第04讲 两条直线的交点（五大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

第04讲 两条直线的交点（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 两条直线的交点坐标 我们已经知道，在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用方程来表示，那么， ●能否用直线方程来研究两条直线的交点问题? 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【解答过程】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解两直线构成的方程组即可. 【解答过程】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以交点坐标为. 故选：A. 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可. 【解答过程】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【解答过程】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【解答过程】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（2026高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ） A． B． C． D．或或 【答案】D 【解题思路】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【解答过程】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 模块三 直线系方程 【知识点2 直线系方程】 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型5 经过两直线交点的直线方程】 【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【解答过程】由得所以， 设与垂直的直线方程为． 把代入，得，解得，所以， 故选：B． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为___________. 【答案】 【解题思路】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【解答过程】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为___________． 【答案】 【解题思路】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【解答过程】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为：. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得解出即可求解. 【解答过程】由题意有：， 所以交点坐标为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解. 【解答过程】由题，解得，则交点为， 又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确. 故选：B. 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【解答过程】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B. 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 5．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 6．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可得答案. 【解答过程】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为， 由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得. 故选：B. 7．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【解答过程】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形. 【解答过程】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则 ； 若∥，则 的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立： ，直线和交点为; 直线和联立： ，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合 或. 故实数的取值最多有个. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·期中）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 【答案】ABC 【解题思路】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【解答过程】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【解题思路】由题意，直线不过另外两条直线的交点，且与它们不平行，列出不等式即可得解. 【解答过程】联立直线方程，即直线的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以不过，且与都不平行， 即，所以，满足的条件为且且. 故选：BC. 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【解答过程】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为____________. 【答案】 【解题思路】利用方程组求解交点即可. 【解答过程】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏·期末）已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【解题思路】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【解答过程】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3. 14．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________. 【答案】或 【解题思路】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【解答过程】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·期中）设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. 【解答过程】（1）由，解得， 因此，点的坐标为； （2）直线的斜率为， 垂直于直线的直线斜率为， 则过点且垂直于直线的直线的方程为， 即：. 16．（25-26高二上·江苏·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【解答过程】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 17．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线方程为，若直线在轴上的截距为，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【解题思路】根据和直线在轴上的截距为，可求出直线的方程，将直线和直线联立即可求出交点坐标. 由直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，分过原点和不过原点两种情况，结合直线经过直线与直线的交点，即可求解. 【解答过程】（1）设直线和直线的斜率分别为.由题可知，所以. 因为直线方程为，.所以. 因为直线在轴上的截距为，所以直线经过，所以直线方程为：，即. 联立方程，解得，即交点为. （2）设直线经过原点，且经过直线与直线的交点，所以直线的方程为：. 设直线不经过原点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，设其在轴上的截距为，则在轴上截距为. 所以设直线的方程为：，又因为直线经过直线与直线的交点，所以将代入得：. 所以直线的方程为：. 综上所述，直线的方程为：或. 18．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【解答过程】（1）联立直线方程得解得：，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 19．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【解答过程】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 两条直线的交点（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 两条直线的交点坐标 我们已经知道，在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用方程来表示，那么， ●能否用直线方程来研究两条直线的交点问题? 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式2-1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（2026高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ） A． B． C． D．或或 【变式4-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 模块三 直线系方程 【知识点2 直线系方程】 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型5 经过两直线交点的直线方程】 【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式5-1】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为___________. 【变式5-3】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为___________． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·期中）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 10．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为____________. 13．（25-26高二上·江苏·期末）已知三条直线，，相交于一点，则____________. 14．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·期中）设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 16．（25-26高二上·江苏·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 17．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线方程为，若直线在轴上的截距为，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程. 18．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 19．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $