第二章 等式与不等式（单元复习 11类题型清单）【单元速记】-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点02、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 知识点03、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点04、函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 1、对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 2、 解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点05、分式不等式 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 知识点06、含绝对值不等式 方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）； 方法二：应用数形结合思想； 方法三：应用化归思想等价转化. ①最简单的绝对值不等式的同解变形 ；； 或； 或. ②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形 ； 或； . 知识点07、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 03 题型归纳 题型一 等式与不等式的性质　 例题1．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例题2．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（23-24高三上·上海静安·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用不等式求范围　 例题1．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 . 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）已知，则的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求及的取值范围． 题型三 作差法比较大小　 例题1．（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则M N（用>、<、=填空）. 3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）比较下列各组中与的大小，并给出证明. (1)与； (2)与，（其中. 题型四　一元二次方程的解集及根与系数的关系 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的方程有一个根为，则另一个根为 ． 例题2．（23-24高一上·上海·期中）已知关于x的方程有两个实数根，若，求实数m的值． 例题3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知一元二次方程的两实根为、，且，求实数的值. 题型五 解一元二次不等式（不含参）　 例题1．（23-24高三上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 例题2．（23-24高三上·上海闵行·期中）不等式的解集是 （用区间表示） 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式组：. 题型六 解一元二次不等式（含参）　 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：（其中）． 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 2．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 3．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 题型七 由一元二次不等式的解确定参数　 例题1．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 例题3．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求b的取值范围． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，关于的不等式的解集为，则= .(用表示) 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，关于的不等式的解集为，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 题型八 分式不等式　 例题1．（23-24高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 例题2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 例题4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 题型九 含绝对值不等式　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 题型十 基本不等式 例题1．（23-24高一上·上海静安·期中）下列各式中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 例题3．（23-24高一上·上海浦东新）已，则的最大值为 ． 例题4．（2024高一·上海·专题练习）若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是 . 巩固训练 1．（2024·上海静安·一模）若实数x,y满足，则（    ）成立． A． B． C． D．. 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，且，则的最小值为 . 4．（23-24高一上·上海宝山·）设，则的最大值为 题型十一 三角不等式 例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 例题2．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 例题3．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知不等式的解集为，求实数的取值范围． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知对一切恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点02、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 知识点03、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点04、函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 1、对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 2、 解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点05、分式不等式 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 知识点06、含绝对值不等式 方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）； 方法二：应用数形结合思想； 方法三：应用化归思想等价转化. ①最简单的绝对值不等式的同解变形 ；； 或； 或. ②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形 ； 或； . 知识点07、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 03 题型归纳 题型一 等式与不等式的性质　 例题1．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 例题2．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a和b的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确. 【详解】由，且知，则，故A错误； ，故B错误； 由得，即，故C错误； ，即，故D正确. 故选：D. 例题3．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，若，则；①正确， 对于②,若，当时，则，故②错误， 对于③,若，当时，则，故③错误， 故答案为：① 巩固训练 1．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】取，可判断A；或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D 【详解】选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立 故选：D 3．（23-24高三上·上海静安·期中）如果，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】，则，，故AD错； ，同乘可得，故B正确； ，同除可得，故C错. 故选：B. 题型二 利用不等式求范围　 例题1．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为. 【详解】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解. 【详解】由可得：， 令，整理可得：， 所以，解得：， 所以， 将两边同时乘以，可得，① 将两边同时乘以，可得，② 两式相加可得： ， 即， 因为，所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 即的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 题型三 作差法比较大小　 例题1．（24-25高一上·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比较大小. 【详解】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 所以. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则M N（用>、<、=填空）. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故, 故答案为： 3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）比较下列各组中与的大小，并给出证明. (1)与； (2)与，（其中. 【答案】(1)，证明见详解； (2)，证明见详解. 【分析】（1）（2）应用作差法比较大小即可. 【详解】（1），证明如下： ， 故. （2），证明如下： ， 故. 题型四　一元二次方程的解集及根与系数的关系 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的方程有一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有根的韦达定理，计算得出结果； 【详解】设方程的另一个根为， 根据韦达定理得：，解得：. 经检验符合题意. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海·期中）已知关于x的方程有两个实数根，若，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据题意，，结合韦达定理和完全平方公式对化简，求出实数m的值． 【详解】因为关于x的方程有两个实数根， 则，解得， 根据韦达定理可知，，， ，即，即， 即， 化简得，解得或（舍）， 所以. 例题3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可； （2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得， 且，， 若，则，即，解得（舍去）， 即不存在实数，使成立. （2）由题意， 又当，即时，且，， 故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可. 【详解】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 【答案】2 【分析】由题意首先根据方程的解的情况列出不等式组求得且，再结合韦达定理确定的值即可得解. 【详解】由题知，，解得且． 因为，，所以，所以或． 又因为且，所以的值是2． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知一元二次方程的两实根为、，且，求实数的值. 【答案】 【分析】转化，结合韦达定理以及判别式，即得解 【详解】由题意，一元二次方程的两实根为、 故 解得或 且 故 即 或（舍去） 故实数的值为 题型五 解一元二次不等式（不含参）　 例题1．（23-24高三上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论求解不等式即可. 【详解】当时，， 所以. 当时，， 或. 综上：解集为 故答案为： 例题2．（23-24高三上·上海闵行·期中）不等式的解集是 （用区间表示） 【答案】 【分析】由题意可知，直接求解即可. 【详解】因为恒成立， 所以由可得，即， 解得， 故答案为： 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：方法一：由方程， 因为， 方程的两个实数根为，． 函数的简图，如图所示， 所以不等式的解集是． 方法二：因为原不等式， 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是． （2）解：方法一：因为方程，可得， 所以方程有两个相等的实根， 函数的简图，如图所示， 所以原不等式的解集是． 方法二：因为不等式原不等式等价于， 所以原不等式的解集是． （3）解：方法一：由方程，可得，此时方程无实数解， 函数的简图，如图所示，所以原不等式的解集为． 方法二：由不等式，所以原不等式的解集为． 3．（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式组：. 【答案】 【分析】分别求解一元二次不等式的解，取交集即可. 【详解】由可得，解得， 由可得，解得或， 故不等式组的解为， 题型六 解一元二次不等式（含参）　 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析. 【分析】左边进行因式分解，根据函数与不等式的关系，求出端点值，后将端点值比较大小，分类讨论即可. 【详解】解：原不等式可化为． ①若，即，此时原不等式的解集为或； ②若，即，此时原不等式的解集为； ③若，即，此时原不等式的解集为或． 例题3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先解不等式，然后求的两个根，然后根据两个根的大小进行分类讨论，得到的解集，再与不等式的解集求交集时，确保仅有一个整数解，即可得解. 【详解】由不等式，解得或， 解方程，解得或． ①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得； ②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 2．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意将不等式因式分解为：，然后再分情况进行讨论，从而求解. 【详解】由题意得：，可化简为：，得：有两解：，， 当时，即：时，不等式的解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 3．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解出两个不等式的解集，根据不等式组没有实数解得到两个不等式的解集的交集为空集，由此列出不等式组求解出结果. 【详解】因为，所以，故不等式解集为， 又因为，即且，故不等式解集为， 因为不等式组没有实数解，所以与的交集为， 所以，所以， 故的取值范围是. 题型七 由一元二次不等式的解确定参数　 例题1．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求解对应系数的关系，代入所求的不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解集为， 所以，且，是对应方程的两个实数根. 所以解得，，其中， 不等式化为，即. 解得或，因此所求不等式的解集为. 故选：B 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 【答案】 【分析】就参数分类考虑，利用二次函数的图象数形结合即可求得参数范围. 【详解】因关于的不等式的解集为空集， 即的解集为． 当时，原不等式为，即，不符合题意，舍去． 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即解得． 综上，的取值范围为． 例题3．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，关于的不等式的解集为，则= .(用表示) 【答案】 【分析】由条件，可知，3是一元二次方程的两个解，利用韦达定理列方程组求出，再求出． 【详解】因为，关于的不等式的解集为， 所以且，3是一元二次方程的两个根， 由韦达定理得到，即，所以， 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】-7 【分析】由一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系即可求得结果. 