第三章 概率的进一步认识（压轴专练）（六大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 概率的进一步认识（压轴专练）（六大题型） 题型1：列举法或树状图法求概率 1．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 2．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率； （2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 3．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 4．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 5．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 6．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 题型2：概率与统计学结合 7．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： (1)本次抽测了 名九年级学生，a＝ ，本次成绩的中位数位于 组； (2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ (3)在本次抽测的优秀学生中按1∶9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 8．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）． (1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩； 学生 项目 1 2 3 4 5 6 平均分 众数 中位数 C x 6 7 8 8 9 a b c D 6 8 8 8 9 9 8 d 8 ①______； ②如果，且x不是这组中成绩最高的，求x的值： (2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率． 9．某高中学校为掌握学生的学习情况，优化选科组合，特组织了文化测试，规定：每名学生测试四科，其中A、B，C为必测学科，第四科D、E中随机抽取． （1）据统计，九（1）班有8名同学抽到了D“物理”学科，他们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7． ①这组成绩的中位数是__________，平均数是____________； ②该班同学丙因病错过了测试，补测抽到了D“物理”学科，加上丙同学的成绩后，发现这9名同学的成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“物理”学科的成绩为___________． （2）九（1）班有50名学生，下表是单科成绩统计，请计算出该班此次文化测试的平均成绩． 项目 A语文 B数学 C英语 D物理 E历史 测试人数(人) 50 50 50 30 20 单科平均成绩(分) 9 8 7 8 9 （3）请用列表法或画树状图法，求嘉嘉和琪琪两同学测试的四个学科不完全相同的概率． 10．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程度 百分比 A．非常了解 5％ B．比较了解 15％ C．基本了解 45％ D．不了解 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有______人，______； （2）请补全条形统计图； （3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平． 题型3：用频率估计概率 11．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 12．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为 ． (精确到) (2)该林业局已经移植这种花卉棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 13．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1260 1500 摸到白球的频数n 60 126 247 369 484 609 摸到白球的频率 0.400 0.42 0.412 a 0.403 0.406 (1)按表格数据格式，表中的______； (2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）； (4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值． 14．某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 柑橘总质量（/千克） 损坏柑橘质量（/千克） 柑橘损坏的频率（） (1)写出______  ______  ______精确到）. (2)估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）. (3)该水果公司以元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）. 15．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 题型4：概率的应用 16．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 17．有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 18．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 19．计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 20．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 题型5：几何概率 21．我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（   ）．    A． B． C． D． 22．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．    23．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 题型6：概率与方程、不等式、函数结合 24．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ． 25．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 26．有七张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解的概率是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识（压轴专练）（六大题型） 题型1：列举法或树状图法求概率 1．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率． 【解析】解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a、b、c、d，则所有的可能性为：（abcd）、（abdc）、（acbd）、（acdb）、（adbc）、（adcb）、（badc）、（bacd）、（bcad）、（bcda）、（bdac）、（bdca）、（cabd）、（cadb）、（cbad）、（cbda）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dacb）、（dbac）、（dbca）、（dcab）、（dcba），则都不相同的可能有：（badc）、（bcda）、（bdac）、（cadb）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dcab）、（dcba），故小嘉宾中奖的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用概率公式求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率； （2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用列举法求解即可； （2）分类讨论，利用列举法即可求解． 