专题20创新型综合应用【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题20 创新型综合应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 新定义综合应用 （5年5考） 2024·北京：新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离 2023·北京：新定义、一次函数、相似三角形、最值问题 2022·北京：点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题 2021·北京：旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质 2020·北京：圆的基本性质及与一次函数的综合运用 本题型是代几综合大题，作为中考卷中最后一道压轴题，通过构造新定义，考察学生对所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力，本题型，涉及范围广，综合性强，难度系数较大，同学们在复习时，要注重解题方法和技巧的积累，做到举一反三. 考点01 创新型综合应用 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． (1)如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 2．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．    (1)如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； (2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 4．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． （1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________； （2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值； （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 5．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 6．（2024·北京·三模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点C为图形G的“东中点”． (1)已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______； (2)直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点为线段的“东中点”，求m的取值范围； (3)已知直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段上存在半径为2的的“东中点”，直接写出n的取值范围． 7．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 8．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． (1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； (2)如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； (3)已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 9．（2024·北京西城·二模）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”， 在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为．写出的取值范围． 10．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，对于的弦和点给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，且点在弦的垂直平分线上，则称点是弦的“关联点”．已知的半径为． (1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是_________； (2)若点是弦的“关联点”，求弦的长； (3)已知点对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 11．（2024·北京平谷·二模）平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 12．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 13．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 14．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，是的一条弦，以为边作平行四边形．对于平行四边形和弦，给出如下定义：若边所在直线是的切线，则称四边形是弦的“弦切四边形”． (1)若点，，四边形是弦的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”，并直接写出点的坐标； (2)若弦的“弦切四边形”为正方形，求的长； (3)已知图形和图形是弦的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形与不重合．，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记的长为，直接写出的取值范围． 15．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 16．（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． (2)已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 18．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线的对称点在图形M上，则称P为图形M的关联点． (1)如图，点，．在点，，中，线段的关联点是______； (2)已知点，的半径为2，点P在直线上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (3)的圆心为，半径为3，x轴上存在的关联点，直接写出t的取值范围． 19．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”． (1)已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______； ②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长； (2)已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 20．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 21．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 22．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． 23．（2024·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点___________重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 24．（2024·北京平谷·一模）平面直角坐标系中，已知和平面上一点P，若切于点A，切于点B，且，则称点P为的伴随双切点． (1)如果的半径为2 ①下列各点，，，是的伴随双切点的是______； ②直线上存在点P为的伴随双切点，则b的取值范围______； (2)已知点，过点F作y轴的垂线l，点是x轴上一点，若直线l上存在以为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围． 25．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． (1)已知如图1点． ①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________； ②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________； (2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 26．（2024·北京石景山·一模）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”. 特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．    在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ； (2)点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”． ①直接写出点的坐标； ②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围． 27．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 28．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”． (1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ； (2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围； (3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值． 29．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”． (1)当时， ①在，，，中，的“伴随点”是______． ②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值； (2)已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围． 30．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点” (1)点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）； (2)直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标； (3)的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围． 31．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”． (1)已知，，，其中． 