也可以是1﹣2﹣3＝﹣4；对实数2，﹣1，﹣2的一种“四则操作”可以是2﹣（﹣1）+（﹣2）＝1．给出下列说法： ①对实数1、2、3进行“四则操作”后的结果可能是2； ②对于实数2、﹣3、4进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是14； ③对实数m、2、m进行“四则操作”后的结果为8，则m的值共有15个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【解答】解：对于实数1、2、3进行“四则操作”可以是：1+3﹣2＝2， ∴结果可能为2， 故①正确，符合题意； 对于实数2、﹣3、4进行“四则操作”，可以是2﹣（﹣3）+4＝2+3+4＝9或2+（﹣3）﹣4＝﹣5或2×（﹣3）+4＝﹣2或或2﹣（﹣3）×4＝14， ∴最大结果是14， 故②正确，符合题意； ③对实数m、2、m进行“四则操作”后的结果为8，可以是m+m﹣2＝8或m+m+2＝8或m+m×2＝8或m+m÷2＝8或m﹣m×2＝8或m﹣m÷2＝8或m×m﹣2＝8或m×m+2＝8或m×m÷2＝8或m×m×2＝8，解得m＝5或m＝3或或或m＝﹣8或m＝16或m＝5或或或m＝±4或m＝±2共10个，故③错误，不符合题意； ∴正确的只有①，②，共2个， 故选：C． 11．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是　±1　． 【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是±1． 【解答】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是±1， 故答案为：±1． 12．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＜b，则的值为　﹣7或﹣　． 【分析】根据绝对值的性质求出a，b，再根据有理数的加法判断出b的值，有理数的除法进行计算即可得解． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4， ∴a＝±3，b＝±4， ∵a＜b， ∴当a＝3时，b＝4， ∴＝﹣， 当a＝﹣3时，b＝4， ∴＝﹣7， 故答案为：﹣7或﹣． 13．一批零件，李叔叔每小时加工这批零件的，刘叔叔每小时加工这批零件的，如果两人合作，　　小时加工完这批零件． 【分析】与代表的是各自的工作效率，两人的总工作效率是， 设总工作量为“1”，依据工作时间＝工作总量÷工作效率可求答案． 【解答】解：因为李叔叔的工作效率是，刘叔叔的工作效率是， 所以两人工作效率之和为， 依据工作时间＝工作总量÷工作效率可得：1÷＝（小时）， 故答案为． 14．的倒数与互为相反数，那么a＝　﹣　． 【分析】根据倒数、相反数的定义进行解答即可． 【解答】解：的倒数是， ∵的倒数与互为相反数， ∴＝0， 解得a＝﹣， 故答案为：﹣． 15．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　． 【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【解答】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 16．计算： （1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； （2）﹣； （3）； （4）． 【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解； （2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解； （3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）， ＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]， ＝﹣85×100， ＝﹣8500； （2）﹣2×2÷（﹣2）， ＝﹣××（﹣）， ＝2； （3）（﹣）÷（1﹣+）， ＝（﹣）÷（﹣+）， ＝（﹣）÷， ＝（﹣）×， ＝﹣； （4）（﹣+﹣）×36， ＝×36﹣×36+×36﹣×36， ＝28﹣30+27﹣14， ＝55﹣44， ＝11． 17．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案． 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 18．如图，数轴上的点P表示的数为﹣8，点Q表示的数为2，几名学生使用这个数轴玩算数游戏，游戏规则：一个学生在数轴上再选一个点（不是原点），对该点表示的数和﹣8，2三个数中的负数都除以2，正数都乘以4，将所得的新数相加，所得结果记作w． （1）若甲同学选的点对应的数是﹣2，求w的值； （2）若乙同学选的点对应的数为2﹣x，且w＝0．判断2﹣x是正数还是负数？并求x的值． 【分析】（1）该点表示的数和﹣8，2三个数中的负数都除以2，正数都乘以4，进行列式计算，即可作答． （2）因为．且w＝0，得出．即可计算作答． 【解答】解：（1）当甲同学选的数为﹣2时，三个数分别为﹣8，﹣2，2， 根据题意得 ＝3； （2）是负数，理由见详解， 依题意，∵．且w＝0， ∴2﹣x＜0，是负数． ∴． 解得x＝10． 19．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） （1）当小明输入3；﹣4；；﹣201这四个数时，这四次输出的结果分别是？ （2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ （3）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ （4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？ 【分析】（1）先判断出3、﹣4、、201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0； （3）由（1）中输出的各数可找出规律； （4）设输入的数为x，分2＜x＜7、0≤x≤2、当x＜0及x≥7四种情况进行讨论，按输入程序进行解答． 