【详解】由题意知，与是的两根， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 【答案】， 【分析】利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可． 【详解】由的解集为，知的两根为，2， 所以解得所求不等式为， 变形为，即， 所以不等式的解集为． 题型八 分式不等式　 例题1．（23-24高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分式不等式移项，通分，再转化为一元二次不等式，即可求解. 【详解】，即， ，解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例题2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到，等价于且， 所以，即， 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式不等式转化为一元二次不等式，求得解集； （2）分式不等式转化为一元二次不等式组，分别求出两不等式的解集，最后取并集即可； 【详解】（1）原不等式可化为，即，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为，即，可得， 解得， 所以原不等式的解集为． 例题4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组，再解出不等式解集即可； 【详解】（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为． （2）∵，∴，解得， 所以原不等式的解集为． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，得出，再将其转化为一元二次不等式，求解即可得出实数的取值范围. 【详解】∵，∴，即， ∴，所以或， 即实数的取值范围是． 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，求解得出解集. 【详解】不等式可变为，即，解得或. 即不等式的解集为. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为，再求解集即可. 【详解】等价于，解得， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论根的大小得出解集. 【详解】解：不等式可化为，即． 即. ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为． 题型九 含绝对值不等式　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】法一：两边平方，化为一元二次不等式，求解即可； 法二：由绝对值的性质去掉绝对值，再将分式不等式转化为一元二次不等式，由其解法得出解集. 【详解】法一：不等式等价于，整理得. 即，解得， 则不等式的解集为. 法二：当时，满足； 当时，不等式，可化为， 即或，即或， 即或. 解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解可求不等式的解集. 【详解】因为，故且， 故，解得，故原不等式的解集为， 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用绝对值不等式解法求解即可；（2）将不等式转化为或，结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】（1）（方法1）原不等式等价于解得． 所以原不等式的解集为． （方法2）两边同时平方得，化简得， 即，解得， 所以原不等式的解集为． （2）原不等式等价于或，即或， 故或或． 数轴如图． 所以原不等式的解集为． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先由得到或；再将分式不等式转化为一元二次不等式，求解，即可得出结果. 【详解】由可得或， 即或； 等价于或， 解得或； 即原不等式的解集为： 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意得或，再一元二次不等式即可. 【详解】由，得或， 由，解得， 由，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论参数即可解. 【详解】解：因为，故分以下两种情况讨论： ①当，即时，原不等式无解，即不等式的解集为． ②当，即时，原不等式可变为． 所以． 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 题型十 基本不等式 例题1．（23-24高一上·上海静安·期中）下列各式中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式以及取等条件可判断A,B,C，根据二次函数的性质可求解D. 【详解】对于A，当时，，所以最小值不为2，A错误； 对于B，， 当且仅当得不成立， 所以，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取得等号， 所以的最小值为2，C正确； 对于D，因为，所以，故D错误， 故选:C. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 【答案】③ 【分析】对于①③，利用基本不等式分析判断，对于②，作差分析判断. 【详解】对于①，∵、是正实数时，， ∴，当且仅当时等号成立，∴①不恒成立； 对于②，∵，当且仅当时取等号，∴②不恒成立； 对于③，∵，∴③恒成立． 故答案为：③ 例题3．（23-24高一上·上海浦东新）已，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】构造乘积为常数，用基本不等式求解. 【详解】∵，   ∴ 当且仅当，且，即时，等号成立. ∴ 故答案为：3. 例题4．（2024高一·上海·专题练习）若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原不等式可转化为根据基本不等式和不等式恒成立思想可求得答案. 【详解】原不等式可转化为 又a>0，则当且仅当 即时，等号成立， 则根据恒成立的意义可知解得 故答案为： 巩固训练 1．（2024·上海静安·一模）若实数x,y满足，则（    ）成立． A． B． C． D．. 【答案】B 【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解. 【详解】由 和基本不等式 （当 时等号成立）， ，当 时，有 ，当 时， ，A错误； 由 （当 同号时等号成立）得： ， ，B正确； ， （当 时等号成立） ， ，C，D错误； 故选：B. 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用等式求解，代入计算，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为，解得：， 则 当且仅当，时，“=”成立 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海宝山·）设，则的最大值为 【答案】 【分析】先由题意求出，再由基本不等式，得到，即可得出结果. 【详解】由得；又，所以 再由， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 题型十一 三角不等式 例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等关系可得的最小值，即可根据有解转化成最值问题即可求解. 【详解】由于， 当时等号成立， 所以 故要使不等式在R上有解， 只需要，即. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】若对恒成立，分离参数，利用绝对值不等式的性质可得，当且仅当取等号，继而可求得的取值范围． 【详解】解：∵对恒成立， ∴对恒成立． ∵，当且仅当取等号， ∴当时，．又， ∴，即的取值范围为． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】根据题意，利用绝对值的三角 不等式，求得，得到不等式，即可求解. 【详解】解：因为，所以， 则． 因为恒成立，则的最小值大于或等于2． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 可得或，解得或， 故实数的取值范围为． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可. 【详解】由题意可知，不等式对任意的恒成立， 由三角不等式可得， 则，即，解得， 因此，实数的取值范围是． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】左边运用三角不等式求出最小值,后解不等式即可. 【详解】解：因为，当且仅当，即时，等号成立． 所以对一切实数恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$