若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”； 若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围； (2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 32．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 33．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 34．（2024·北京东城·一模）对于平面内的点和点，给出如下定义： 若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． (1)已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； (3)点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 35．（2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦” (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ； (2)是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值． 36．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． (1)已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； (2)已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 37．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 创新型综合应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 新定义综合应用 （5年5考） 2024·北京：新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离 2023·北京：新定义、一次函数、相似三角形、最值问题 2022·北京：点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题 2021·北京：旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质 2020·北京：圆的基本性质及与一次函数的综合运用 本题型是代几综合大题，作为中考卷中最后一道压轴题，通过构造新定义，考察学生对所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力，本题型，涉及范围广，综合性强，难度系数较大，同学们在复习时，要注重解题方法和技巧的积累，做到举一反三. 考点01 创新型综合应用 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． (1)如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，45；② (2)或 【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解； ②取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为； （2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，则点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，故当，的最大值为2，设，则，解得：，可求直线与交于点，，故t的取值范围是或． 【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， ∵点，， ∴， 而， ∴, 由对称得：， ∴为等腰直角三角形， ∴, 设半径为， 则,故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在外，不符合题意， ∴点是弦的“可及点”， 可知三点共线， ∵， ∴， 故答案为：，45； ②取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点D横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点的横坐标的最大值为， 故答案为：； （2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， 故点P需要在的圆内或圆上， 作出的外接圆，连接， ∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N）， ∴， ∴， 由对称得点在的垂直平分线上， ∵的外接圆为， ∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q， ∴， ∴， 随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接， ∵， ∴当最大,时，此时为等边三角形， 由上述过程知 ∴， ∴当，的最大值为2， 设，则， 解得：， 而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴， 当，当时，， 解得， ∴与x轴交于点， ∴，而 ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键． 2．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．    (1)如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； (2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可； （2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可． 【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”， ∵点，，，，， ∴直线经过点O，且与相切， ∴是弦的“关联点”， 又∵和横坐标相等，与都位于直线上， ∴与相切，经过点O， ∴是弦的“关联点”． ②∵，， 设，如下图所示，共有两种情况，   a、若与相切，经过点O， 则、所在直线为： ， 解得：， ∴， b、若与相切，经过点O， 则、所在直线为：， 解得：， ∴， 综上，． （2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”， 又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示，    ①当S位于点时，为的切线，作， ∵，的半径为1，且为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴根据勾股定理得，， 根据勾股定理，，同理，， ∴当S位于点时，的临界值为和． ②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1，∴， ∴三角形为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和， ∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或， 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键． 3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出； （2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则． 【详解】（1）解：①点Q如下图所示． ∵点， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为，， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②证明：如图延长ON至点，连接AQ， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴NM为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴，   在中，， 结合题意，，， ∴， 即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 4．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． （1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________； （2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值； （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时． 【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可； （2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解； （3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到； 故答案为； （2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示： 设与y轴的交点为D，连接，易得轴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点A在y轴的正半轴上时，如图所示： 同理可得此时的， ∴； （3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示： 由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径， ∴， ∴， ∴； 由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示： 连接，过点作于点P， ∴， 设，则有， ∴由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述：当时，此时；当时，此时． 【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 5．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）平行，P3；（2）；（3） 【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可； （2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值； （3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围． 【详解】解：（1）平行；P3； （2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴． 由垂径定理得：， ∴； （3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可； 点A到O的距离为． 如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：； 平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°, ∵OA2=1,∴OM=, A2M=, ∴MA=3,AA2= , ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键． 6．（2024·北京·三模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点C为图形G的“东中点”． (1)已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______； (2)直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点为线段的“东中点”，求m的取值范围； (3)已知直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段上存在半径为2的的“东中点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“东中点”的意义一一判断即可； （2）点C在线段上时，求得m的值，此时不满足题意，考虑点C在线段的下方、上方情况，分别画出图形，过C作于B，延长交x轴于H，则或的长度必须大于等于的长度即可； （3）分三种情况：先考虑的情况，当直线与圆相切时，求得n的最小值；当以为直径构造等腰直角三角形，此时为n的最大值，两者结合即可求得n为正时的取值范围；再考虑情况；最后考虑情况，由与的对称关系即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，由题意知，，故是等腰直角三角形，满足题意； 过作于A，，均不是等腰直角三角形，则不符合题意； 过作于B，则，故是等腰直角三角形，满足题意； 综上，满足题意点有； 故答案为：；    （2）解：对于直线，令，得；令，得； 即， ， ； 显然直线经过点C时，此时，即时，不满足题意； 当直线在C点上方时，如图，过点C作于B，延长交x轴于H， 则， ， 为等腰直角三角形，且， 故在线段上必存在点A，使得； 把代入中，得， 所以；    当直线在C点下方时，如图，过点C作于B，延长交x轴于H， 则时，符合题意；    当直线过点H时，，如图， 此时，即， 把B点坐标代入中，得， 即； 综上，或；    （3）解：考虑时的情况； 当直线与切于点C时，如图，，，      符合题意，此时， ， 由勾股定理得：， 故； 以为直径，构造等腰直角三角形，此时为n的最大值， 由题意，是线段的垂直平分线，则， ， ， 平分； 过点D作于M，则，， ， ， ， 即；    综上，当时，n的取值范围为； 当时，不符合题意， 当时，与的情况对称，n的取值范围为； 综上，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数与圆的性质的应用，等腰直角三角形的性质等知识，关键是读懂题意，借助定义作出图形，注意数形结合、分类讨论思想的运用． 7．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)①；②1 (2) 【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可； （2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为． 【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为， ∵， ∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为， 故答案为：； ②∵，点， ∴它们的中点的坐标为，即， ∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”， ∴点到直线的距离为1， 故答案为：1． （2） ①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且， ∵点D与点E的中点为O， ∴点C与点B重合， ∵， ∴, ∴； ②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图， ∵， ∴点G关于点A的对称点H的坐标为, 将代入，得， ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键． 8．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． (1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； (2)如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； (3)已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，“反射线段”为弦时，坐标为；“反射线段”为弦时，坐标为 (3)或 【分析】（1）在圆中找出对应的弦，其中大于圆的直径，根据“反射线段”的定义即可判断； （2）由“反射线段”的定义，画出的反射弦，找出对应点的垂直平分线即为直线，数形结合求出直线与轴的交点的坐标即可得到答案； （3）根据（2）的方法找到所在的圆心，当点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 是关于直线的对称的弦， 是的以直线为对称轴的“反射线段”， 是关于直线的对称的弦， 线段是的以直线为对称轴的“反射线段”， ，的直径，， 线段不是的以直线为对称轴的“反射线段”， 故答案为：、； （2）解：由“反射线段”的定义，作出图形，如图所示： 当关于直线的对称弦是时，直线过的中点，即直线：，则直线与轴交点； 当关于直线的对称弦是时，，设，则由中垂线性质可知， ，解得，则直线与轴交点； （3）解：以为斜边构造等腰直角三角形，以为圆心、为半径作圆，设与x轴的交点为L，如图所示： 设，则， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当点在圆上运动一周时，取的中点，的中点，如图所示： 是的中位线， ，，即的中点，在以为圆心，半径为的圆上运动， 若是的以直线为对称轴的反射线段，则为的切线， 设与轴交于点，， ，， ， 反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． 9．（2024·北京西城·二模）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”， 在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为．写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3）或 【分析】（1）由题意得，若将绕着点R旋转后的的圆记作，则经过， 点在弦的垂直平分线上，且的半径与的半径相等，“割圆点”R在线段的垂直平分线于弦所在的直线的交点，由，得到不是关于的“割圆点”的线段；确定点为中点，而的垂直平分线于平行，故不是关于的“割圆点”的线段；对于线段，先确定点为中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，可求直线表达式为：，把代入得； （2）可求直线表达式为，为等腰直角三角形，则，，找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上，则，代入直线，可求，因此可求的取值范围； （3）可求，由于直线l经过点，以直线分析，由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连接，，，第一种情况，当线段在点H异侧时，此时，当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，则，同理，因此，但是取不到，故；第二种情况，当线段在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则，当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，连接，可求，故，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得，若将绕着点R旋转后的的圆记作，则经过， 则， ∴点R在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点为中点， ∵的垂直平分线与平行， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得圆心在弦的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得， ∴点即为中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，如图： ∵，， ∴设直线表达式为： ， 代入得：， 解得， ∴直线表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴是关于的“割圆点”的线段， 故答案为：，； （2）解：将代入得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴， ∴， 由题意知点R为的垂直平分线与直线的交点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而，， ∴， 当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时，如图： 当点Q运动到时，即的垂直平分线与直线平行，此时正无穷大，如图： ∴， 当点Q继续向上运动一点时，的垂直平分线与直线交点在第三象限很远处， 此时负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上， ∴，代入直线得：， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线分析， 由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接，， ∵经过圆心，点M为中点， ∴， ∴， 当减小时，增大直至等于，如图： 第一种情况，当线段在点H异侧时， 当点与点M重合时，此时，如图： 当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴， 当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 10．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，对于的弦和点给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，且点在弦的垂直平分线上，则称点是弦的“关联点”．已知的半径为． (1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是_________； (2)若点是弦的“关联点”，求弦的长； (3)已知点对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的长为或； (3)或； 【分析】（1）由点坐标可知弦的垂直平分线为轴，根据新定义求出各点关于弦对称的点坐标，然后根据是否在上，进行判断作答即可； （2）由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心，则为弦的垂直平分线，点关于直线的对称点为或，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可； （3）根据点，，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得的极值即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ∴弦的垂直平分线为轴， ∴关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，不在上，即不是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 不在弦的垂直平分线上，即不是“关联点”； 故答案为：，； （2）解：由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心， ∵点是弦的“关联点”， ∴为弦的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为或， 当对称点为时，直线为，如图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 当对称点为时，直线为，如上图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，设交于，作直线交于点、，分别作线段、的垂直平分线，交于、、、，垂足为、，连接 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，取最小值，取最小值，根据垂线短最短，当与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐减小， ， 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，，取最小值， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐增大， ∴当时，取最大值，即， ， 当在上时，为， 当点与重合时，则与互相垂直平分，如图，连接， K， 在中，， 当点运动到点时，如图，， ， 综上所述，的取值范围为或； 【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键． 11．（2024·北京平谷·二模）平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【分析】（1）由点P为线段的中点得,根据锐角三角函数可求出，从而，进而可得答案； （2）根据题意，点与点重合，，当点B在y轴的正半轴时和，当点B在y轴的负半轴时两种情况求解即可； （3）依题意当，则点就是线段的中点，但是点是在圆上运动的，点只能是从中点的右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得中点始终在以 为圆心半径为的上运动，始终在线段 扫得区域，进而上下平移，与相切，即可求解． 【详解】（1）如图， 由新定义知与相切， ∴. ∵点P为线段的中点， ∴, ∴, ∴, ∵与相交， ∴, ∴①②符合题意. 故答案为：①②； （2）如图，当点在轴的正半轴时， 线段与关于点关联， ， 当与相切与点时，连接，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 当点与点重合时，， ； 当点在轴的负半轴时，如图， 同理可求. 综上可知，或 （3）在上任取一点，在上任取一点，以为圆心，为半径作，过点分别作的切线， ∵要使线段与关于点关联， ∴ 即 ∴ 取 中点则点在线段上不包括端点 、. 随着 在 上运动取 中点 , ∴中点始终在以 为圆心,半径为的上运动， ∴始终在线段 扫得区域, ∴当与相切时, 如图所示，取点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵b过点, 代入解得： 当过点时, ∴. 【点睛】本题考查含的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键． 12．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平均距离的定义解答即可； （2）设的中点为，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点在以为圆心，1为半径的圆弧上，过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）首先求出直线的解析式为；其次设点，则得，由中点坐标公式求得，由题意得，即；由点P在上，则有，把代入并整理得关于x的一元二次方程，利用判别式即可求得t的范围． 【详解】（1）解：点，， 线段的中点为， 到轴的距离为1.5， 线段关于轴的平均距离为1.5； 故答案为：1.5； （2）解：设的中点为， 点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且， ， 为的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆弧上，如图1， 过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，   ，，， ， 线段关于直线的平均距离的最小值． 故答案为：． （3）解：设直线解析式为， 把，两点坐标分别代入中，得：， 解得：， 即直线解析式为； 设点， 轴交直线于点Q， ， 则， ， 即； 因点P在上，则有， ， 整理得：， 由于关于x的一元二次方程必有实数解，则， 即， 解得：； 线段关于轴的平均距离的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，一元二次方程根的判别式等知识，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 13．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)长度的最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意判断角是否为即可； （2）根据直径所对的圆周角为，找出的运动轨迹后求解即可； （3）分类讨论的长度，求出关联弦的取值范围，再根据的取值范围求解即可． 【详解】（1）连接，，，，，，如图所示： 解：∵点，点，，，， ∴，，和是点的关联点； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 综上点的“关联弦”是和； （2）解：∵，， ∴， 设的中点为，则， ∵，的长为定值， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，如图所示： ∴当在轴上时最大，此时，， ∴； （3）解：设是点的关联弦，， 当点在圆心上时，即，如图所示： 此时为等腰直角三角形，， ∴， 当点在圆上时，即时，如图所示： 此时为等腰直角三角形，， ∴当时，设的中点为连接，，如图所示： ∴， ∴当越大，越小时越大，即， ∴此时得到最大值，如图： ∴， ∵当点在圆外且与相切时，如图所示： 此时四边形为正方形，此时， ∴当时，设的中点为连接，，如图所示： ∴， ∴当越大，越小时越大，即， 所以此时得到最大值，如图： ∴， 综上所述； 又∵连接，，当时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵时关联弦的取值为：， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键． 14．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，是的一条弦，以为边作平行四边形．对于平行四边形和弦，给出如下定义：若边所在直线是的切线，则称四边形是弦的“弦切四边形”． (1)若点，，四边形是弦的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”，并直接写出点的坐标； (2)若弦的“弦切四边形”为正方形，求的长； (3)已知图形和图形是弦的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形与不重合．，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记的长为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）因为四边形是弦的“弦切四边形”故是的切线，因为，四边形是平行四边形，故线段是在直线上，且垂直于轴，根据平行四边形的性质可得，所以垂直轴，因为是的一条弦，在上，，由图象可得点坐标为，所以，因为， ，，所以由图象可得点的坐标为． （2）当弦的“弦切四边形”为正方形时，则以为边作出的四边形为正方形，可得线段与相切，交点为点，连接并延长交于点G，故可得出正方形，因为线段与相切，交点为点，为的圆心，所以，因为，所以，，四边形为矩形，设为，因为，所以，又因为，，所以点是AB的中点，即，故在中，，带入数值为，解得：或（舍），所以． （3）分情况讨论：①由题意可得，圆上任意点（与轴轴交点除外），关于轴的对称点B，作菱形与，分别为菱形和菱形，且和与圆相切于点，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接交轴于点，连接，交轴于点，连接，故是直角三角形，设，因为，所以，因为，，和分别是和的中点，所以，，，所以，因为，和分别是和的中点，所以，因为，，所以，故在中，，带入数值为，故当时，，因为，所以，即，因为，所以．②当点在圆上与轴轴交点上时，关于轴的对称点B，作菱形和菱形， ，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即．同理可得作菱形和菱形，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即．综上所述，的取值范围为或． 【详解】（1）解：∵四边形是弦的“弦切四边形” ∴是的切线， ∵，四边形是平行四边形， 故线段是在直线上，且垂直于轴， 根据平行四边形的性质可得， ∴垂直轴， ∵是的一条弦，在上，， 由图象可得点坐标为， ∴， ∵， ，， ∴由图象可得点的坐标为． ． （2）当弦的“弦切四边形”为正方形时，则以为边作出的四边形为正方形，可得线段与相切，交点为点，连接并延长交于点G，故可得出正方形，如下图所示： ∵线段与相切，交点为点，为的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 设为， ∵， ∴， 又∵，， ∴点是AB的中点，即， 故在中，， 带入数值为， 解得：或（舍）， ∴． （3）①由题意可得，圆上任意点（与轴轴交点除外），关于轴的对称点B，作菱形与，分别为菱形和菱形，且和与圆相切于点，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接交轴于点，连接，交轴于点，连接，故是直角三角形，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵，，和分别是和的中点， ∴，，， ∴， ∵，和分别是和的中点， ∴， ∵，， ∴， 故在中，， 带入数值为， 故当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴． ②当点在圆上与轴轴交点上时：如图所示，关于轴的对称点B，作菱形和菱形， ，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即． 同理可得作菱形和菱形，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即． 