精品解析：湖南省永州市道县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年上期期末学业质量监测 七年级数学 温馨提示： 1.本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3.本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 4. 下列因式分解不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 学校随机调查了40个学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别为（ ） 时间/小时 7 8 9 10 人数 10 9 11 10 A. 10、9 B. 9、9 C. 9、8.5 D. 10、8.5 7. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出十，赢二；人出九，不足三．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出10钱，会多出2钱；每人出9钱，又差3钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 12或 9. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 计算：______． 12. 计算：______． 13. 若方程是关于，的二元一次方程，则______． 14. 如图，三角形绕点O逆时针能转到三角形的位置，已知，则________． 15. 我区“引进人才”招聘考试分笔试和面试．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．吴老师笔试成绩为95分，面试成绩为85分，那么吴老师的总成绩为__________分． 16. 若，则______． 17. 5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界纪录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为______条． 18. 无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 解方程组： 20. 先化简再求值：，其中， 21. 因式分解： （1） （2） 22. 如图，已知，，，．求证：． 23. 某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 乙组 b 7 c （1）以上成绩统计分析表中__________，__________，__________； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中屈中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是__________组的学生，说明理由； （3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 24. 某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． （1）求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 25. 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 26. 课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为． （1）【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； （2）【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； （3）【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上期期末学业质量监测 七年级数学 温馨提示： 1.本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3.本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先算乘方，然后计算加减即可． 【详解】 ， 故选：C． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，同底数幂乘法计算，积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. “认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，掌握轴对称的定义是关键． 4. 下列因式分解不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．据完全平方公式以及十字相乘法进行解答． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 5. 如图，已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、平角的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据，，得出，再根据平行线的同位角相等，以及平角等于，即可得出的度数． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选：A． 6. 学校随机调查了40个学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别为（ ） 时间/小时 7 8 9 10 人数 10 9 11 10 A. 10、9 B. 9、9 C. 9、8.5 D. 10、8.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数．根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得． 【详解】解：根据题意得：学生睡眠时间9小时，出现的次数最多， ∴众数为9； 将这些数据按从小到大进行排序后，第20个数和第21个数的平均数即为这组数据的中位数，∴中位数是， 故选：B 7. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出十，赢二；人出九，不足三．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出10钱，会多出2钱；每人出9钱，又差3钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意，， 故选D． 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 12或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故选：D． 9. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解答本题的关键是熟练掌握公式． 先利用平方差公式进行化简，然后计算即可. 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 若方程是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得到关于、的方程，可求得答案．解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，三角形绕点O逆时针能转到三角形的位置，已知，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 我区“引进人才”招聘考试分笔试和面试．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．吴老师笔试成绩为95分，面试成绩为85分，那么吴老师的总成绩为__________分． 【答案】91 【解析】 【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及吴老师的笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：吴老师的总成绩为95×60%+85×40%＝57+34=91（分）． 故答案是91． 【点睛】本题主要题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式是解答本题的关键． 16. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，采用整体代入是解题的关键． 将代入式子中，约分后运用分式的加法运算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1 17. 5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界纪录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为______条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 18. 无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组有解是解题的关键． 将两个方程相减可得，即，由无论m为何值，方程组都有解，可得，，即可求解． 【详解】解：， ，得， 即 ∴， ∵无论m为何值，方程组都有解， ∴，即， 且， ∴． 故答案为：6 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据加减消元法进行计算即可． 【详解】解： ①②得：， 解得， 代入①式，解得， 所以原方程组的解为 20. 先化简再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 如图，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴，又， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据平角，可得，再根据三角形内角和定理、以及，可得，再根据平行线的判定可得，即可证明． 【详解】略 23. 某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 乙组 b 7 c （1）以上成绩统计分析表中__________，__________，__________； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中屈中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是__________组的学生，说明理由； （3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1），， （2）小明可能是甲组的学生，理由见解析． （3）选乙组参加决赛，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是平均数，众数，中位数的含义，利用中位数与方差作决策，掌握基础的统计知识是解本题的关键； （1）根据平均数，中位数，众数的含义分别解答即可； （2）由中游偏上可得小明的分数高于中位数，从而可得答案； （3）根据方差越小，成绩越稳定，从而可得答案． 【小问1详解】 解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数； ， 乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数． 【小问2详解】 小明可能是甲组的学生， 理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上； 【小问3详解】 选乙组参加决赛．理由如下： 甲乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛． 24. 某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． （1）求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【答案】（1）5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克 （2）7折 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意列二元一次方程组，即可解答； （2）设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，即得打折后甲水果每千克利润为元，再列一元一次方程解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克． 【小问2详解】 解：设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，所以打折后甲水果每千克利润为元， 由题意可知， 解得， 答：甲种水果打了7折． 25. 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）用两种方式表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①根据完全平方公式化简再代数求值； ②根据完全平方公式化简求值； ③根据完全平方公式化简求值； 【小问1详解】 解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， 小长方形的长为b，宽为a， 大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即关系式为：． 【小问2详解】 ①，， ， ②， ， ， ； ③设，， ∴， ， 又， ． 26. 课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为． （1）【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； （2）【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； （3）【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ 【小问2详解】 证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、， 则， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $