专题06一元二次方程及其应用【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题06 一元二次方程及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1一元二次方程根的判别式 （5年4考） 2024·北京；2023·北京；2022·北京；2020·北京：根据一元二次方程根的情况求参数值； 中考中一元二次方程主要考察点：方程解法、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的应用；一元二次方程题型多以选择、填空为主，也常与其他知识综合命题。 考点2 一元二次方程根与系数的关系 （5年1考） 2021·北京：一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数值 考点1一元二次方程根的判别式 1. （2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 2. （2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 3. （2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4. （2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 考点2 一元二次方程根与系数的关系 5. （2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 6. （2024·北京大兴·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 7. （2024·北京平谷·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8. （2024·北京丰台·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 9. （2024·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10. （2024·北京·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C． D．9 11. （2024·北京·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 12. （2024·北京昌平·二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13. （2024·北京房山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 14. （2024·北京西城·一模）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 15. （2024·北京顺义·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16. （2024·北京大兴·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17. （2024·北京东城·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 18. （2024·北京·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 19. （2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 20. （2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ． 21. （2024·北京石景山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 22. （2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 27．（2024·北京延庆·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 23. （2024·北京顺义·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 24. （2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 25. （2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 26. （2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 27. （2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 28. （2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值． 29. （2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 30. （2024·北京朝阳·一模）燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1一元二次方程根的判别式 （5年4考） 2024·北京；2023·北京；2022·北京；2020·北京：根据一元二次方程根的情况求参数值； 中考中一元二次方程主要考察点：方程解法、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的应用；一元二次方程题型多以选择、填空为主，也常与其他知识综合命题。 考点2 一元二次方程根与系数的关系 （5年1考） 2021·北京：一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数值 考点1一元二次方程根的判别式 1. （2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 2. （2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3. （2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 4. （2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 考点2 一元二次方程根与系数的关系 5. （2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 6. （2024·北京大兴·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故选：B ． 7. （2024·北京平谷·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知，然后解不等式即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个实数根 ，， 故选：D． 8. （2024·北京丰台·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．根据a，c的值，判断出判别式的符号，可得结论． 【详解】解：A、当，时，方程是一元一次方程，本选项不符合题意； B、当，时，，方程没有实数根，本选项不符合题意； C、当，时，，方程没有实数根，本选项不符合题意； D、当，时，，，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 9. （2024·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，解不等式即可求得n的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 10. （2024·北京·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，得到，即可选出答案. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴实数的值可以为四个选项中的A选项， 故选：A 11. （2024·北京·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，时，方程有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得：且， ∴k的值可能是． 故选：A． 12. （2024·北京昌平·二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 故选：C． 13. （2024·北京房山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式．利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的值为， 故选：B． 14. （2024·北京西城·一模）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选C． 15. （2024·北京顺义·一模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 16. （2024·北京大兴·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：A． 17. （2024·北京东城·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故选：A 18. （2024·北京·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 19. （2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 20. （2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则两根分别与方程系数之间有如下关系：，． 根据得到，两根之和为正数，两根之积是负数可知，，找出一组符合题意的数即可． 【详解】解：一元二次方程有两个根， ， ， 两根之和为正数，两根之积是负数， ∴，， ， 令，． 故答案为：，（答案不唯一）． 21. （2024·北京石景山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 22. （2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)； (2)取，此时，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． （2）取． 此时方程为 解得，． 27．（2024·北京延庆·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用根的判别式得出m的取值范围，再根据m为正整数，即可解决问题． 【详解】解：关于的方程有实数根， ． ， ． ， 为正整数， ． 此时的方程为：． 方程的解为：． 23. （2024·北京顺义·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根是 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程。解题的关键是：（1）牢记“当时，方程两个实数根”；（2）掌握解一元二次方程的方法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）将代入方程，解得，将代入方程得到然后解方程即可求出另一根． 【详解】（1）证明： ， ， ， 方程总有两个不相等实数根． （2）解：将代入方程，解得 将代入方程得到 解得， 所以方程的另一个根是 24. （2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 25. （2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【详解】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 26. （2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 27. （2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∵ ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴． 28. （2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）先解方程得出，根据该方程的两个实数根的差为3，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 该方程总有两个实数根． （2）解：原方程可化为， ，（也可用求根公式求出两根） ， ， 该方程的两个实数根的差为3， ． ． 29. （2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】车道的宽为4米 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 30. （2024·北京朝阳·一模）燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每张桌面的宽为尺， 根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， 故可得， 解得：，（舍去）， ∴， 答：长桌的长为尺． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$