同理可得作菱形和菱形，,分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时,即. 同理可得作菱形和菱形，,分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时,即. 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的性质、勾股定理解三角形、平面直角坐标系、矩形的性质，二次函数的实际应用、切线的性质定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 15．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为； (3) 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； （2）解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 16．（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． (2)已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】(1)①；②， (2)S的最小值为，；S的最大值为， 【分析】（1）① 设，根据题意，得确定坐标，判断即可． ② 根据，，点C是弦的“关联点”，得到点C一定在直线上，设，根据题意，得，确定点C的坐标后，利用两点间的公式计算，的长即可． （2）根据题意，得， 当最大时，取得最大值；当最小时，取得最小值；利用切线长定理，勾股定理计算即可． 【详解】（1）① ∵点，，,点，， ∴， ∴不可能是的切线， 故不是弦的“关联点”， 设， 根据题意，得， ∴， 解得， ∴． 故符合题意，不符合题意， 故答案为：． ②根据，，点C是弦的“关联点”， ∴点C一定在直线上，设，, ∴， ∴， 解得， 故， ∵， ∴，． （2）∵直线与x轴，y轴分别交于点M，N， ∴，， ∴，， ∵对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”， ∴是的切线； ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为S， ∴， 当最大时，取得最大值；当最小时，取得最小值； ∵， ∴当T与N重合时，最大，此时，； 设与y轴的交点为G，根据切线长定理，得到，于点G， ∴， ∴； 根据垂线段最短，得当时，最小，此时，； 设与轴的交点为H，根据切线长定理，得到，于点H， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的基本作图，切线长定理，勾股定理，两点间距离公式，直角三角形的面积公式，最值的应用，垂线段最短，熟练掌握性质，勾股定理，切线长定理，最值的应用是解题的关键． 17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到不是直角三角形；是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，时，，则，解得或；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得点是为直径的圆上的一点，根据题意求得的最大值为，进而分在轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，是直角三角形， 由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ， 不是直角三角形，由“关联点”定义可知，不是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ，即， 是直角三角形，由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 故答案为：，； （2）解：如图所示： 当点，时，，则，解得或； 设轴上的，，即在轴正半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最大值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小； ； 设轴上的，，即在轴负半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最小值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值； ； 综上所述，点的纵坐标的取值范围或； （3）解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为； 当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，， ∵，， ∴，则， ∵，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 当在轴上方时，如图所示 同理可得 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 18．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线的对称点在图形M上，则称P为图形M的关联点． (1)如图，点，．在点，，中，线段的关联点是______； (2)已知点，的半径为2，点P在直线上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (3)的圆心为，半径为3，x轴上存在的关联点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）点关于直线的对称点是点A，点关于直线的对称点是线段的中点，故是线段的关联点； （2）由题意得，则以O为圆心，为半径的圆要与有公共点即，的中垂线与有交点即点Q，则，即，①当点P在第一象限时，当时，内切于x轴正半轴，切点为点，则；当时，内切于x轴负半轴，切点为点，则，因此，当点P在第三象限时，同理可求； （3）当，与相切时，最大，能让点落在x轴上，当点落在x轴负半轴时，设，则，可得，则， 此时，当点落在x轴正半轴时，可求，因此t的取值范围是． 【详解】（1）解：如图，作直线，， 由图可知：点关于直线的对称点是点A，点关于直线的对称点是线段上的点， 所以线段的关联点是、， 故答案为：，； （2）解：由题意得，则以O为圆心，为半径的圆要与有公共点即，的中垂线与有交点即点Q， ∴满足， ∴， 解得：， ①当点P在第一象限时， 当时，内切于x轴正半轴，切点为点，如图： 过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设， 则， ∴， ∴， ∴； 当时，内切于x轴负半轴，切点为点，如图： ∴ ∴当时，满足条件； ②当点P在第三象限时，同理可求， 综上所述，若P为的关联点，点P的横坐标的取值范围为：或； （3）解：由题意得， 先定点Q和，当点P向下运动，点越靠近x轴，即尽可能大，因此当与相切符合题意，如图： ∵与相切时，点T到的距离最大，由不变，得到最大，则最大， ∴最大， ∴第一个满足的约束条件是与相切， 定点P和，则当点Q向下运动时，点越靠近x轴，即要尽可能大，同上可得当与相切时，最大， ∴第二个满足的约束条件是与相切， ∴当，与相切时，最大， 当点落在x轴负半轴时，如图： ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 当点落在x轴正半轴时，如图： 同理可求， ∴， ∴t的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系，角的直角三角形的性质，圆与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制变量”，找出临界状态． 19．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”． (1)已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______； ②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长； (2)已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②． (2) 【分析】（1）①已知线段长，求出的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出，，，再看与是否相等即可作出判断； ②由，的坐标求出，再求出到的距离，进而求出； （2）首先确定线段与长度间的关系，线段长度越长，线段长度越长；然后举例线段，确定线段最大值和最小值取值情况；改变线段的位置，确定线段最大值和最小值的变换情况；当线段是水平线段时，取最大值；当线段是竖直线段时，取最小值，由此可解决问题． 【详解】（1）解：先探究长度确定时，的长度，如图， ，是的切线，切点分别为，， 由切线长定理，得，，， ， ，即， ， ①，， ， ， ， ， ， 弦的“关联点”是，， 故答案为：和； ②． 理由：由，， 可知， ， ； （2）解：． 理由如下：，， ， ， 越大，越大；越小，越小； 以线段为例，如图： 当最大时，， 当最小时，， 改变线段的位置到，如图： 当由变为， ， ， 当由变为， ， ， ，， ， 当为水平线段时，如图： ，， ， ， ， 改变线段的位置到，如图： 过点作于点， 当由变为， ， ， 当由变为时， ， ， ，， ， 当为竖直线段时，如图： ，或， ， ， ， 综上，． 【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段与的等量关系是解题的关键． 20．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)和 (3)或 【分析】（1）根据定义可得，①当时，代入计算即可；②当时，分两种情况分别求解：当时和当时，再根据的取值范围作进一步判断； （2）根据定义可得再分两种情况分别建立联立方程组求解即可： （3）根据题意可得，如图，直线与轴于点，与轴于点，过点作于点，确定，，，，得到，，设沿轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：①当时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接；②时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点，可得结论． 【详解】（1）解：∵的级衍生函数为， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②当时， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵的级衍生函数为， ∴ 当时， 联立方程组， ∴， ∵， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图像之间没有交点； 当时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与的图像的交点坐标是和； （3）∵的级衍生函数为， ∴ 如图，直线与轴于点，与轴于点， 当时，得：；当时，得：；当时，得：， ∴，，， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点， 设沿轴正方向移动， ①当时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接， ∴，， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； ②时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点， ∴，， 对于直线， 当时，得：；当时，得：， ∴，且在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查函数的新定义，函数图像上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图像的交点，点和圆的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键． 