第二章 等式与不等式 章节验收测评卷（单元复习）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则 （用“>”“<”“≥”或“≤”填空）． 【答案】≥ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以， 故，故，当且仅当取等号， 故答案为：≥ 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若且，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为且， 所以 ， 所以. 故答案为：> 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式先求的最小值，然后可得. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式有唯一解，则的值是 ． 【答案】2或 【分析】根据二次函数的性质与不等式的解之间的关系即可求解. 【详解】由于为开口向上的二次函数， 不等式的解可看作是在之间的图象对应的横坐标， 故不等式有唯一解，则有唯一解． 即，解得或． 故答案为：2或 6．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式等价于，即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意和不等式与对应一元二次方程的关系，对参数分类讨论即可求解. 【详解】当时，不等式为，解集为； 当时，关于的不等式的解集为，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 8．（22-23高二下·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为不等式在上恒成立，求解即可. 【详解】由题意，不等式在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 9．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增， 且当时，；当时，. 由在时恒成立， 则当时，恒成立； 当时，恒成立. 故有时，，则有， 则有，当且仅当等号成立. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【详解】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 11．（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足，且关于的不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件以及不等式的性质，先得到，然后对进行分类讨论，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】依题意，正实数满足， 则， 若恒成立，即恒成立，两边乘以， 则， 整理得恒成立， 当时，， 当且仅当时等号成立， ，，， 解得： 当时，显然此时最大值不会超过， 实数的最大值为， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集. 【详解】原不等式等价于不等式且，即 解得原不等式的解集为或． 故选：D. 15．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段去绝对值符号，再解一元二次不等式即得. 【详解】当时，不等式化为，解得或，因此或； 当时，原不等式化为，即，解得，因此， 所以原不等式的解集是. 故选：A 16．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得； （2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最大值为. 18．（22-23高一上·上海徐汇·期中）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由； （2）求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围． 【答案】（1），理由见解析； （2）证明见解析， . 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）分、和三种情况证明不等式成立，然后根据分类讨论的情况即可得到不等式等号成立时的范围. 【详解】（1），理由如下， ， 因为不全为零，所以，即. （2）当时，原不等式可整理为，解得，所以说明当时不等式成立； 当时，原不等式可整理为，成立； 当时，原不等式可整理为，解得，所以说明当时不等式成立； 综上所述不等式对于所有实数恒成立， 由上可得当时，不等式取等号. 19．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）小明今年1月1日用24万购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估计，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（x∈N）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为 万元（今年为第一年） (1)该出租车第几年开始盈利（总收入超出总支出）? (2)该车若干年后有两种处理方案； ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以8万元卖出. 试问哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】(1)第三年 (2)方案②合算，理由见解析 【分析】（1）用每年得总收入减去，使用x年（x∈N）的总费用即可得到每年的盈利. （2）分析两种方案下①总额最大时的情况，②平均盈利打到最大时的情况，进行比较即可. 【详解】（1）由题意可得总收入 令解得又 该出租车第三年开始盈利； （2）① 总收入 当时，盈利总额达到最大值25， 此时将车以1万元价格卖出，得到7年时间共盈利26万； ②年平均利润， 当且仅当 即.90时等号成立， 但又 故年平均利润最大值为4.2，此时5年总利润 明显方案②总利润高，时间少， 故方案②合算. 20．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于直角坐标平面上的两个点，记． (1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合； (2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合． 【答案】(1) (2)最小值为3，集合为且 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，得到，结合绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）点在函数图像上，则， 则， 因为，即， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得，此时解集为空集； 当时，不等式可化为，解得， 综上可得，不等式的解集为； （2）若，点是直角坐标平面上的任意一点， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时的最小值为，此时点的集合为且. 21．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【详解】（1）已知， 由即， 解得 ， 则； （2）已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立； 当时，由 解得； 综上，当时，的取值范围为； （3）已知， 由得，不等式组有解， 由， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 综上所述，的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则 （用“>”“<”“≥”或“≤”填空）． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若且，则 （填“>”“<”或“=”）． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值为 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式有唯一解，则的值是 ． 6．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式的解集为 ． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 . 8．（22-23高二下·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 10．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足，且关于的不等式恒成立，则的最大值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 18．（22-23高一上·上海徐汇·期中）（1）设x、y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由； （2）求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围． 19．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）小明今年1月1日用24万购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估计，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（x∈N）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为 万元（今年为第一年） (1)该出租车第几年开始盈利（总收入超出总支出）? (2)该车若干年后有两种处理方案； ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以8万元卖出. 试问哪一种方案较为合算?请说明理由. 20．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于直角坐标平面上的两个点，记． (1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合； (2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合． 21．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$