【解析】（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：； （2）①分组为(2，5)和(6，9)， 1、2名争夺 3、4名争夺 情况1 (2，6) (5，9) 情况2 (2，9) (5，6) 情况3 (5，6) (2，9) 情况4 (5，9) (2，6) 故概率为：； ②分组为(2，9)和(5，6)， 1、2名争夺 3、4名争夺 情况1 (2，5) (6，9) 情况2 (2，6) (5，9) 情况3 (5，9) (2，6) 情况4 (6，9) (2，5) 故概率为：； 综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 3．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【解析】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 4．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 【答案】； 【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算； （2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算. 【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6， 其中，掷出5时可以回到点A， ∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为； （2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点， 则①第一次就掷出5， ②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4， 画树状图如下： 共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种， ∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数. 5．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 【答案】(1)，树状图见详解； (2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数； (3)2次． 【分析】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率． （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． （3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可． 【解析】（1）树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键． 6．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【解析】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 题型2：概率与统计学结合 7．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： (1)本次抽测了 名九年级学生，a＝ ，本次成绩的中位数位于 组； (2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ (3)在本次抽测的优秀学生中按1∶9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】(1)300；108；C； (2)3600人 (3) 【分析】（1）利用A组频数和圆心角求得总人数，根据圆心角=（各组人数÷总人数）×360°求出各组人数即可解答； （2）根据E组人数所占的圆心角估计总体即可； （3）根据优秀的人数计算出抽取的人数，再利用列表法求概率即可； 【解析】（1）解：由A组的频数和扇形圆心角可得：总人数=30÷=300（人）； a=； B组人数=（人），C组人数=（人）， 一共300名学生，中位数是第150名、151名学生的平均成绩， ∵30+60=90，30+60+75=165，∴第150名、151名学生在C组，即中位数位于C组； （2）解：E组的圆心角=360°-36°-72°-90°-108°=54°， ∴优秀学生的约有=3600（人）； （3）解：优秀学生人数=（人）； 按1∶9的比例抽取部分学生，则抽取了5名学生，有2名女生则有3名男生， 根据题意列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3 女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 由表可知一共有20种可能结果，一男一女的结果有12种， ∴抽取一男一女的概率=12÷20=； 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联计算；列表法求概率；掌握相关的定义的计算方法是解题关键． 8．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）． (1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩； 学生 项目 1 2 3 4 5 6 平均分 众数 中位数 C x 6 7 8 8 9 a b c D 6 8 8 8 9 9 8 d 8 ①______； ②如果，且x不是这组中成绩最高的，求x的值： (2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率． 【答案】(1)①8，②； (2)列表见解析， 【分析】（1）①根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，找出众数即可知的值；②分两种情况求解：当x≤7时，则中位数，根据平均数的计算公式求解满足要求的值即可；当且为整数时，中位数，，根据平均数的计算公式求解满足要求的值即可； （2）根据要求列表格，求解概率即可． 【解析】（1）解：①观察表格可知众数 故答案为：8． ②当x≤7时，则中位数 ∵ ∴平均值 解得：； 当且为整数时， ∵x不是这组中成绩最高的 ∴中位数， ∵ ∴平均值 解得（舍去） ∴综上所述，x的值为7． （2）解：列表如下： C D E C （C、C） （C、D） （C、E） D （D、C） （D、D） （D、E） E （E、C） （E、D） （E、E） 由表格可知，甲和乙选第三项项目共有9种等可能的结果，其中，甲乙选择不同测试项目有6种可能， ∴概率． 【点睛】本题考查了众数、算术平均数、中位数，列举法求概率．解题的关键在于熟练掌握众数、算术平均数、中位数，列举法求概率的方法． 9．某高中学校为掌握学生的学习情况，优化选科组合，特组织了文化测试，规定：每名学生测试四科，其中A、B，C为必测学科，第四科D、E中随机抽取． （1）据统计，九（1）班有8名同学抽到了D“物理”学科，他们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7． ①这组成绩的中位数是__________，平均数是____________； ②该班同学丙因病错过了测试，补测抽到了D“物理”学科，加上丙同学的成绩后，发现这9名同学的成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“物理”学科的成绩为___________． （2）九（1）班有50名学生，下表是单科成绩统计，请计算出该班此次文化测试的平均成绩． 项目 A语文 B数学 C英语 D物理 E历史 测试人数(人) 50 50 50 30 20 单科平均成绩(分) 9 8 7 8 9 （3）请用列表法或画树状图法，求嘉嘉和琪琪两同学测试的四个学科不完全相同的概率． 【答案】（1）①7.5，7.5；②8；（2）8.1；（3）． 【分析】(1)先按大小排序，取中间数即为中位数，根据平均数计算公式即可求得； (2)根据平均数公式计算即可求得； (3)根据题意画出树状图，进而得出结论． 【解析】解：(1)①中位数：， 平均数， ②设丙同学“物理”成绩为， 则这组成绩为： ， ∵这组成绩的众数与中位数相等， ∴为7或8， ∵平均数比①中的平均数大，即， ∴， （2）， 答：此次文化测试的平均成绩为8.1． （3）画树状图如图所示， 由图中可知抽取结果共有4种，其中嘉嘉，琪琪两同学测试的学科不完全相同的结果有2种， 则P(四个学科不完全相同的概率)=． 【点睛】本题主要考查了画树状图，求数据的中位数和平均数，正确理解题意是解题的关键． 10．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程度 百分比 A．非常了解 5％ B．比较了解 15％ C．基本了解 45％ D．不了解 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有______人，______； （2）请补全条形统计图； （3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平． 【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值； （3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可； （4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答． 【解析】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5% 则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人； １-5%-15%-45%=35%； （2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45% D等级的人数为400×35%=140（人） 补全条形统计图如下： （3）根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种 所以小明去的概率为： 小刚去的概率为：． 由＞． 所以这个游戏规则不公平． 【点睛】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键． 题型3：用频率估计概率 11．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 (3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【解析】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：， 故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 12．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为 ． (精确到) (2)该林业局已经移植这种花卉棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)； (2)①，②． 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【解析】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在附近，估计成活概率为． （2）解：①估计这批花卉成活的棵树为： （棵）； ②估计还需要移植多少棵为： （棵）． 13．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1260 1500 摸到白球的频数n 60 126 247 369 484 609 摸到白球的频率 0.400 0.42 0.412 a 0.403 0.406 (1)按表格数据格式，表中的______； (2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）； (4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值． 【答案】(1)0.41 (2)0.4 (3)0.6 (4)15 【分析】本题考查了利用大量重复性实验得到的频率可以估计事件发生的概率．解题的关键是根据摸到白球的频率得到相应的等量关系． （1）直接根据摸球的次数×摸到白球的频率计算即可； （2）直接根据表中摸到白球的频率这一数据观察，看在何数附近摆动即可； （3）先根据摸到白球的频率估计摸到白球的概率，再计算摸到红球的概率； （4）用白球的个数÷摸到白球的频率求出球的总数，再减去白球的个数就得到红球的个数． 【解析】（1）解：， 故答案为：0.41； （2）通过表中的数据可以看出，随着实验次数的增多，摸到白球的频率越来越接近0.400， 所以当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4， 故答案为：0.4； （3）∵当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4， ∴根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为0.4， ∵袋子中只有白球，红球两种不同颜色的球． ∴摸到红球的概率为， 故答案为：0.6； （4）∵白球一共有10个，且摸到白球的频率是0.4． ∴袋中球的总个数为． ∴袋中红球的个数为． 即口袋中有红球15个． 14．某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 柑橘总质量（/千克） 损坏柑橘质量（/千克） 柑橘损坏的频率（） (1)写出______  ______  ______精确到）. (2)估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）. (3)该水果公司以元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）. 【答案】(1)，，； (2)； (3)元 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识以及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． （）利用频数计算方法去掉频数即可； （）大量重复试验中频率稳定值即为概率； （）设每千克大约定价为元，根据“销售额总成本利润”列出关于的方程，解之即可． 【解析】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）解：柑橘完好的概率约为， 故答案为：； （3）解：设每千克大约定价为元， 根据题意得， 解得， 答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为元比较合适． 15．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 【答案】任务1：（1）B；（2）0.25；（3）1平方米 任务2：设计实验见解析， 【分析】任务1：（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积封闭图形的面积概率建立方程求解； 任务2：仿造任务1，如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【解析】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25； 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有249比较接近， 故答案为：B； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25， 故答案为：0.25； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米． 任务2：如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆． 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 … 绿豆落在圆内 （含圆的边）的次数 … … 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， 所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为； 则， ∴． 题型4：概率的应用 16．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种. 【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可， 问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可， 问题3. （1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数； （2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法； （3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率． 问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法． 【解析】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法． 问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法． 问题3. （1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走， ∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A点到B点的走法共有35种． （2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数． 完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点， 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种． ∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种． 