1.4 充分条件与必要条件（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 知识点 1 充分条件与必要条件 1、命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2、充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件． （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件． （3）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同． 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系． 3、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 4、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 5、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点 2 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 1、判断充分条件与必要条件的基本思路 （1）分清楚条件是什么，结论是什么； （2）尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； （3）指出条件是结论的什么条件． 2、判断充分条件、必要条件、充要条件的几种方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合，例如若p⇒q，则p是q的充分条件． （2）等价转化法：将原命题转化为与之等价的命题再进行判断． （3）集合法：利用集合间的关系进行判断，如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若q⊆p，则p是q的必要条件；若p=q，则p与q互为充要条件． 3、充分、必要、充要条件的证明 （1）证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立． （2）证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件． 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了． 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即． 题型一 命题的概念判断 【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1-1】（22-23高二下·内蒙古通辽·期末）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【变式1-2】（23-24高一上·北京·月考）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1-3】（22-23高一上·甘肃庆阳·月考）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 题型二 命题的真假判断 【例2】（23-24高一上·重庆·期中）（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【变式2-1】（23-24高一上·山西临汾·月考）（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【变式2-2】（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【变式2-3】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 题型三 充分与必要条件的判断 【例3】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知， ， 则是的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【变式3-1】（23-24高二下·广东梅州·期末）若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【变式3-2】（23-24高一上·新疆·月考）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（23-24高一上·重庆·月考）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-4】（23-24高一上·上海·月考）（多选）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（    ） A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 题型四 充要条件的判断 【例4】（23-24高一上·四川·期中）下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【变式4-1】（23-24高一上·重庆南岸·月考）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·江苏南通·月考）（多选）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型五 充分必要条件的传递性 【例5】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【变式5-1】（23-24高一上·浙江杭州·月考）（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【变式5-2】（23-24高一上·浙江温州·期中）（多选）已知是是充要条件，是的充分不必要条件，那么（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 【变式5-3】（23-24高一上·广东深圳·月考）（多选）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 题型六 充分、必要、充要条件的探求 【例6】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·福建厦门·月考）“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·福建厦门·月考）（多选）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型七 由条件关系求参数的取值范围 【例7】（23-24高一上·重庆渝北·月考）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）（多选）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式7-3】（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 题型八 充要条件的证明 【例8】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【变式8-1】（23-24高一上·福建厦门·月考）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【变式8-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【变式8-3】（22-23高一上·湖北武汉·月考）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件 知识点 1 充分条件与必要条件 1、命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2、充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件． （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件． （3）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同． 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系． 3、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 4、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 5、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点 2 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 1、判断充分条件与必要条件的基本思路 （1）分清楚条件是什么，结论是什么； （2）尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； （3）指出条件是结论的什么条件． 2、判断充分条件、必要条件、充要条件的几种方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合，例如若p⇒q，则p是q的充分条件． （2）等价转化法：将原命题转化为与之等价的命题再进行判断． （3）集合法：利用集合间的关系进行判断，如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若q⊆p，则p是q的必要条件；若p=q，则p与q互为充要条件． 3、充分、必要、充要条件的证明 （1）证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立． （2）证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件． 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了． 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即． 题型一 命题的概念判断 【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，故选：B 【变式1-1】（22-23高二下·内蒙古通辽·期末）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【解析】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误.故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·北京·月考）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【解析】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D 【变式1-3】（22-23高一上·甘肃庆阳·月考）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】A 【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题； 对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A. 题型二 命题的真假判断 【例2】（23-24高一上·重庆·期中）（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【解析】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根， 得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确．故选：AD 【变式2-1】（23-24高一上·山西临汾·月考）（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【答案】ABC 【解析】A 选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误; B选项，当，时，，则B错误. C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误. D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确.故选：ABC 【变式2-2】（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【解析】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等， 所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误；故选：B 【变式2-3】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解析】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数， 所以本序号命题不是真命题，故选：B 题型三 充分与必要条件的判断 【例3】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知， ， 则是的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】A 【解析】因为， 所以，是的充分而不必要条件.故选：A. 【变式3-1】（23-24高二下·广东梅州·期末）若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【答案】C 【解析】由，得不出，所以“”是“”的不充分条件， 又，得不出，所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：C. 【变式3-2】（23-24高一上·新疆·月考）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，可得或， 所以是的充分不必要条件.故选：C 【变式3-3】（23-24高一上·重庆·月考）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A. 【变式3-4】（23-24高一上·上海·月考）（多选）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（    ） A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件 B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件 D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】对于选项A，由图①可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合， 所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项A正确. 对于选项B，由图②可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合， 所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项B正确. 对于选项C，由图③可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合， 所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项C正确. 对于选项D，由图④可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合， 所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项D错误.故选：ABC. 题型四 充要条件的判断 【例4】（23-24高一上·四川·期中）下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，所以充分性不成立， 反之，当时，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件，不符合题意； 对于B，当时，可得，即充分性成立， 反之，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于C，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立； 反之，若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于D，若两个三角形全等，可得两个三角形三边对应相等，即充分性成立； 反之，若两个三角形三边对应相等，可得两个三角形全等，即必要性成立， 所以是的充分必要条件，符合题意．故选：D． 【变式4-1】（23-24高一上·重庆南岸·月考）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确；故选：D 【变式4-2】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件.故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·江苏南通·月考）（多选）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A，若，则有，又当，有，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有，又当，有，所以选项B正确； 对于选项C，若，则，可得到， 但，得不出，即得不出，所以选项B不正确； 对于选项D，，则有，得不出，所以选项D不正确；故选：AB. 题型五 充分必要条件的传递性 【例5】（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误.故选：B. 【变式5-1】（23-24高一上·浙江杭州·月考）（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】AD 【解析】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 可得， 对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确； 对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确； 对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确.故选：AD. 【变式5-2】（23-24高一上·浙江温州·期中）（多选）已知是是充要条件，是的充分不必要条件，那么（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】由是是充要条件可得能推出，也能推出，即与等价 由是的充分不必要条件可得能推出，但不能推出， 所以是的必要不充分条件，A错误，B正确； 是的充分不必要条件，C正确，D错误.故选：BC. 【变式5-3】（23-24高一上·广东深圳·月考）（多选）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【解析】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误.故选：AB 题型六 充分、必要、充要条件的探求 【例6】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据充分不必要条件的定义，可得的一个充分不必要条件， 即找集合的一个真子集， 结合选项，可得集合是它的一个真子集.故选：B. 【变式6-1】（23-24高一上·福建厦门·月考）“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以“”的一个必要不充分条件是. 因为，所以是的充分不必要条件； 同理可得是的充分不必要条件； 而是的充要条件.故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求.故选：AB. 【变式6-3】（23-24高一上·福建厦门·月考）（多选）使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项B，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项C，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 对于选项D，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件.故选：AB. 题型七 由条件关系求参数的取值范围 【例7】（23-24高一上·重庆渝北·月考）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，所以且，解得，故选：C 【变式7-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）（多选）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确．故选：BD． 【变式7-2】（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】或 【解析】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 【变式7-3】（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以， 故答案为：. 题型八 充要条件的证明 【例8】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【变式8-1】（23-24高一上·福建厦门·月考）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【解析】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【变式8-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【变式8-3】（22-23高一上·湖北武汉·月考）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【答案】，证明见解析. 【解析】.证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$