第二章 等式与不等式（单元复习 压轴题专练）【单元速记】-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式（压轴题专练） 题型一：一元二次方程根与系数的关系 1．（23-24高一·全国·单元测试）已知关于x的分式方程①：和一元二次方程②：，其中k､m､n均为实数，方程①的根为非负数. (1)求k的取值范围； (2)若方程②有两个整数根､，且k为整数，，，求方程②的整数根； (3)若方程②有两个实数根､，满足，且k为负整数，试判断是否成立？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】(1)解出方程①的根，根据根的范围即可求出k的范围； (2)将k和n代入方程，方程的根为整数，得两根之和与两根之积均为整数，然后用枚举法即可求解； (3)根据k是负整数，结合(1)中k的范围即可确定k的取值，化简方程，将题设方程化为韦达定理形式求解﹒ 【详解】（1）因为关于x的分式方程的根为非负数，所以且．由方程①得，则，解得且．又方程②是二次方程，得．综上，k的取值范围是 （2）由题意，把代入方程②得方程③：，则且，解得或． 因为､是整数，k､m也是整数，所以为整数，所以． 把代入方程③，得，解得； 把代入方程③，得，解得． 综上，当时，方程②的整数根为0，3； 当时，方程②的整数根为1，2。 （3）成立． 理由：由(1)及k是负整数，得，即方程②：． 又方程②有两个实数根､，则，整理得． 由韦达定理得． 又由，化简得，整理得，代入得，再整理得，所以，解得，则，即，所以成立﹒ 2．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断与的符号，进而即可求出的值；(2)首先假设，都小于2，结合已知条件和韦达定理可得和同号，且，再结合和的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出的范围，然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）当，时，的两个实根为，， 由韦达定理可得，，， 即，， 故. （2）证明：假设，都小于2， 由，可知，，且与异号， 由韦达定理可知，，，则与同正， 此时，则， 又因为，都小于2，所以，这与矛盾， 故假设不成立，从而，中至少有一个大于等于2. （3）由可知，， 从而方程等价于， 由题意可知，且，即， 故，解得或， 又因为，所以的取值范围为， 又因为，是方程的实根， 所以，即， 从而或，解得或， 故实数m的取值范围为. 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 【答案】(1). (2)不存在，详见解析. (3)或或. 【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、，最后根据得出，通过计算即可得出结果； （2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果； （3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果. 【详解】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得， ，， 因为，所以， 即，，，. （2）由（1）易知，，， 若存在实数，使成立， 则，解得， 因为，所以不存在实数使成立. （3）由（1）易知，，， 则， 因为，所以， 因为为整数，所以、、， 因为，所以或或. 题型二：一元二次不等式的解 1．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设a、b是实数，定义：.则满足不等式的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义分别求出，，，然后解不等式可得. 【详解】 设， 则， ， ， 解得. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察新定义发现，当时，结果与b无关，于是可设，然后利用定义即可求解. 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系. 【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 3．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知，先求解不等式的解集，然后再对不等式进行转化，通过讨论，和三种情况，分别列式作答即可. 【详解】由已知，不等式的解集为， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，设，进而整理得，进而令，当给定时，再分和分别讨论求解即可. 【详解】解：因为关于的方程有两个不同实根， 所以，故设 所以，   ①， 所以，令， 当给定时，当，时，可变形为，但由于，故 当时，取，可变形为， 所以，的取值范围为. 所以，实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合判别式设进而整理得，再令，结合二次函数的最值求解即可. 5．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 6．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得，从而求得的值. （2）将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得构成的区间的长度和. （3）先解出不等式的解集为A，不等式的解集为B，根据的长度为6，列不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）当时，不符合题意. 当时，设方程的两根为，则 由题意可知 解得或 因为当时，不等式的解集为两根两边范围，故舍 所以 （2）原不等式可转化为①，对于，其判别式，故其必有两不相等的实数根，设为，由求根公式得，. 下证： 构造函数，其两个零点为，且.而，所以，由于，且，由二次函数的性质可知. 故不等式①的解集为，其长度之和为. （3）因为，记， 设不等式的解集为， 不等式组的解集为 设不等式等价于， 所以，， 由于不等式组的解集的个区间长度和为， 所以不等式组，当是恒成立. 当时，不等式恒成立，得 当时，不等式恒成立，分离常数得恒成立. 当时，为单调递增函数， 所以，所以， 所以实数. 题型三：分式不等式 1．（23-24高一上·上海·课后作业）已知、、、为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，则对变形得，此时不等式的形式与的形式相同，则由原不等式的解集可得或，从而可求得结果. 【详解】若，原不等式化为，显然不成立， ∴，由得， 即． ∵不等式的解集为， ∴或，解得或， 故原不等式的解集为． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）关于的不等式的解集是，则 ， ． 【答案】 4 2 【分析】由已知整理可得，的解集为，然后结合二次不等式的解集与二次方程的根的关系即可求解． 【详解】解：因为，， 所以原不等式等价于． 整理得．① 由已知可得当时，，即．② 由①②可知， 解得：，， 故答案为：4，2． 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 4．（22-23高一上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集. 【详解】解：不等式，即， 方程的根有（2重根），，，，（2重根）， 按照数轴标根法可得不等式的解集为. 故答案为： 题型四：基本不等式 1．（2024·上海普陀·）已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 【答案】B 【详解】本题可用排除法，由， 对于，若，可得，故不存在这样的错误，排除；对于时，成立，而以为边的三角形不存在，错误，排除；对于时，成立，存在以为边的三角形为直角三角形，故错误，排除故选B. 【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 3．（23-24高一下·四川成都）已知，，记，，有下面四个结论： ①若，则的最大值为；             ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最大值为． 则错误结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】把变形成，利用常数t值并借助“1”的妙用求解，再按t的不同取值计算即可判断；用常数t表示出xy的取值范围，然后将n变形成用xy表示，再借助函数、均值不等式求解计算并判断作答. 【详解】依题意，，则 ，当且仅当时取“=”， 对于①，时，有，①不正确； 对于③，时，有，③正确； 令，当且仅当时取“=”，即，， 则 对于②，时，， ，而， 由对勾函数知对是递增的，对是递减的， 则时，，无最小值，即②不正确； 对于④，时，， ，而， ，当且仅当，，即时取“=”， 则有时，，即④正确， 所以错误结论的序号是①②. 故答案为：①② 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； （3）设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 题型五：绝对值不等式（含三角不等式） 1．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）定义在正整数集上的函数，其最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的解析式中绝对值的个数，利用倒序相加法可知在中，最中间的两项为和，利用绝对值三角不等式可知，当时，取最小值，然后计算出即可. 【详解】因为函数的解析式中绝对值的个数为， 设，则，当且仅当时，等号成立， ，① ，② ①②可得， 因为， ， 所以，在中，最中间的两项为和， 所以，由绝对值三角不等式可得 当且仅当时，等号成立， 所以， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将绝对值两两配对，确定最中间两项，结合绝对值三角不等式求解. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】分类讨论出绝对值不等式的最值即可求解. 【详解】原式 时，原式恒成立 由于 当且仅当时，取得最小值8，即，则 时，原式恒成立 绝对值内用代替有 当且仅当时，取得最大值8，即，则 故 故选：D. 3．（23-24高三上·上海·期中）2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，己知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 【答案】 【分析】问题转化为横、纵、竖三个方向三个函数的最值求解即可.按分段函数零点大小将函数解析式变形，都可转化为三对绝对值的和的最小值问题，利用绝对值的和的几何意义分别求最小值，且能够同时取到等号，再相加可得函数最小值.同理可得另两个函数的最小值，三个函数的最小值相加即得. 【详解】设水源接入口的坐标为， ； ； 则6处喷淋与水源接入口所管的总长度为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，的最小值为； 同理，由零点分段函数最值求法可知， 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 故水管总长度的最小值为（米）. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由三角不等式结合已知条件可推得，求解即可 【详解】由，得， 由三角不等式得，， ， 即， 所以， 所以， 所以，即， 当且仅当时，取到最小值为 故答案为： 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【详解】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 题型六：恒成立问题 1．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案. 【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立， 则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合）， 又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意， 由，得，此时直线为，则，即对恒成立， 则，则，即实数m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题. 2．（23-24高三上·上海徐汇·期中）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实m数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，当位于直线与直线正中间时，函数的最大值最小，进而可求解. 【详解】解：由题意函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离. 作图象如下： 由图可知，当位于直线与直线正中间时,函数的最大值最小， 显然，直线的方程为：， 是对勾函数，由对勾函数性质，可求得直线的方程为：， ， . 