21．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②当或 (2)或 【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到与相切，则线段上没有点在外；再证明线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，即可得到结论； （2）设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； （3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A在上， ∴与相切， ∴线段上没有点在外， ∴线段不是的“交割线段”， ∵， ∴点C在内，点B在外， ∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内， ∴线段不是的“交割线段”，线段是的“交割线段”， 故答案为：；    ②如图所示，设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设， ∴，， ∴此时点H刚好在上，且此时与相切； ∵的半径为2， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”； 由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段是的“交割线段”；    （2）解：联立 得， ∴， 同理可得，； 如图2-1所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-2所示，当恰好与相切于H时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；        如图2-3所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-4所示，当恰好与相切于P时，连接，设直线与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；      综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“交割线段”． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值． 22．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． 【答案】(1)①，C②； (2)最小为，最大为． 【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可； ②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围 （2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值； 根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值； 【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，A点绕逆时针旋转得到点C， 故答案为：，C； ②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点，作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示 由旋转可知，，， ， 坐标为 在上运动 设与轴的交点为，与轴交点为 当，，当时，， ， 以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高 当不是点的关联图形时， 故答案为：． （2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接，，如图所示 由旋转可知，，， ， 点坐标为 所以在上运动 ， 与轴的夹角为 设在轴的交点为，那么点坐标为 当与有唯一交点时，最大 与相切 为等腰直角三角形且 故最大为； 设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示 同理可证， ， 的坐标是 在上运动 设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值． 同理可证为等腰直角三角形，且 故最小值为． 【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键． 23．（2024·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点___________重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，②， (2) (3)或 【分析】（1）当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，则有点A的临界值，由对称性可得点A在y轴左侧时的值取得，①结合点和的横坐标即可判断；②可求得点A的横坐标的最小值； （2）由题意可得线段和除过点A为不能有交点，当线段除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当线段除点A外不与有交点，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当点C在圆内时，即；②当点C在圆外时，，过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T，证得四边形是矩形，进一步证得，则有，，结合题意可知，则有，，求得，③当与相切时，由和，得点B与点O重合，此时，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， 当点A在y轴右侧时，过点C作的切线，连接，则，， ∴， 过点A作轴于H， 则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得，， 即，， ①∵点的横坐标为， 而， ∴点A不能与点重合， ∵点的横坐标为， 而， ∴点A能与点重合， 故答案为：； ②点A的横坐标的最小值为， 故答案为：； （2）如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除过点A为不能有交点， 当线段除点A外不与有交点， 当与相切时， ∴轴，此时，点A的横坐标为1， 则点C的横坐标为1，即， ∴时，线段除点A外不与有交点， 当线段除点A外不与有交点， 即点B在处，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点， 综上分析得，m的取值范围为； （3）①当点C在圆内时，当时，即， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴， 如图3， ②当点C在圆外时，当时， 如图4， 过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点A在直线上， ∴点A到x，y轴的距离相等是， ∴R在y轴上，点B也在y轴负半轴上， ∴， 当点B在上时，，， ∴， ∴， ③当与相切时，则， ∵， ∴点B与点O重合，此时， ∴， 综上所述，r的取值范围是：或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思想是解题的关键． 24．（2024·北京平谷·一模）平面直角坐标系中，已知和平面上一点P，若切于点A，切于点B，且，则称点P为的伴随双切点． (1)如果的半径为2 ①下列各点，，，是的伴随双切点的是______； ②直线上存在点P为的伴随双切点，则b的取值范围______； (2)已知点，过点F作y轴的垂线l，点是x轴上一点，若直线l上存在以为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）求出点P为的伴随双切线的条件，①根据求出的条件进行判断即可；②根据得出的条件，判断原点到直线的距离的关系，从而得出解； （2）根据（1）得出点P存在的条件，判断以为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而得解． 【详解】（1）解：①根据定义，由，是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵点，，，， ∴， ∵， ∴点是的伴随双切点． 故答案为：； ②∵直线上存在点P为的伴随双切点． ∴圆心O到直线的距离不大于． 设直线与x轴，y的交点为C，D，过点O作于点E，如图． 令，则，令，则， ∴点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）设的中点为F， ∴． ∵轴，F过直线l， ∴直线l的表达式为， ∴圆心F到直线l的距离为， 由（1）可知， ∴， ∴， 即， ∴或． 【点睛】本题是一道圆的综合问题，考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理等，准确的理解新定义是解题的关键． 25．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． (1)已知如图1点． ①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________； ②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________； (2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”； ②在上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接，取的中点即为点Q，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q的在以为圆心，半径为1的上，即可求解； （2）过点O作点Q的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b即可． 【详解】（1）解：①如图，点P关于的对称点分别为，则，， ∴在上， ∴点P关于点Q的“等距点”的是 故答案为：； ②在上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接，取的中点即为点Q，连接，取其中点，连接， ∴， ∴点Q的在以为圆心，半径为1的上， ∵与轴交于点， ∴， 故答案为：． （2）解：过点O作点Q的对称点，则点为， ∴上所有的点关于点Q的对称点都在以为圆心，半径为2的上， ∵点P在的图象上， ∴当直线与相交即可， 当直线与第一次相切时，设切点为点E，直线与y轴交点G，当直线与第二次相切时，设切点为点F， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴其点Q与点O的水平距离与铅锤距离均是1， ∴， 由相切得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可求当直线与第二次相切时，， 综上：． 