2.1　代数式（课件）2024-—2025 学年沪科版数学七年级上册

2.1　代数式 第1课时 用字母表示数 1.通过实例理解用字母表示数的意义. 2.会用字母表示探索的数量关系和规律. 3.经历用字母表示数的过程，形成初步的符号感，体会由特殊到一般的数学思想. ◎重点:用字母表示数与数量关系. ◎难点:用字母表示数的普遍意义. 激趣导入 有这样的一首儿歌: 1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水； 2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通2声跳下水； 3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通3声跳下水； 4只青蛙4张嘴，8只眼睛16条腿，扑通4声跳下水； …… 如果有n只青蛙应该怎样唱呢？歌能唱完吗？ 激趣导入 用字母表示数  1.能被　2　整除的整数叫做偶数，不能被　2　整除的整数叫做奇数.  2.根据偶数的定义，若用k表示任意一个整数，则2k表示的是　偶数　.  2 2 偶数 3.与2k相邻的奇数跟2k相差　1　，所以可以用　2k＋1或2k－1　表示一个奇数.  方法归纳交流　用来表示数的字母，可以看作数，但不同于一个确定的数. 1 2k＋1或2k －1 用字母表示数量关系  1.日历中从左到右的两个连续日期相差　1　天，上下连续两个日期相差　7　天.  2.若日历中上、下方向框出连续的三个数，将中间的数用a表示，则a上面的数是　a－7　，下面的数是　a＋7　，上、下两数之和是　2a　.  1 7 a－7 a＋7 2a 1.(1)用字母a和b表示乘法交换律:　a·b＝b·a　；(2)用字母a和b表示加法交换律:　a＋b＝b＋a　.  2.汽车的速度是50 km/h，则t h行驶的路程为　50t　km.  3.某企业去年的收入是a元，今年比去年增加10%，则今年的收入是　1.1a　元.  a·b＝b·a a＋b＝b＋a 50t 1.1a 用字母表示数 1.某数比数a小15%，则该数为(　B　) A.15%a B.(1－15%)a C.(1＋15%)a D.a－15% 【学法指导】小15%是指少于a的15%，即a－15%a，而不是a－15%. B 用字母表示数量关系 2.三个连续偶数，中间的一个数为2n，则其他两个数表示为　2n－2，2n＋2　，三个偶数的和为　6n　.  2n－2，2n＋2 6n [变式演练]下图是某年10月份的日历，像图中那样，用一个十字框在图中任意框住5个数，如果中间的数用a表示，则框住的五个数字的和用含字母a的式子表示为多少？ 解:设中间的数为a，则其他几个数分别为a－7，a－1，a＋1，a＋7，框住的五个数字的和为a＋a－7＋a－1＋a＋1＋a＋7＝5a. 【归纳总结】首先从表格中发现上下左右四个数和中间数的数量关系，再用字母a分别表示其他几个数，把这五个数相加即可发现和为5a. 1.设n是任意一个整数，下列说法错误的是(　A　) A.任意一个偶数都可用4n表示 B.有的偶数不能用4n表示 C.2n可以表示任意一个偶数 D.n的奇数倍不一定是奇数 A 2.某校七年级有师生参加爱心捐款活动，其中有a名教师，b名学生，若平均每名教师捐x元，每名学生捐10元，则他们一共捐款　(ax＋10b)　元.  (ax＋10b) 2.1　代数式 第2课时　代数式 1.明确代数式的概念以及代数式的书写格式. 2.能用代数式表示出问题中的数量关系和数学规律. 3.能结合实际问题，用语言表述代数式的意义. ◎重点:列代数式. ◎难点:实际问题中的数量关系与数学规律. 激趣导入 代数式到底是什么？为什么要学习代数式呢？下面我们来玩一个游戏:同学们，在心里想一个数，或者写在纸上，不要让我看见，把这个数乘以3，再加上6，然后把结果除以3，再减去原来的数，算好了吗？我知道结果是多少，就是2，你想知道其中的奥妙吗？接下来，老师将带着大家一起来研究“代数式”. 激趣导入 代数式的定义  揭示概念:用加、减、乘(包括乘方)、除等运算符号把　数或表示数的字母　连接而成的式子，叫做代数式.单独的一个数或字母　是　代数式.(填“是”或“不是”)  数 或表示数的字母 是 【归纳总结】代数式的书写格式: (1)字母与字母相乘、数与字母相乘时，乘号“×”通常　省略不写　或者写成“·”，数字写在字母　前　.数字如果是带分数，要化成　假分数　；字母与字母相乘，相同字母写成　幂　的形式.  (2)除法一般不用除号“÷”，而是写成　分数　的形式.  省略不写 前 假分数 幂 分数 列代数式  1.列代数式时要抓住关键词语，如“和”表示 加法　，“差”表示　减法　，积表示　乘法　，“商”表示　除法　等.  2.列代数式时要注意文字叙述中的先后顺序，一般先叙述的先列出来，如:a和b的平方和表示为　a2＋b2　.a和b的和的平方表示为　(a＋b)2　.  加法 减法 乘法 除法 a2＋b2 (a＋b)2 1.下列四个式子中，属于代数式的是(　B　) A.x＋y＝y＋x B.－a C.S＝ab D.3x－1＞0 B 2.