专题08锐角三角函数的计算与应用-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（福建专用）

专题08锐角三角函数的计算与应用 一、单选题 1．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度． 【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm． ∵等腰三角形ABC，AB＝AC，， ∴． ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 2．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可． 【详解】解：连接OC， CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD， ∴∠CAD=2∠CAP， ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠COP＝2∠CAO ∴∠COP＝∠CAD ∵ ∴OC=3 在Rt△COP中，OC=3，PC=4 ∴OP=5． ∴== 故选：D． 【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解． 3．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长． 【详解】 ， ． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键． 二、填空题 4．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：） 【答案】128 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可知， ， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故答案为： 三、解答题 5．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：与互相平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果； （2）过点作，交延长线于点，先证明，可得 ，再证得，再由相似三角形的判定可得结论； （3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，从而得出， 得出，再上平行线判定得出，再证得，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果． 【详解】（1），且是的直径， ． ， 在中，． ， 在中，． ， ； （2）过点作，交延长线于点． ． ， ， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ． （3）如图，连接． 是的直径， ． ， ． 由（2）知，， ， ， ． ． ， ． 由（2）知，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等． 6．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 7．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】(1)①；② (2)相似三角形的判定与性质 (3)最大宽度为，见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可； （3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得； 求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得． 【详解】（1）∵， ，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故小水池的最大宽度为． （2）根据相似三角形的判定和性质求得， 故答案为：相似三角形的判定与性质． （3）测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；    （ⅱ）用皮尺测得． 求解过程： 由测量知，在中，，，． 过点作，垂足为． 在中，， 即，所以． 同理，． 在中，， 即，所以． 所以． 故小水池的最大宽度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键． 8．（2021·福建·中考真题）如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G． （1）求证：； （2）求的大小； （3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析 【分析】（1）设直线与相交于点T，证明是的中位线即可； （2）连接，取的中点O，连接，证明点，F，B，G四点共圆即可； （3）设，则，设，则，根据勾股定理找到k与a的关系，根据列比例求解即可． 【详解】解：（1）设直线与相交于点T， ∵点A与关于对称， ∴垂直平分，即． ∵E，F为边上的两个三等分点， ∴， ∴是的中位线， ∴，即． （2）连接，∵四边形是正方形， ∴， ∵，∴， ∴，∴． ∴， ∴，又， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 取的中点O，连接， 在和中， ， ∴， ∴点，F，B，G都在以为直径的上， ∴． （3）设，则． 由（2）得， ∴，即，∴． 设，则，在中，由勾股定理，得， ∴． 在中，由勾股定理，得． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识，考查推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想． 9．（2020·福建·中考真题）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 【答案】（1）60°；（2）详见解析 【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值； (2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】解：(1)连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，∴， ∴，则． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ． 故答案为：． (2)连接， 由(1)得，， ∵，，∴， ∴，∴． 在与中， ∴， ∴． 又点在上，故与相切． 【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 一、单选题 1．（2024·福建莆田·一模）如图，在矩形中，点是坐标原点，点A在反比例的图象上，点在反比例函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、反比例函数k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：过A、B作轴于E，轴于F， ∵且， ∴， ∴， ∴，,解得：， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴． 故答选C． 2．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数，根据题意作辅助线是解决问题的关键．连接，证明，得出，则，由得出结论． 【详解】解：连接 ∵恰好与相切于点D ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 3．（2024·福建福州·模拟预测）如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约（    ）m（结果精确到，参考数据：）．    A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，设，解可得，则，然后在中，解直角三角形求出x，即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于H，    由题意得，，，， 设， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选B． 4．（2024·福建漳州·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积比为，，则（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故选：D． 5．（2024·福建福州·模拟预测）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在，上取D，E两处，使得，并作一条骨架，在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．设与交于G点，交于点H，根据已知易证，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：设与交于G点，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， B，C两点间的距离大约是， 故选：C． 6．（2024·福建福州·三模）要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一个长的梯子，用这个梯子最高可以安全攀上的墙高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正弦的定义以及正弦函数的性质解答即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， ∵随着的增大而增大，， ∴当时，最大，最大值为， 故选：A． 7．（2024·福建厦门·二模）小红同学学习了锐角三角函数后，他认为通过不同观察点与信号塔之间的相对位置，利用观察点与信号塔之间可测数据与在点处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，有一信号塔；小红站在点F处，看到信号塔顶D的仰角为，小红向前走了40米，到达点E处，看到信号塔顶D的仰角为，则信号塔的高度用三角函数表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形求出米，在中，求出即可． 【详解】解：由题意得：， 米， 在中， ， ， 故选：C． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键． 先利用切线的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而利用四边形内角和是可得，然后利用周角定义可得所对的圆心角度数，从而利用弧长公式进行计算即可解答． 【详解】解：帽子的边缘，分别与相切于点，， ， ， ， ， 所对的圆心角度数， 的长， 故选：B． 9．（2024·福建泉州·二模）甲、乙两座建筑物的位置如图所示．某数学兴趣小组测得这两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，并且在点处测得点的仰角为，则由以上数据可求得乙建筑物的高（单位：）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 作垂线构造直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】过点作，垂足为，        由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2024·福建宁德·一模）如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接，利用切线的性质得，再根据三角函数的性质由求出，即可解决问题． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 二、填空题 11．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，，点D在边上，连接．若点D在线段的垂直平分线上且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，掌握垂直平分线的性质和正切的定义成为解题的关键． 由垂直平分线的定义可得，进而得到、，再运用勾股定理可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：∵点D在线段的垂直平分线上， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024·福建福州·三模）如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则 ． 【答案】/ 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设点坐标为，则、、均可用表示，易知，通过线段等量关系可求用表示的点坐标，进而求得点坐标，根据、都在反比例函数图象上，得到两点的横纵坐标之积都为，列方程即可求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点坐标为， 由对称性质有， ，，， ， ， ，即， ， ， ，，， ， ，，， ， ， ，，，， ， 、都在反比例函数图象上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，即． 13．（2024·福建福州·三模）如图，正方形的边长为4，是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，延长、交于，作于，由正方形的性质得出，，推出，由折叠的性质可得：，，，推出，即可得到，设，则，结合勾股定理得出，，由等面积法得出，由勾股定理得出，得出，再由正切的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图，延长、交于，作于， ， ∵正方形的边长为4，是的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求角的正弦值，勾股定理，过点A作轴于B，则，由勾股定理得到，则． 【详解】解；如图所示，过点A作轴于B， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·北京西城·期中）将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点A落在折痕上，并使折痕经过点D，得到折痕和线段，记与的交点为H．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键． 由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到,，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴, ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∴． 故答案为2． 16．（2024·福建三明·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、求角的正弦值，由勾股定理以及勾股定理逆定理得出，证明，得出，从而求出的长，再根据正弦的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，取格点，   ， 由勾股定理得出：，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（2024·福建泉州·一模）东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了仰角，解直角三角形，根据,计算即可． 【详解】根据题意，，， ∴， 故答案为：． 18．（2024·福建漳州·三模）如图，正方形的边长是，点，分别在，延长线上，且，连接，交于点，与边，分别交于点，，连接、现给出以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到，故②正确；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴故②正确； 在与中 ， ∴（）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 即；故③正确； ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 19．（2024·福建·三模）如图，在中，，，是由绕点顺时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，直接写出的度数； (3)当三点共线时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或或； (3)． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）分、和三种情况讨论，画出图形，利用等边三角形或矩形或正方形的性质求解即可； （3）作，利用等腰三角形的性质求得，，利用证明，推出，再利用正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 当时，作，，垂足分别为， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，的度数为或或； （3）解：作，垂足为， ∵， ∴，， ∵， ∵三点共线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确引出辅助线、分类讨论解决问题是解题的关键． 20．（2024·福建南平·二模）如图，为的直径，E为的延长线上一点，是的切线，切点为C，过点A作，交延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，先得出，即可得出； （2）设半径为r，则，，先求出，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的切线， ， ，即， 为的直径， ，即， ， ， ， ． （2）解：设半径为r，则，， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ． 21．（2024·福建厦门·模拟预测）2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离，，（如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， (1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ (2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 【答案】(1)方案③较好，理由见解析 (2)①小时；②见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间是突破口，难度较大． （1）解直角三角形，可得出、的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较； （2）①在中求出、的长度，继而得出的长度，这样即可求出汽车行加上冲锋舟行的总时间； ②分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，过点作于点，表示出、，根据，可得，继而能判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间，转换后比较即可得出结论． 【详解】（1） 解：（1）在中， ，， ，， ∵ ∴ 方案①需要用时：小时分钟， 方案②需要用时：小时分钟， 方案③需要用时：小时分钟 方案③较好； （2） 解：①， 设，，则， 解得：， 即可得，， ， 故可得所用时间为：小时； ②延长过作于， 点为上任意一点，汽车开到点放冲锋舟下水，用时， 汽车开到放冲锋舟下水，用时， ∵ ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ； ∴当点在上任意一点时，过作于，同理可证：． 综上可得汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 22．（2024·福建福州·模拟预测）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H． (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)的度数是定值， 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理进行列式即可求解； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求，，的长，通过证明，可得，即可求解； （3）先证点，点，点三点共线，由直角三角形的性质可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 四边形是菱形， ，，，， ，， ； （2）解：当时， 四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ∴， ， ； 当时， ， ， ，， ， ∴， ， ； 综上所述：或； （3）解：的度数是定值，理由如下： 如图，取的中点，连接，，， 是的垂直平分线， ，， ， 又点是的中点， ， 点是的中点，， ， 点，点，点三点共线， 点是的中点，， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ． 23．（2024·福建福州·一模）如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求的长，通过证明，即可求解； （3）由相似三角形的性质可求，由锐角三角函数可求的值，可求的长，由锐角三角函数和勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）解：如图，过点作，交于，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【学科实践】学习了苏科版九下92页的第17题后，小张所在的学习小组为了充分利用一块四边形的余料，设计了两种裁剪正方形方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 (1)填空： __________， __________． (2)试求：正方形和正方形的边长比？ (3)若在方案1中余料上再截取一个最大正方形，试求出最大正方形的边长． 【答案】(1)15， (2)正方形和正方形的边长比 (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）作于H，利用勾股定理以及三角函数的定义求解即可； （2）同理（1），分两种情况求解即可； （3）分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解． 【详解】（1）解：作于H， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故答案为：， ； （2）设正方形和正方形的边长分别为a，b． 由（1）知，则 如方案1图，在中， ， ∴ ∴； 如方案2图，∵四边形是正方形， ，， ， ， 在中， ，则， ， 在中，，， ， ， ∴ ∴正方形和正方形的边长比． （3）由（1）可知，当正方形的两边在的两条直角边上时正方形最大 如图，设正方形，则， 在中， 在中，， ∴， ∴， 答：在方案1中余料上再截取一个最大正方形，最大正方形的边长为． ( 52 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08锐角三角函数的计算与应用 一、单选题 1．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 2．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：） 三、解答题 5．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：与互相平分． 6．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 7．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 8．（2021·福建·中考真题）如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G． （1）求证：； （2）求的大小； （3）求证：． 9．（2020·福建·中考真题）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 一、单选题 1．（2024·福建莆田·一模）如图，在矩形中，点是坐标原点，点A在反比例的图象上，点在反比例函数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·模拟预测）如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼的顶部的仰角为，向前走到达E处，测得教学楼的顶部的仰角为，已知小明的身高为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼的高度约（    ）m（结果精确到，参考数据：）． A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9 4．（2024·福建漳州·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积比为，，则（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 5．（2024·福建福州·模拟预测）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在，上取D，E两处，使得，并作一条骨架，在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 6．（2024·福建福州·三模）要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一个长的梯子，用这个梯子最高可以安全攀上的墙高是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建厦门·二模）小红同学学习了锐角三角函数后，他认为通过不同观察点与信号塔之间的相对位置，利用观察点与信号塔之间可测数据与在点处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，有一信号塔；小红站在点F处，看到信号塔顶D的仰角为，小红向前走了40米，到达点E处，看到信号塔顶D的仰角为，则信号塔的高度用三角函数表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·福建泉州·二模）甲、乙两座建筑物的位置如图所示．某数学兴趣小组测得这两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，并且在点处测得点的仰角为，则由以上数据可求得乙建筑物的高（单位：）为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·福建宁德·一模）如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（   ） A． B． C． D．2 二、填空题 11．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，，点D在边上，连接．若点D在线段的垂直平分线上且，则的值是 ． 12．（2024·福建福州·三模）如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则 ． 13．（2024·福建福州·三模）如图，正方形的边长为4，是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 14．（2024·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，则的值为 ． 15．（23-24八年级下·北京西城·期中）将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点A落在折痕上，并使折痕经过点D，得到折痕和线段，记与的交点为H．若，则 ． 16．（2024·福建三明·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则 ． 17．（2024·福建泉州·一模）东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，）． 18．（2024·福建漳州·三模）如图，正方形的边长是，点，分别在，延长线上，且，连接，交于点，与边，分别交于点，，连接、现给出以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 19．（2024·福建·三模）如图，在中，，，是由绕点顺时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，直接写出的度数； (3)当三点共线时，求的值． 20．（2024·福建南平·二模）如图，为的直径，E为的延长线上一点，是的切线，切点为C，过点A作，交延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 21．（2024·福建厦门·模拟预测）2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离，，（如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， (1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ (2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 22．（2024·福建福州·模拟预测）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，点P为线段上的动点（不与点B，O重合），连接并延长交边于点G，交的延长线于点H． (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，作线段的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，在点P的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 23．（2024·福建福州·一模）如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长． 24．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【学科实践】学习了苏科版九下92页的第17题后，小张所在的学习小组为了充分利用一块四边形的余料，设计了两种裁剪正方形方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 (1)填空： __________， __________． (2)试求：正方形和正方形的边长比？ (3)若在方案1中余料上再截取一个最大正方形，试求出最大正方形的边长． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$