精品解析：山东省菏泽市单县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题共24道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．是中心对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：． 2. 下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则无意义，此项不符合题意； B、当时，无意义，此项不符合题意； C、因为，所以一定有意义，此项符合题意； D、因为只有当时，才有意义，所以此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的性质、二次根式的乘除运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘除运算，以及合并同类二次根式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 5. 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由坐标平移的规则得到点的坐标为，由点正好落在轴上求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， 点的坐标为， 点正好落在轴上， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 6. 如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长． 【详解】解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝5， ∴AD＝5， ∵EA＝3，ED＝4， 在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°， 在Rt△EDC中，CE＝＝＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等． 7. 若，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，从而可得图象经过二、四象限，与轴交于负半轴，即可得到答案． 【详解】解：， ， 图象经过二、四象限，与轴交于负半轴， 图象可能是 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为． 8. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及旋转的性质得出，，再根据平角的定义即可推出结果． 【详解】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， 即旋转角的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 9. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0； 当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 【答案】C 【解析】 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣， ∴点A4的坐标是（7，﹣），…， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，只要求最后结果填写在答题卡的指定位置） 11. 算术平方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算，最后根据二次根式的减法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶________千米． 【答案】500 【解析】 【分析】由题意得，令，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：， 从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶500千米， 故答案为：500． 【点睛】本题考查了一次函数和解一元一次方程，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 14. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据中位线定理求得PM和PN的长，然后证明△PMN是等边三角形即可证得． 【详解】解：∵P、N是AB和BD的中点， ∴PN=AD=×8=4，PN∥AD， ∴∠NPB=∠DAB=50°， 同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°， ∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°， ∴△PMN是等边三角形． ∴MN=PM=PN=4， ∴△PMN的周长是12 故答案为：12 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式的整数解求参数．熟练掌握不等式的解法是解此题的关键．． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式的正整数解是1，2，3， ∴， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①； ②直线BC的解析式为； ③点； ④若直线BC上存在一点P，使得的值最小，则点P的坐标是．正确的结论是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识． 先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；分别讨论点在、点的情况，比较值的情况，得出当点在点时，使得的值最小可判断④，即可求解． 【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点，故③正确； 直线上存在一点， 当点在点时，， ， 当点在点时，， 在中， 当点在点时，使得的值最小，则点的坐标是，故④正确； 综上分析可知，正确结论为①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别通过完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）分别求出每一个不等式的解集，继而可确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组以及二次根式的混合运算，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为． 18. 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：∵，∴．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空：______；______； （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，利用平方差公式，分子分母同乘以有理化因式是解题的关键． （1）分子分母分别乘以，，即得答案； （2）根据（1）的方法，分别化简，，，，，即得答案． 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：；． 【小问2详解】 ． 19. 如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形性质得到，，再根据旋转的性质得到，，，于是可判定点在的延长线上，然后证明得到．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ∵将按顺时针方向旋转得到． ，，， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ． 20. 小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量n（单位：个）与叠放在一起的凳子的总高度h（单位：cm）的关系如表： 凳子的数量n 1 2 3 4 … 叠放的凳子总高度h 45 50 55 60 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系，请用待定系数法求h与n的函数关系式； （2）若将该种凳子竖直叠放在层高为超市货架上，最多能叠放多少个？ 【答案】（1） （2）最多能叠放10个 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用； （1）设该一次函数解析式为，把，代入求出k，b即可； （2）根据叠放在层高为超市货架上可知，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该一次函数解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴h与n的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：，即， 解得：， ∴最多能叠放10个． 21. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 22. 2023年5月17日上午，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星由“长征三号乙”遥八十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年“长三乙”火箭再送“北斗”导航卫星．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍． （1）求购进“卫星”模型至多多少个？ （2）已知每个“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个，求售完这批模型可以获得最大利润是多少？ 【答案】（1）购进“卫星”模型至多133个 （2）2665元 【解析】 【分析】（1）设购进“卫星”模型x个，则购“火箭”模型个，根据购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍．列不等式为，求解即可； （2）设售完这批模型可以获得的利润y元，根据题意得，再根据一次函数的增减性质和，且x为整数，求出y的最大值即可． 【小问1详解】 解：设购进“卫星”模型x个，则购“火箭”模型个，根据题意，得 解得：， ∵x为整数， ∴x最大为133， 答：购进“卫星”模型至多133个． 【小问2详解】 解：设售完这批模型可以获得的利润y元，根据题意，得 ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，且x为整数， ∴当时，， 答：售完这批模型可以获得最大利润是2665元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一次函数的应用．理解题意，列出不等式和列出一欠函数解析式是解题的关键． 23. 如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，与直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求面积； （3）在x轴上方的直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在．点 【解析】 【分析】（1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）令求出值，即可得出点的坐标，联立两直线解析式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）假设存在，根据两三角形面积间的关系得到，将点的纵坐标代入直线的函数解析式中即可求出点的坐标． 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将、代入， ，解得：， 直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：联立两直线解析式组成方程组， ，解得：， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． ． 【小问3详解】 解：存在． 由于点轴上方时，， 则， ， 由时，， 点的坐标为． 故在x轴上方的直线上存在点，使得面积是面积的3倍． 24. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题共24道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式正确的是（ ） A B. C. D. 5. 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE长是（　　） A. 5 B. 6 C. 4 D. 5 7. 若，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，只要求最后结果填写在答题卡的指定位置） 11. 的算术平方根是________． 12. 计算：______． 13. 一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量（升）与行驶里程（千米）的关系式为．从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶________千米． 14. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是_______． 15. 若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是______． 16. 如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①； ②直线BC的解析式为； ③点； ④若直线BC上存在一点P，使得的值最小，则点P的坐标是．正确的结论是________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：∵，∴．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空：______；______； （2）化简：． 19. 如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长． 20. 小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的．凳子的数量n（单位：个）与叠放在一起的凳子的总高度h（单位：cm）的关系如表： 凳子的数量n 1 2 3 4 … 叠放的凳子总高度h 45 50 55 60 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系，请用待定系数法求h与n的函数关系式； （2）若将该种凳子竖直叠放在层高超市货架上，最多能叠放多少个？ 21. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 2023年5月17日上午，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星由“长征三号乙”遥八十七运载火箭在西昌发射场成功发射，时隔近三年“长三乙”火箭再送“北斗”导航卫星．某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型．该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍． （1）求购进“卫星”模型至多多少个？ （2）已知每个“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个，求售完这批模型可以获得最大利润是多少？ 23. 如图，直线函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，与直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求的面积； （3）在x轴上方的直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 24. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$