【解答】解：（1）∵3＞2， ∴输入3时的程序为：（3﹣5）＝﹣2＜0， ∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是， ∴当输入3时，输出； 当输入﹣4时，∵﹣4＜2， ∴﹣4的相反数是4＞0，4的倒数是， ∴当输入﹣4时，输出； 当输入时，＜2， ∴其相反数是﹣，其绝对值是， ∴当输入时，输出； 当输入﹣201时，﹣201＜2， ∴其相反数是201＞0，其倒数是， ∴当输入﹣201时，输出； （2）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0． ∴应输入0或5n（n为自然数）； （3）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数，不可能输出负数； （4）∵输出的数为2， 设输入的数为x， ①当2＜x＜7时，（x﹣5）＜0，其相反数是5﹣x＞0，其倒数是＝2，解得x＝； ②当0≤x≤2时，其相反数是﹣x＜0，其绝对值是x＝2，故x＝2； ③当x＜0时，其相反数为﹣x＞0，其倒数是﹣＝2，x＝﹣． ④当x≥7时，按①的程序可知x＝+…5n． 总上所述，x的可能值为：，2，﹣，…，+…5n． 20．【初探】 从1～9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为a，b，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为F（a，b）．如：a＝1，b＝2，可以组成12，21，它们的和为33，因为33÷11＝3，所以F（1，2）＝3． （1）F（2，7）＝　9　； （2）F（a，b）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从1～9 这九个数字中任选三个不同数字，记为m，n，p，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为G（m，n，p）． （3）若G（m，n，p）＝3p，且n＝m+2，求p﹣m的值． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，直接列出算式，求出F（2，7）的值即可； （2）根据已知条件中的新定义，列出算式，进行化简即可； （3）根据定义，列出代数式，进行化简，求出G（m，n，p）的值，再根据题意，列出方程，进行代换即可． 【解答】解：（1）F（2，7） ＝ ＝ ＝9， 故答案为：9； （2）一定是整数，理由如下： 由题意得： F（a，b） ＝ ＝ ＝ ＝a+b， ∵a，b都是整数， ∴a+b也是整数， ∴F（a，b）一定是整数； （3）由题意得： G（m，n，p） ＝ ＝ ＝ ＝m+n+p， ∵G（m，n，p）＝3p， ∴m+n+p＝3p， m+n＝2p， ∵n＝m+2， ∴m+m+2＝2p， ∴p＝m+1， ∴p﹣m＝1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的除法 课程标准 学习目标 ①有理数的倒数 ②有理数的除法法则 ③有理数的乘除混合运算 ④有理数的加减乘除混合运算 1. 掌握有理数的倒数的求法，能够熟练地求出一个有理数的倒数。 2. 掌握有理数的除法运算法则能够熟练地进行运算。 3. 掌握有理数的乘除以及加减乘除混合运算法则，并能够对有理数混合运算熟练地进行计算。 知识点01 有理数的倒数 1. 倒数的定义： 乘积为 的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。若，则与互为 或是的 或是的 。一个数不能说是倒数。 2. 求倒数： 符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。 正数的倒数是 ，负数的倒数是 ， 没有倒数，倒数等于它本身的数有 。 求带分数的倒数时，先把带分数化成 ，求小数的倒数时，把小数化成 。 【即学即练1】 1．写出下列各数的倒数： ﹣1， 1， ﹣3， 2.5， ﹣， ﹣3， ﹣3.2． 知识点02 有理数的除法 1. 除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的 。即 。 说法二：两数相除，同号得 ，异号得 ，再把 相除。0除以任何一个不为0的数都得 。若两数相除的结果为1时，这两个数 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 。 【即学即练1】 2．计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）÷． 【即学即练2】 3．化简下列分数： （1）；（2）；（3）；（4）． 知识点03 有理数的乘除混合运算 1. 运算法则： 有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 【即学即练1】 4．计算： （1）（﹣3）÷（﹣）×0.75÷（﹣）×（﹣6）； （2）（﹣）×（﹣0.1）÷×（﹣10）； （3）[（﹣72）×（﹣）]×[（﹣）÷（﹣）]． 知识点04 有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算法则： ①先 ，后 ，有 的要先算 。先算 ，再算 ，最后算 。 ②同级运算中，按照 的顺序计算。 能使用简便运算的使用简便运算。 【即学即练1】 5．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 题型01 求有理数的倒数及其性质应用 【典例1】从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣ D． 【变式1】下列各对数中，互为倒数的一对是（　　） A．4和﹣4 B．﹣2和﹣ C．﹣3和 D．0和0 【变式2】写出下列各数的倒数： （1）﹣5；（2）﹣；（3）0.25；（4）1；（5）﹣1.4． 【变式3】如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【变式4】若a、b互为倒数，则2ab+5的值为（　　） A．1 B．7 C．﹣3 D．﹣5 【变式5】若a，b互为倒数，则﹣ab﹣2022的值为 　 　． 【变式6】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd+的值． 题型02 有理数的除法、乘除法以及加减乘除混合运算 【典例1】计算： （1）（﹣18）÷0.6； （2）﹣25.6÷（﹣0.064）； （3）÷（﹣1）； （4）﹣3÷； （5）﹣0.25÷； （6）﹣÷（﹣1.5）． 【变式1】计算： （1）0.9÷； （2）（﹣）÷5； （3）﹣18÷（﹣）； （4）÷（﹣8）； （5）÷（﹣）； （6）2÷÷（﹣）． 【变式2】计算： （1）（﹣6）÷（﹣4）÷（﹣）； （2）（﹣16）÷[（﹣）÷（﹣）]； （3）（﹣5）÷（﹣）××（﹣）÷7． 【变式3】计算： （1）[（﹣）÷]×（﹣）； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣）； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]×． 【变式4】计算： （1）0÷（﹣）； （2）； （3）； （4）． 