故答案为： 3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数. (1)若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； (2)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）解法1：由求得. 解法2：在中令得结果. （2）根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性． （3）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值. 【详解】（1）解法1：， 由得， 故. 解法2：在中令得. （2）证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为， ∴，且，∴. 充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， ∴方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得：恒成立，因为a不为0， 所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 【点睛】关键点睛：求的最大值时，利用将代换为，从而由三个量化为两个量， 再将化为，将视为一个量，从而最终化为只有一个量的函数，对多元变量求最值问题时关键是转化变量减少变量的个数，最终化为只有一个量的函数求最值. 4．（23-24高一上·上海金山）已知两个正数满足. （1）求的最小值； （2）若不等式对任意正数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由条件，将用代换，将2用代换，之后再应用基本不等式求得对应式子的最小值； （2）将恒成立问题向最值问题靠拢，首先求得的最小值是4，从而将不等式转化为，应用零点分段法求得结果. 【详解】（1），且， .   当且仅当，即时，等号成立.故的最小值是.   （2） 当且仅当，即时，等号成立.的最小值是4.   当时，由不等式，得； 当时，由不等式，得； 当时，由不等式，得. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求式子的最小值以及绝对值不等式的解法，在解题的过程中，注意应用已知条件，对常数的变形，也可以应用相乘的方法，对于恒成立问题应该向最值靠拢，之后应用零点分段法求解绝对值不等式即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式（压轴题专练） 题型一：一元二次方程根与系数的关系 1．（23-24高一·全国·单元测试）已知关于x的分式方程①：和一元二次方程②：，其中k､m､n均为实数，方程①的根为非负数. (1)求k的取值范围； (2)若方程②有两个整数根､，且k为整数，，，求方程②的整数根； (3)若方程②有两个实数根､，满足，且k为负整数，试判断是否成立？请说明理由. 2．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 题型二：一元二次不等式的解 1．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设a、b是实数，定义：.则满足不等式的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）若关于的方程有两个不同实根，且不等式关于满足前述条件的恒成立，则实数的最大值为 . 5．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 6．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）定义区间，，，的长度均为，其中. (1)若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值； (2)已知实数，（），求解集构成的各区间长度和； (3)已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 题型三：分式不等式 1．（23-24高一上·上海·课后作业）已知、、、为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）关于的不等式的解集是，则 ， ． 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 4．（22-23高一上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 . 题型四：基本不等式 1．（2024·上海普陀·）已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 3．（23-24高一下·四川成都）已知，，记，，有下面四个结论： ①若，则的最大值为；             ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最大值为． 则错误结论的序号是 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 题型五：绝对值不等式（含三角不等式） 1．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）定义在正整数集上的函数，其最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（23-24高三上·上海·期中）2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，己知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 题型六：恒成立问题 1．（23-24高一上·上海·期末）若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 2．（23-24高三上·上海徐汇·期中）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实m数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数. (1)若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； (2)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 4．（23-24高一上·上海金山）已知两个正数满足. （1）求的最小值； （2）若不等式对任意正数都成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$