方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4， ∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种． （3）P（顺利开车到达B点）=． 答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是． 问题4. 解：乘法原理可得： 5×4×3×2×2=240（种）． 答：共有240种染色方法． 【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单． 17．有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 【答案】(1) (2)张亮的想法是错的，见解析 (3) 【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案； （3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可． 【解析】（1）由题得，列表为： 第1个 第2个 1 3 3 1 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1 2 4 所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，； （2）由（1）得：，，，，， ∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：， ∵，所以张亮的想法是错的． （3）∵， ∴（答案不唯一） 【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键． 18．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 【答案】(1) (2)小玲胜小军的概率是 (3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可； （2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率； （3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论． 【解析】（1）解：根据题意，画出树状图：    共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个， 所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是； （2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为； （3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜， 小玲胜小军的概率是； ④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大． 【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键． 19．计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）；（2）2台，理由见解析． 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【解析】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 20．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【解析】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 题型5：几何概率 21．我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为x，根据已知条件得到AB＝2+3＝5，根据勾股定理列方程求得x＝1，再根据三角形的面积公式计算即可得到结论． 【解析】   设小正方形的边长为x ∵a＝2，b＝3 ∴AB＝2+3＝5 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2 ∴（2+x）2+（x+3）2＝52 ∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去） ∴ ∴，阴影面积 ∴针尖落在阴影域内的概率＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程、概率等知识；求解的关键是熟练掌握概率、一元二次方程和勾股定理的性质，从而完成求解． 22．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为 ．    【答案】 【分析】连接BD、AC、OA、OC．先求得菱形ABCD的面积和△ACO的面积，然后可求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积，最后依据它们的面积比进行求解即可． 【解析】解：连接BD、AC、OA、OC，AC与BD相交于点E．    ∵ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形． ∴BD＝AB＝． ∴AE＝ABsin60°＝×＝6． ∴AC=2 AE =12． ∴＝BD•AC＝24． ∴． 由旋转的性质可知OC＝OA，∠COA＝90°， ∴OC＝AC＝×12＝6． ∴△AOC的面积＝OC•OA＝36． ∴ ＝， ． ∴命中阴影部分的概率． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是几何概率问题，解答本题主要应用了菱形的性质、旋转的性质，求得四边形ABCO和凹四边形ADCO的面积是解题的关键． 23．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为，根据正三角形性质和正六边形的定义分别求出阴影部分的面积和正三角形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【解析】解：如图，过点作，交于点，设正六边形的边长为， ∵六边形为正六边形， ∴， 每个外角的度数为：， ∴， ∴，和都是等边三角形，且边长都等于， ∵为正三角形， ∴， 在和和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都为正三角形且边长分别为和， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴飞镖投中阴影部分的概率为． 故选：D． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．本题还考查了等边三角形的性质，正六边形的定义及外角和，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识．根据等边三角形的性质及正六边形的定义得出阴影部分的面积解题的关键． 题型6：概率与方程、不等式、函数结合 24．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案． 【解析】一元二次方程有实数根， ∴. ∴， ∴，1，2， 关于的分式方程的解为：， 且且， 解得：且， ∴， ∴使得关于的一元二次方程， 有实数根，且关于的分式方程有解的概率为：. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键． 25．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【解析】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 26．有七张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解的概率是 ． 【答案】． 【解析】试题分析：由关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解，可求得符合题意的m的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 解：∵+=2， ∴2﹣（x+m）=2（x﹣1）， 解得：x=， ∵关于x的方程+=2的解为正数， ∴＞0且≠1， 解得：m＜4且m≠1， ∵不等式组无解， ∴m≤1， ∴使关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解的有：﹣1、﹣2、0； ∴使关于x的方程+=2的解为正数，且不等式组无解的概率是：． 故答案为． 考点：概率公式；分式方程的解；解一元一次不等式组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$