下列代数式书写规范的是(　A　) A.－ab B.－1a C.a－10米 D.1a 3.列代数式表示“比x的平方的2倍大3的数”:　2x2＋3　.  A 2x2＋3 代数式的概念 1.下列各式中是代数式的有(　B　) ①0；②y；③x＝1；④；⑤m≤1；⑥3×4；⑦a2－3ab－1. A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【归纳总结】代数式既不含等号也不含不等号. B 列代数式 2.已知甲数为x，试用代数式表示乙数:(1)乙数比甲数大5；(2)乙数比甲数的2倍小3；(3)乙数比甲数的倒数小7；(4)乙数比甲数大16%. 解:表示乙数的代数式分别为 (1)x＋5；(2)2x－3；(3)－7；(4)(1＋16%)x. 【学法指导】要注意题中的“大”“小”“倍”“增加”“减小”“倒数”等词语与代数式中的加、减、乘、除间的关系. 代数式的意义 3.用语言叙述下列代数式的意义. (1)a2－b2；(2)(a－b)2. 解:(1)a平方与b平方的差； (2)a与b的差的平方. 探索规律型代数式 4.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要棋子　(3n＋1)　枚(用含n的代数式表示).  (3n＋1) 1.用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是(　A　) A.(3m－n)2 B.3(m－n)2 C.3m－n2 D.(m－3n)2 A 2.下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成的，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案n需火柴棒的根数为(　D　) A.2＋7n B.8＋7n C.4＋7n D.7n＋1 D 3.下面是用棋子摆成的“上”字: 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现:第n个“上”字需用　(4n＋2)　枚棋子.  (4n＋2) 4.叙述下列代数式的意义:(1)2y2－3；(2). 解:(1)y平方的2倍与3的差； (2)a的倒数与b的倒数的差的平方. 2.1　代数式 第3课时　整式 1.知道整式中包含单项式与多项式两类. 2.明确单项式的系数、次数，多项式的项、次数、常数项、几次几项式等概念. ◎重点:整式的相关概念. ◎难点:整式和代数式的关系. 同学们，之前我们学习了用字母表示数、表示数量关系，从而列代数式，那么代数式这么多，我们如何将之分类，加以区分呢？这节课，我们将学习代数式中非常重要的一类——整式. 单项式  1.揭示概念:由数与字母的　积　组成的式子叫做单项式.  2.思考:是单项式吗？是单项式吗？为什么？ 因为＝a，即表示与a的积，所以它是单项式；表示2与a的商，不符合单项式的定义，所以它不是单项式. 积 3.明晰概念:(1)单项式中的　数字因数　叫做这个单项式的系数.  (2)一个单项式中，　所有字母的指数的和　叫做这个单项式的次数.  【归纳总结】(1)单项式的系数应包括它前面的符号，当系数是1或－1时，“1”通常不写. (2)字母的指数是1时，指数省略不写.如y的指数是1而不是0. 数字因数 所有字母的指数的和 多项式  揭示概念:(1)几个单项式的　和　叫做多项式.  (2)在多项式中，　每个单项式(连同符号)　叫做多项式的项，一个多项式含有几项，这个多项式就叫　几项式　，在多项式中，　不含字母　的项叫做常数项.  (3)　次数最高　项的次数就是这个多项式的次数.  和 每个单项式(连同符号) 几项式 不含字母 次数最高 整式的分类  明晰概念:(1)整式包括　单项式和多项式　.  (2)单独一个字母或者数字　是　(填“是”或“否”)整式.  (3)所有的单项式都　属于　整式，所有的多项式都　属于　整式(填“属于”或“不属于”).  单项式和多项式 是 属于 属于 1.多项式－5xy＋xy2－1是(　B　) A.二次三项式 B.三次三项式 C.四次三项式 D.五次三项式 B 2.下列代数式:－，，－π，－5x2y3，，，－x，其中整式有　5　个.  3.－的系数是　－　，次数是　3　.  5 － 3 单项式的相关概念 1.关于式子－m2n的说法，正确的是(　D　) A.因为含有除法，所以不是单项式 B.是单项式，系数是4，次数是2 C.是单项式，系数是1，次数是2 D.是单项式，系数是－1，次数是3 D [变式演练]写出所有同时含有字母a、b，系数为－，次数为3的单项式:　－ab2，－a2b　.  －ab2，－a2b 多项式的相关概念 2.多项式x2y3－3xy3－3的次数和项数分别为(　A　) A.5，3 B.5，2 C.2，3 D.3，3 A [变式演练]1.多项式xy＋xy2＋2x2y3按y的降幂排列是　2x2y3＋xy2＋xy　.  2.多项式2x4－(a＋1)x3＋(b－2)x2－3x－1中，不含x3项和x2项，则ab＝　－2　.  方法归纳交流　不存在某项，可以看作此项的系数为　0　.  2x2y3 ＋xy2＋xy －2 0 整式 3.某学生学习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是(　D　) D 1.下列各式－mn，m，8，，x2＋2x＋6，，，中，整式有(　C　) A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 C 2.二次三项式2x2－3x－1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是(　A　) A.2，－3，－1 B.2，3，1 C.2，3，－1 D.2，－3，1 A 3.下列说法正确的是(　A　) A.a，－6，ab＋c，都是整式 B.和都是单项式 C.和x2＋xy＋y2都是多项式 D.3x－1的项是3x和1 4.若x3yn－4是六次单项式，则n＝　7　.  A 7 5.写出一个只含有字母x的二次三项式　x2＋2x＋1(答案不唯一)　.  x2＋2x＋1(答案不 唯一) 2.1　代数式 第4课时 代数式的值 1.知道什么是代数式的值，会用直接代入法求代数式的值. 2.会根据实际问题列代数式并求值. 3.初步感受数学中的整体思想，能适当添括号进行整体代入求值. ◎重点:求代数式的值. ◎难点:列代数式并求值. 激趣导入 数学实验:依次呈现用火柴棒搭小鱼的图集 思考:先数一数搭上面3组小鱼各需要多少火柴棒，寻找规律，列出代数式表示搭n条小鱼需要的火柴棒数. 追问:搭100条小鱼呢？搭1000条小鱼呢？搭10000条小鱼呢？ 激趣导入 代数式的值  揭示概念:用　数值　代替代数式中的　字母　，按照代数式中的　运算　关系计算得出的结果叫做代数式的值.  数值 字母 运算 实际问题中求值  若梯形的上底、下底、高分别是a、b、h，那么梯形的面积公式是　S＝　.  S＝ 代数问题中求值  【归纳总结】负数或者分数的平方要加　小括号　，将负数或者分数作为一个整体.当小括号里面出现小括号时，外面的小括号变成　中括号　.  小括号 中括号 1.如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为4时，则输出的结果为(　C　) A.16 B.12 C.132 D.140 2.已知a－b＝4，则代数式1＋2a－2b的值为(　A　) A.9 B.5 C.7 D.－7 C A 3.如图，在一个长方形操场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为r米，操场的长为a米，宽为b米. (1)请列式表示操场空地的面积. (2)若操场的长为50米，宽为20米，圆形花坛的半径为3米，求操场空地的面积.(π取3.14，计算结果保留一位小数) 解:(1)广场空地的面积为(ab－πr2)平方米. (2)当a＝50，b＝20，r＝3时， 操场空地的面积为ab－πr2＝50×20－3.14×32＝971.74≈971.7 平方米. 直接代入求值 1.当x＝5，y＝4时，式子xy－的值是　18　.  【归纳总结】首先要明确代数式表示的意义，再代入求值，代入时省略的乘号要补上去. 18 整体代入法 2.如果a＋b＝5，那么(a＋b)2－4(a＋b)＝　5　.  5 [变式演练]1.若x2－3x＝6，则6x－2x2＝　－12　.  2.若x2－3x＝6，则x2－x＋5＝　7　.  方法归纳交流　求整式的值分两种情况:1.已知整式中每个字母的值，　直接　代入求值；2.知道某个代数式的值，且无法求出代数式中每个字母的具体值，采用　整体代换　的数学思想解决问题.  －12 7 直接 整体代换 根据实际问题列代数式求值 3.储水池中原有水900 m3，每小时从中放出30 m3的水. (1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式. (2)求12 h后，池中剩余的水量. 解:(1)Q＝900－30t. (2)540 m3. 1.当x＝3时，px3＋qx＋1＝2022，则当x＝－3时，px3＋qx＋1的值为　－2020　.  2.一组“数值转换机”按下面的程序计算，若输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是　15　.  －2020 15 3.将a＝－8，b＝3分别代入下面的两个式子，计算结果，看看它们是否相等？ (1)(a－b)2；(2)a2－2ab＋b2. 解:把a＝－8，b＝3代入得 (1)(a－b)2＝[(－8)－3]2＝121. (2)a2－2ab＋b2＝(－8)2－2×(－8)×3＋32＝121. 从结果看，它们相等. 4.如图，这是一个长方形. (1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S. (2)若x＝3，求S的值. 解:(1)由图形可知，S＝4×8－×4×8－×4(4－x)＝16－8＋2x＝8＋2x(cm2). (2)将x＝3代入上式，S＝8＋2×3＝14(cm2). $$