【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 26．（2024·北京石景山·一模）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”. 特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．    在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ； (2)点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”． ①直接写出点的坐标； ②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或或； 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①设直线与线段的垂直平分线交于点C，求出，根据点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，得出点P在直线上，，，证明，求出，得出点B的纵坐标为，即可求出结果； ②根据题意得出点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线上，点Q也在的垂直平分线上，画出图形，找出临界点，然后求出的取值范围，的范围即可． 【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，    则，， ∴为等边三角形， 此时在优弧上只能作一个等边三角形， ∴点是线段的“强关联点”， ∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于， ∴要使线段的“关联点”存在，， ∵不在线段的垂直平分线上， ∴点不是线段的“关联点”， 连接，，，，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”， ∵， ∴， ∴点不是线段的“关联点”； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”； （2）解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：      把代入得：， ∴， ∴， ∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”， ∴点P在直线上，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴点B的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上， ∵，， ∴点O、B在该圆上， 过点A作于点E， ∴， ∴垂直平分， ∴点Q在直线上， 根据解析①可知：， ∴当时， ∴， ∵点Q也在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线必须与相交， 当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意， 根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”， ∴要Q是的“关联点”，则， 即， 如图，取、，使，则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意， ∴的取值范围是：或或，      作的垂直平分线交于点F，交于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，理解题意，根据题意画出图形． 27．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或． 【分析】（）根据新定义即可求解； 找到关键点先求出此时的值，然后即可求解； （）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可； 本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图， 根据题意，直线与以为半径的相切， 由图可知，等边三角形的“相关切点”是， 故答案为：； 根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图， 若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图， 由，是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 此时， ∴的取值范围为； （2）如图，此时中，，， 此时，， 解得：（负值舍去）， 如图，此时中，，， 此时，， 解得：（正值舍去）， 如图， 此时，， 解得：或（舍去）， 如图， 此时，， 解得：（舍去）或， 综上可知：或． 28．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”． (1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ； (2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围； (3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解； （2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解； （3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴，，，， ∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是， 故答案为：． （2）解：依题意，， 由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则， ∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． ∴， ∴当线段上存在一个点到原点的距离为时， 当时，如图所示， 当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则 则（除端点外）上所有的点到的距离都， ∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意， ∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”， ∴， 当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”， ∴； 根据对称性，当时，可得； 综上所述，或 （3）∵时 ∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上， 如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心， ①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则， 根据新定义可得， ∴， ②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则， 则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 当在轴上时，两条边界线的正中间，则的最小值为， ∴即 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键． 29．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”． (1)当时， ①在，，，中，的“伴随点”是______． ②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值； (2)已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①设射线与相切于点M，连接，根据题目中的定义得出，分别求出四个点与间的距离，然后进行判断即可； ②根据直线上有且只有一个的“伴随点”，得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，求出，得出，即可求出结果； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①如图1，设射线与相切于点M，连接， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ， ∴当点P在外，时，， 当时，点， ∵，，，， ∴在，，，中，的“伴随点”是，； 故答案为：， ②∵当点P在外，时，， ∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， 如图2： ∵直线上有且只有一个的“伴随点”， ∴直线与以为圆心，为半径的圆相切， ∴， 设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接， ∴， 令，，令，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的对角线的交点，点， ∴点，，， 当时，如图所示： 此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为， ∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， ∴，， ∵， ， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为， ∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， ∴，， ∵， ， ∴， 解得：； 综上分析可知：的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，两点间距离公式，等腰直角三角形的性质，解不等式组，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 30．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点” (1)点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）； (2)直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标； (3)的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据新定义结合直径所对的圆周角是直角得到当或者点O与点P或者点A重合时，点P是点O关于点A的“联络点”，据此利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解判断即可； （2）先求出，则，解直角三角形得到，；根据定义得到，解直角三角形得到，则；设直线与y轴交于点G，先证明，再证明，得到，则，可得，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案； （3）根据等腰得到或点M与点P重合，再由为等腰三角形，得到，；当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，证明，得到，设，则，进而得到，则点P在直线上；设直线与y轴交于点S，则，依题意可知，P在上，则直线与要有交点，如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，证明是等腰直角三角形，得到，由切线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得，则；同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，故当时，直线与有交点，即此时符合题意；再同理求出M在x轴下方时t的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：根据新定义可知，当点O在以为直径的圆上时，满足点P是点O关于点A的“联络点”， ∴或者点O与点P或者点A重合； ∵点A的坐标为，点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴是O关于点A的“联络点”； 同理可得是O关于点A的“联络点”； ∵，， ， ∴， ∴， ∴不是O关于点A的“联络点”； 故答案为：，； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵点P是点C关于点D的“联络点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，设直线与y轴交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点P是M关于N的“联络点”， ∴或点M与点P重合， ∵为等腰三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线上， 设直线与y轴交于点S，则， 依题意可知，P在上， ∴直线与要有交点， 如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为， ∴当时，直线与有交点，即此时符合题意； 如图所示，当点M在x轴下方时，同理可得当时，符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，直径所对的圆周角是直角，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确理解新定义，根据直径所对的圆周角是直角得到对应的角是直角是解题的关键． 31．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”． (1)已知，，，其中． 若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”； 若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围； (2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或 (2) 【分析】（）根据新定义找出关键点的旋转后连接即可； 同上理分情况讨论即可； （）画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，易得且相似比为，再移动图形即可求出； 本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图： 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图， 画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到， 分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为， 随意转动图，可得． 32．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 33．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、； (2)； (3)． 【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合． （1）根据定义验证可得结果； （2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果； （3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，是的“倍弦线”， 与不相交，， 和不是的“倍弦线”， 故答案为：、； （2）如图2， 以为圆心，3 为半径画圆交直线于和， ， ； （3）如图3， 以为圆心，2为半径画圆，直线与相切， 此时， 以为圆心，1为半径作，直线与线切， 此时， ． 34．（2024·北京东城·一模）对于平面内的点和点，给出如下定义： 若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． (1)已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； (3)点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，满足条件． （2）如图中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，时，满足条件． （3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，的值，可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ，， 点不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， ， ， ， 点是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， ， 不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， 是点关于点的锐角旋转点； 综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，， 故答案为：，． （2）解：在轴上取点，当直线经过点时，可得， 当直线经过点时，则， 解得：， 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上， 过点作直线，垂足在第四象限时，如图， 则，， ， 当时，取得最小值， ， ， ． （3）解：根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分， 如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ，， ， ， ，即， 解得， 如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，， ， 解得， 观察图象可知，． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点是点关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题． 35．（2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦” (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ； (2)是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题中定义即可画图得出； （2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标； （3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，结合三角形的面积求得的值，根据锐角三角函数可求得点的坐标，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∴关于直线的“对称弦”的是线段； （2）解：设点，关于直线的对称点为,， ∴直线垂直平分，， ∵是关于直线的“对称弦”， ∴,在上， ∵点的坐标为， 即点在上， ∵直线经过圆心， ∴点也在上， ∵， 故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点； ∵， 即是等边三角形， 故点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理，点的横坐标为，点的纵坐标为， 综上，点的坐标为或； （3）解：设点关于直线的对称点为, ∴直线垂直平分， ∵线段是关于直线的“对称弦”， ∴在上， 由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上， 又∵， 即； 令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图： 令，则，即点，, 令，则，即点，， 则， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 即点的坐标为， ∵，； ∴， 整理得：， 解得：或， 故的值为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 36．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． (1)已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； (2)已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①2；② (2)或 【分析】（1）根据新定义画出图形计算即可； （2）分和两种情况，然后根据题意画出图形计算出最大值和最小值即可解题． 【详解】（1）①如图，由题可得点M坐标为， 即 ∴矩形的面积是； ②如图，以为直径作圆，则点，在圆上， 又∵点M在内或边上， ∴， 当时，过点N作轴于点B， ∵，即， 解得：， ∴； ∴点N的横坐标t的取值范围是； （2）解：若，当，最小， 当点N在x轴负半轴上时，b值最小，这时， ∴点N的坐标为， 代入可得：； 当时，值最大， 令，则，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 由于这时矩形不存在，故取不到， 故b的取值范围为 当时，由对称性可得， ∴b的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，新定义，圆的切线的性质，勾股定理，三角函数，一次函数能根据题意找准临界位置是解题的关键． 37．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由，，得到 ，，，进而得到等边三角形，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到为的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， （2）解：设点，， ∵点P，Q在直线上，轴，轴， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为：， ∴，， ∵直线的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为中点，， ∴为的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与相关线段的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$