第二章 圆锥曲线（B单元重点综合卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第二章 圆锥曲线单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 4．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 5．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知曲线（    ）. A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 10．对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 11．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 13．已知点P、Q分别为抛物线C：与圆M：上的动点，且的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为 ． 14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 16．（15分） 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 17．（15分） 已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 18．（17分） 在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 19．（17分） 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆锥曲线单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质即可求出其准线方程． 【详解】抛物线的准线方程为：. 故选：D 2．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程直接求解即可 【详解】由，得， 所以， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：A 3．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 4．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 5．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【详解】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以， 则，， 所以. 故选：A 7．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】写出抛物线的准线方程，根据该准线与圆相切求出实数的值. 【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆， 抛物线的准线方程为， 由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得. 故选：A. 8．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得. 【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点 设抛物线的方程为，则，解得， 抛物线的焦点，准线方程为，， 所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为. 故选：B 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知曲线（    ）. A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据双曲线，椭圆，圆及直线的方程逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以表示焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，若，则是圆，其半径为，故B错误； 对于C，若，则是双曲线， 令，得， 所以双曲线的渐近线方程为，故C正确； 对于D，若，则，即， 所以是两条直线，故D正确. 故选：CD. 10．对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 11．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（    ） A． B．的面积为2 C．椭圆的离心率为 D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【分析】代入点的坐标求出，即可得到椭圆方程，从而求出，即可求出离心率，从而判断A、C，由面积公式判断B，由椭圆的定义及等面积法求出内切圆的半径，即可判断D. 【详解】依题意，解得，则，所以椭圆方程为， 所以，，即，，所以离心率，故A正确，C错误； 所以，故B正确； 又，设的内切圆半径为， 则，即，解得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 13．已知点P、Q分别为抛物线C：与圆M：上的动点，且的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线与圆的性质确定取最小值时端点位置，从而求得值后可得结论． 【详解】如图圆心在轴正半轴，抛物线是顶点在原点，焦点在轴负半轴的抛物线， 当与（圆与轴的交点在线段上），与原点重合时，最小， 所以，，即抛物线C的焦点到准线的距离为3. 故答案为：3. 14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】## 【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为， 即， 由点到直线距离公式可知：， 又， ， ∵，即， 设，则， 而，， 由正切二倍角公式可知：， 即，化简可得：， 即， 由双曲线离心率公式可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【详解】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 16．已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 17．已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 18．在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 19．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知， (1)求抛物线的方程及的值； (2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标； (3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，. 【详解】（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为 点在抛物线上可得，故 （2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：， 所以，， 直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：， 化简得：，由于点在抛物线上，即， 代入条件可得：， 可以得到或， 解这个方程可以得到或， 代入拋物线方程可以得到：或或 综上所述，点的坐标有三个可能的值： （3）不存在，理由如下： 因为由（1）（2）知点，则的斜率为， 所以平行于的两个点分别记为，其斜率， 所以可得 则的中点， 若，则点在以为圆心，为半径的圆上， 到准线的距离等于，因为 所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的关于求点坐标的问题，往往需要设点的坐标，根据题目的已知条件寻找所设的点横纵坐标关系等. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$