【变式5】计算： （1）375÷（﹣）÷（﹣）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（﹣）+（﹣）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【变式6】计算： （1）； （2）． 题型03 繁分数的化简 【典例1】化简： （1）﹣； （2）﹣； （3）． 【变式1】化简下列分数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】计算： ． 题型04 数轴与有理数的混合运算 【典例1】如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． 【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＜0 B．ab＜0 C．|a|＞|b| D． 【变式2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 【变式3】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：①ab＜0；②；③a+b＜0；④a﹣b＜0；⑤a＜|b|； ⑥﹣a＞﹣b．正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①﹣a＞b；②ab＞0；③a﹣b＜0；④|a|＞|b|；⑤a+b＞0；⑥．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．计算1÷时，除法变为乘法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算9÷（﹣3）×的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9 4．下列说法中正确的是（　　） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．﹣a的倒数是 D．2a是一个正数 5．汽车油箱中有汽油20L，行驶的平均耗油量为0.1L/km，则汽车最多能行驶（　　） A．100km B．200km C．300km D．400km 6．下列语句说法正确的个数是（　　） （1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正． （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数． （3）加上一个数等于减去这个数的相反数． （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数． （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 8．若m，n互为倒数，且满足m+mn＝3，则n的值为（　　） A． B． C．2 D．4 9．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（　　） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 10．对于从左到右依次排列的三个实数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号“+”、“﹣”、“×”、“÷”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数x、y、z进行“四则操作”，例如：对实数1、2、3的“四则操作”可以是：，也可以是1﹣2﹣3＝﹣4；对实数2，﹣1，﹣2的一种“四则操作”可以是2﹣（﹣1）+（﹣2）＝1．给出下列说法： ①对实数1、2、3进行“四则操作”后的结果可能是2； ②对于实数2、﹣3、4进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是14； ③对实数m、2、m进行“四则操作”后的结果为8，则m的值共有15个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是　 　． 12．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＜b，则的值为　 　． 13．一批零件，李叔叔每小时加工这批零件的，刘叔叔每小时加工这批零件的，如果两人合作，　　小时加工完这批零件． 14．的倒数与互为相反数，那么a＝　 　． 15．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　 ． 16．计算： （1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； （2）﹣； （3）； （4）． 17．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 18．如图，数轴上的点P表示的数为﹣8，点Q表示的数为2，几名学生使用这个数轴玩算数游戏，游戏规则：一个学生在数轴上再选一个点（不是原点），对该点表示的数和﹣8，2三个数中的负数都除以2，正数都乘以4，将所得的新数相加，所得结果记作w． （1）若甲同学选的点对应的数是﹣2，求w的值； （2）若乙同学选的点对应的数为2﹣x，且w＝0．判断2﹣x是正数还是负数？并求x的值． 19．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） （1）当小明输入3；﹣4；；﹣201这四个数时，这四次输出的结果分别是？ （2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ （3）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ （4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？ 20．【初探】 从1～9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为a，b，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为F（a，b）．如：a＝1，b＝2，可以组成12，21，它们的和为33，因为33÷11＝3，所以F（1，2）＝3． （1）F（2，7）＝　 　； （2）F（a，b）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从1～9 这九个数字中任选三个不同数字，记为m，n，p，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为G（m，n，p）． （3）若G（m，n，p）＝3p，且n＝m+2，求p﹣m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $