暑假预习专题04 两条直线的交点（8大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题04 两条直线的交点（4大题型） 新课知识点剖析与归纳 1.直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 3.过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 高频考点题型复习归纳 【题型1 判断两条直线相交及求交点】 【题型2 由两条直线的交点求参】 【题型3 三条直线的交点问题】 【题型4 过两条直线的交点的直线系】 专项练 【题型1 判断两条直线相交及求交点】 【典例1】已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【题型训练1】 1.直线与直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．直线与的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 3．曲线与的交点的情况是（ ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 4.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） A．无论，，如何，方程组总有解 B．无论，，如何，方程组总有唯一解 C．存在，，，方程组无解 D．存在，，，方程组无穷多解 【题型2 由两条直线的交点求参】 【典例2】已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【题型训练2】 1.已知直线l1：与l2：相交于点，则__． 2．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（  ） A．24 B．0 C．20 D． 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是_________． 【题型3三条直线的交点问题】 【典例3】已知三条直线交于一点，则实数=（  ） A． B．1 C． D． 【题型训练3】 1.若直线与直线的交点在直线上，则实数（  ） A．4 B．2 C． D． 2．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（  ） A． B．1 C． D． 3．设三直线；；交于一点，则k的值为______． 4.过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ．                    【题型4 过两条直线的交点的直线系】 【典例4】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【题型训练4】 1.经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（  ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 3．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 4.直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 【专项练】 1.直线与的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 2.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3.已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（  ） A． B． C． D． 4.直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（  ） A．0 B． C． D． 6.(多选）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（  ） A．4 B． C． D． 7.已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为__________________． 8.已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值（  ） A． B． C．4 D． 9.已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 10.已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 两条直线的交点（4大题型） 新课知识点剖析与归纳 1.直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 3.过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 高频考点题型复习归纳 【题型1 判断两条直线相交及求交点】 【题型2 由两条直线的交点求参】 【题型3 三条直线的交点问题】 【题型4 过两条直线的交点的直线系】 专项练 【题型1 判断两条直线相交及求交点】 【典例1】已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 【题型训练1】 1.直线与直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解得， 则直线与直线的交点坐标为. 故选：A 2．直线与的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B 3．曲线与的交点的情况是（ ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到， 两边平方得：， 当，即时，， 得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点． 当时，得到，与曲线只有一个交点． 所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 4.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） A．无论，，如何，方程组总有解 B．无论，，如何，方程组总有唯一解 C．存在，，，方程组无解 D．存在，，，方程组无穷多解 【答案】B 【解析】已知与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以,即,并且，. 所以 得：即, 所以方程组有唯一解. 故选：B 【题型2 由两条直线的交点求参】 【典例2】已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【题型训练2】 1.已知直线l1：与l2：相交于点，则__． 【答案】﹣1 【解析】把分别代入直线l1和直线l2的方程， 得， 所以， 所以． 故答案为：-1． 2．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（  ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 4.已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由条件得有解，解得， 由，得或． 故答案为: 【题型3三条直线的交点问题】 【典例3】已知三条直线交于一点，则实数=（  ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 代入得：. 故选：C 【题型训练3】 1.若直线与直线的交点在直线上，则实数（  ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 2．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（  ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由 得 所以两条直线交于点， 当也过时，， 解得，此时三条线交于同一点，不能构成三角形， 当与平行时，有，则，也不能构成三角形， 当与平行时，由，则，也不能构成三角形， 所以， 故选：B 3．设三直线；；交于一点，则k的值为______． 【答案】1 【解析】联立，解得，即与交于点， 依题意可知，，解得 故答案为：1 4.过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ． 【答案】8x－y－24＝0 【解析】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)， 的坐标分别是. 因为被点平分，所以 ， 于是.                            由于在上，在上，所以， 解得，即的坐标是.         直线的方程是，                   即  .                              所以直线的方程是. 故答案为：8x－y－24＝0 【题型4 过两条直线的交点的直线系】 【典例4】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上，，解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【题型训练4】 1.经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 又垂直于直线的直线的斜率， 则所求直线方程为，即. 故选：D 2．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 3．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【解析】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点， 所以直线的方程可设为（其中为常数）， 即①， 又直线的斜率为3，所以，解得， 将代入①，整理得． 4.直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】或. 【解析】设直线方程为， 化简得, 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为, 或，解得或. 代入并化简得直线的方程为或. 所以所求的直线方程为或 【专项练】 1.直线与的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 2.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将两直线方程组成方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以解得 故选：B 3.已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：C 4.直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 5.（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（  ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【解析】联立方程，解得 ， 因为交点在第四象限，可得，解得 故选：AC 6.(多选）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（  ） A．4 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意， 当三条直线和， 若时，可得； 当时，可得； 当时，则满足，无解； 当三条直线经过一个点时，把和的交点为， 代入直线中，可得，解得或， 综上可得，满足条件的为或或或. 故选：ACD. 7.已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为__________________． 【答案】 【解析】联立，解得：． 所以与l3垂直的直线方程为：， 整理得：． 故答案为： 8.已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值__________________． 【答案】 【解析】对于直线过定点A（0，0）， 对于直线，即x+k（2+y）＝0， 则，可得x＝，y＝﹣2，故定点B（，﹣2）， 直线与直线中， ∵，∴⊥， ∵与的交点为， ∴|CA|2+|CB|2＝|AB|2＝2+4＝6， ∴≤（|CA|2+|CB|2）＝3， ∴≤， ∴|CA|+|CB|≤2， 当且仅当|CA|＝|CB|时，|CA|+|CB|的最大值为2， 故答案为： 9.已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）联立方程解得. （2）直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点，的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或 10.已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 【答案】（1）m＝2；（2）且 【解析】（1）由解得，代入的方程，得m＝2. （2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形． ①联立，解得，代入，得； ②当与平行时，， 当与平行时，． 综上所述，当且时，三条直线能构成三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$