精品解析：山西省临汾市侯马市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度高中数学期末考试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为离散型随机变量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 中国女排精神代代相传．某网站对出战2024年巴黎奥运会的中国女排12人大名单进行了预测：主攻队员4人，副攻队员3人，二传和接应各2人，自由人1人．在中国女排每场比赛7人的首发阵容中，主攻和副攻各2人，二传和接应各1人，自由人1人．如果按照该网站预测的12人大名单出战，首发阵容方案数为（ ） A. 144 B. 140 C. 72 D. 36 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为 A. B. C. D. 7. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 8. 设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 奇数项的二项式系数和为64 B. 第6项和第7项二项式系数相等 C. 第4项系数为280 D. 系数最大的是第6项 10. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. 当时， D. 方程解为， 11. 某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检．已知每轮抽到A产品的概率为，每轮抽检中抽到B产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（ ） A. 若，则 B 当时，取得最大值 C. 若一轮抽检中x的很大取值为M， D. 恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 25 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为______． 13. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. 14. 设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求m的值． 16. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球. （1）记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求； （2）求从乙盒取出2个红球的概率. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式的解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 18. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ （2）若体育锻炼达标居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； （3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 19. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度高中数学期末考试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可. 【详解】的定义域为，解得：， 故， 因为，所以， 故，故 故选：B. 2. 若为离散型随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由方差的性质结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 中国女排精神代代相传．某网站对出战2024年巴黎奥运会的中国女排12人大名单进行了预测：主攻队员4人，副攻队员3人，二传和接应各2人，自由人1人．在中国女排每场比赛7人的首发阵容中，主攻和副攻各2人，二传和接应各1人，自由人1人．如果按照该网站预测的12人大名单出战，首发阵容方案数为（ ） A. 144 B. 140 C. 72 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合数公式直接求值. 【详解】由题意可知，共有种不同的首发阵容方案． 故选：C 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合赋值法和排除法，即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除D． 因为， 所以当时，，当时，，排除A，B， 故选：C． 5. 为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率. 【详解】甲、乙总的选课方法有：种， 甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：种， （先选一门相同的课程有种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余门课程中选取门，另一人选取剩余的门课程即可，故有种选法） 所以概率为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 6. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知 ，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值． 【详解】设这个篮球运动员得1分的概率为c，  ∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，  投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，  ∴ ，  解得2a+b=0.5，  ∵a、b∈（0，1），  ∴ = = ，  ∴ab ，  当且仅当2a=b= 时，ab取最大值 ．  故选D．  点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用． 7. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 8. 设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围. 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以． 故选：C． 二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 奇数项的二项式系数和为64 B. 第6项和第7项二项式系数相等 C. 第4项系数为280 D. 系数最大的是第6项 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AB，根据二项展开式的通项公式求解可判断C；列不等式求最大项的系数，判断D. 【详解】 对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确； 对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为,不相等，故B错误； 对于C：第4项为，所以第4项的系数为，故C正确； 对于D：二项展开式的通项为， 由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确. .故选：ACD. 10. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. 当时， D. 方程的解为， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数和偶函数的性质结合题意可得，再结合周期性求和即可得到A正确；由选项A的解析结合的对称中心为可得B错误；由偶函数的性质结合已知可得C正确；由函数的周期性，对称性可得D正确； 【详解】对于A，因为为奇函数，则， 即，， 又因为为偶函数，则，即， 所以， 又，， 则，， 所以，故A正确； 对于B，由选项A可得， 所以对称中心为， 又， 所以的图象关于点成中心对称，故B错误； 对于C，当时，，则， 所以对任意的，， 所以当时，，则， 故当时，，所以，故C正确； 对于D，当时，，， 令，解得， 因为的图象关于点成中心对称，且周期为4，且为偶函数， 可知的图象关于点成中心对称，且周期为4， 所以方程解可以为， 结合周期性可知的解为全体奇数，故D正确． 故选：ACD． 11. 某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检．已知每轮抽到A产品的概率为，每轮抽检中抽到B产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（ ） A. 若，则 B. 当时，取得最大值 C. 若一轮抽检中x的很大取值为M， D. 恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】列出概率的函数表达式，代值求解判断A，合理构造函数，利用导数求解最值判断B，结合题意得到判断C，利用题意结合基本不等式判断D即可. 【详解】由题意知（前次为产品，最后一次为产品）， 当时，，故A正确； ，， 令，得，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取最大值，故B错误； 由A知，， 令①， 则②， ①②得，，故C错误； 由C知若一轮抽检出n件产品，则， 每轮抽检必会抽到B产品1次，则当时，， ，则，， ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题考查求概率，解题关键是利用极限思想得到当时，，然后利用基本不等式得到所要求的不等关系即可． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，则表中m的值为______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】表示出样本中心点的横、纵坐标，将其代入回归直线方程即可求解. 【详解】样本中心点横坐标为，样本中心点的纵坐标为， 所以由样本中心点必在回归方程所对应的直线上，可得，解得. 故答案为：4.5. 13. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可求，再求出平移后图象对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值. 【详解】令，故即， 故，由题设有，故. 故， 将图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为： ， 整理得到：， 因为为偶函数，故， 所以， 故对无穷多个恒成立，故， 故. 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）通过赋值法求系数和； （2）通过二项式定理的通项求参数值． 【小问1详解】 在中， 取，得， 取，得， 以上两式相减，得． 【小问2详解】 的通项为， 若，可得， 所以，解得或． 16. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球. （1）记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求； （2）求从乙盒取出2个红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布概率求解； （2）根据甲盒任取1球放入乙盒的不同情况，分类讨论乙盒情况，利用超几何分布概率模型和全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题可知，随机变量可能的取值有. 所以 分布列如下： 0 1 所以. 【小问2详解】 (i)若，则此时甲盒取出来了1个白球放入乙盒， 此时乙盒有4个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为 (ii) 若，则此时甲盒取出来了1个红球放入乙盒， 此时乙盒有3个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为； 所以从乙盒取出2个红球的概率为. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式的解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，得到且，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，可得且， 因为，所以，等价于， 解得，即不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，不等式，即为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 小问3详解】 由题意，当时，恒成立，即恒成立， 即时，恒成立， 由基本不等式得，当且仅当即时，等号成立， 所以，所以实数取值范围是. 18. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； （3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 【答案】（1）表格见解析，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. （2） （3）分布列见解析，数学期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可. （2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率. （3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差. 【小问1详解】 根据数据补全列联表如下： 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设体育锻炼达标与性别无关， 由表格数据得， 因为， 所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. 【小问2详解】 由表格数据该地区居民体育达标的概率为， 记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”， 则由题. 【小问3详解】 由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则；. 19. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上为减函数，证明见解析． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． 【小问2详解】 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$