精品解析：辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

沈河区2023—2024学年度下学期 七年级数学期末试题 (考试时间100分钟，试卷满分120分) 第一部分 选择题 (共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A. 风车纹 B. 海棠纹 C. 回纹 D. 套方锦纹 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中不是轴对称图形，故符合要求； B中是轴对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，故不符合要求； D中是轴对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2. 下列运算结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式除以单项式法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则、合并同类项法则逐个计算得结论． 【详解】解：A．，故选项A运算结果不正确； B．，故选项B运算结果不正确； C．，故选项C运算结果正确； D．，故选项D运算结果不正确． 故选：C． 3. 下列事件是必然事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 打开电视频道，正在播放足球赛 D. 若是有理数， 则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【详解】解：A、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； B、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； C、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； D、是必然事件的是：若是实数，则，符合题意； 故选：D． 4. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 构成同旁内角的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同旁内角，根据同旁内角的定义即可作答． 【详解】解：根据同旁内角的定义可知， 与是一对同旁内角． 故选：C． 5. 如图，，为池塘岸边两点，小丽在池塘的一侧取一点，测得米，米，，间的距离不可能是( ) A. 12米 B. 11米 C. 6米 D. 14米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ， 、间的距离不可能是米． 故选：D． 6. 下列尺规作图的语句正确的是（　　） A. 延长射线到 B. 以点为圆心，任意长为半径画弧 C. 作直线 D 延长线段至，使 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【详解】解：A．根据射线是从向无限延伸，故延长射线到是错误的； B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点为圆心，任意长为半径画弧是正确的； C．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的； D．延长线段至C，则，故使是错误的； 故选：B． 7. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出整个图形的面积和阴影部分的面积是正确解答的关键． 求出整个图形的面积和阴影部分的面积，根据几何概率的定义进行计算即可． 【详解】设每一块小正方形的边长为1，则总面积为，其中阴影部分面积为， 飞镖停留在阴影区域上的概率是． 故选∶C． 8. 端午节是中国传统节日之一，大家都会以吃粽子的方式来庆祝这一传统节日，每年端午节前，五花八门的粽子都会抢先上市，如图为某商家在今年端午节前7周的“粽子”周销量(个)随时间(周)变化的图象，则下列说法正确的是( ) A. 第周和第周的销量一样 B. 第周到第周的销量增长比第周到第周的销量增长慢 C. 从第周到第周，粽子的周销量(个)随时间(周)的增加而增加 D. 第周销量最低，是个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获得相应的信息，进行计算即可得． 【详解】解：A．根据图象得：第周和第周的销量一样，选项说法正确，符合题意； ．根据图象得，第周到第周销售量增加：(个)，第周到第周销售量增加：(个)，即第周到第周的销量增长比第周到第周的销量增长快，选项说法错误，不符合题意； C．根据图象得：第周到第周，周销量(个)随时间(周)的增大而增大，第周到第周，周销量(个)随时间(周)的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D．根据图象得：第周销量最低，是个，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 9. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键． 根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可． 【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式； 图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式； 图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有 ，所以图③可以验证平方差公式； 图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故选∶C． 10. 如图，中，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．根据垂线段最短，得出当时，最小,利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小， 即最小值为． 故选：B． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 某款新型手机据测速网监测，下载一个的文件大约只需要秒，将用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为__________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：． 13. 某汽车生产厂对其生产型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： （小时） 0 1 2 3 （升） 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为40升. 【答案】7.5 【解析】 【分析】根据表格得出y与t的关系式，把y=40代入即可得答案. 【详解】∵t=0时，y=100，t=1时，y=92，t=2时y=84，t=3时，y=76， ∴y与t的关系式为y=100-8t， 当y=40时，40=100-8t， 解得：t=7.5， 故答案为7.5 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意，然后根据题意列出函数解析式是解题关键. 14. 如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 _______(用含的代数式表示)． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了角的计算，折叠问题，依题意有以下两种情况：①点落在的右侧时，②当点落在的左侧时，分别画出图形，根据折叠的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①点落在的右侧时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ； ②当点落在的左侧时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， '． 综上所述：或． 故答案为：或． 15. 如图，，，延长线与相交于点．，，，则 的大小为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质．由全等三角形的性质得，根据等腰三角形的性质得，由等角的余角相等得，根据三角形外角的性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题(本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算 （1）． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先根据乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减即可； （2）根据单项式乘多项式，平方差公式和完全平方公式将式子展开，然后合并同类项，再将a、b的值代入即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 当，时， 原式． 17. 完成下列说理： 如图，已知 ，过点A作直线，过点B作直线于交直线l于点D，以为一边，在l上方作 交延长线于点E，使 ，求 的度数． 解：(已知)， ∴ ( ① )． 又∵（已知)． ∴ ② ③ (等量代换)． ∴ ④ (内错角相等，两直线平行)． ∴ ( ⑤ )． 又∵（已知)， ∴ ⑥ ( ⑦ )． ∴ ⑧ (等式的性质)． 【答案】①两直线平行，内错角相等；②，③④⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥⑦垂直的定义⑧ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，根据题目中已知条件并结合图形进行熟记分析证明是解题的关键； 根据平行线的性质可得， 从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，最后利用等式的性质进行计算，即可解答。 【详解】解∶(已知)， ∴ (两直线平行，内错角相等)． 又∵（已知)． ∴(等量代换)． ∴ (内错角相等，两直线平行)． ∴ (两直线平行，同旁内角互补)． 又∵（已知)， ∴( 垂直的定义 )． ∴（等式的性质)． 18. 某儿童用品店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一个不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额．其中标有50元的小球有4个，标有0元的小球有5个，标有2元的小球的个数比标有8元的小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个．已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题： （1）小明获得奖品的概率是多少？获得8元奖品的概率是多少？ （2）为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球？ 【答案】（1）， （2）6个 【解析】 【分析】（1）求出标有“8元”，“ 2元”的小球个数，便可以算出获奖的概率，获得8元奖品的概率； （2）根据8元奖品的获奖概率提高到，列方程求解． 【小问1详解】 解：设8元个，则2元个 据题意得 解得 8元14个，2元27个 获奖概率： 获得8元奖品的概率： 【小问2详解】 解：设标有8元小球个 据题意得 解得 需将6个标有2元的小球改为8元的小球． 【点睛】本题考查概率公式，理解概率意义，本题的解题关键在于掌握概率的计算方法． 19. 在 中，，边的垂直平分线分别交，边于点和点，连接． （1）尺规作图：在线段上求作点，使 (请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，建议用铅笔或黑色水性笔作图)； （2）请猜想并写出线段与线段有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图线段垂直平分线，性的垂直平分线的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作于点即可； （2）证明，可得． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 结论：． 理由：，垂直平分 ， ，则 ，， ， 在和中， ， ， ． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． （1）请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； （2）在直线l上画出点P，使得的周长最小； （3）直接写出四边形的面积为 ． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）24 【解析】 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【小问1详解】 如图，直线和 即为所求； ， 【小问2详解】 如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， 【小问3详解】 四边形的面积为： ． 21. 定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. （1）小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； （2）若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴和谐值为； 【小问2详解】 解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 22. 随着汽车工业逐渐迈向电动化时代．国产汽车不再受制于内燃机技术，新能源逐渐成为汽车产业发展的新趋势．越来越多的人选择购买新能源汽车，为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根 据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %． （2）图中点表示的实际意义是 （3）当新能源汽车的电池电量过低时，车辆的动力性能也会有一定程度的下降．现将此款无任何差别的两辆汽车均从剩余电量时开始充电；充电小时时，用快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是多少？ （4）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】（1） （2）用快速充电器时，当充电时，汽车电池电量为%； （3）充电小时时，快速充电器充电汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是和； （4）快速充电器比普通充电器少用 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用； （1）利用小时所充电量除以，即可得出答案； （2）根据图象即可作答； （3）先求出直线、直线的表达式，再分别将代入，即可求出答案； （4）把分别代入（3）中的两个解析式，再做差即可求得． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：． 【小问2详解】 图中点表示的实际意义是当充电时，汽车电池电量为． 故答案为：用快速充电器时，当充电时，汽车电池电量为． 【小问3详解】 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 设直线的表达式为， 把、代入得， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 答：充电小时时，快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是和． 【小问4详解】 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ， 答：快速充电器比普通充电器少用． 23. 【问题初探】阅读下面的证明过程： 如图1．，和都直角三角形．直角顶点都在直线l上．，其中，则有∶． 理由∶ ∵． ∴，． ∴． 又∵，． ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何常见图形组合，我们可以把它作为解题经验，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更高阶的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： 【类比分析】 如图2．在中．，．点D是线段上一点， 连接．过点B作交于点E， 过点C作交延长线于点F． （1）请说明∶； （2）如图3，取中点点M，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，连接，如图4，当E是中点时，三角形的面积是，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由，得，又，，即可得出结论； （2）连，过M作，，证明，再证明，故，即可得出答案； （3）由得，，延长交延长线于N，证明和是等腰直角三角形，得，在证，得，,,根据三角形面积得，得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明∶ ， ， ， ， ， ． ． ， ， 又 ． 【小问2详解】 连，过M作，， M是中点， ， ， 在和中 ， ， ， 【小问3详解】 由得，， E为中点， ， ， 延长交延长线于N， ，， ， ,, 和是等腰直角三角形， , 在和中 ， ，,, 面积为18， ， , ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈河区2023—2024学年度下学期 七年级数学期末试题 (考试时间100分钟，试卷满分120分) 第一部分 选择题 (共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A. 风车纹 B. 海棠纹 C. 回纹 D. 套方锦纹 2. 下列运算结果正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 打开电视频道，正在播放足球赛 D. 若是有理数， 则 4. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 构成同旁内角的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，，为池塘岸边两点，小丽在池塘的一侧取一点，测得米，米，，间的距离不可能是( ) A. 12米 B. 11米 C. 6米 D. 14米 6. 下列尺规作图语句正确的是（　　） A. 延长射线到 B. 以点为圆心，任意长为半径画弧 C. 作直线 D. 延长线段至，使 7. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 端午节是中国传统节日之一，大家都会以吃粽子的方式来庆祝这一传统节日，每年端午节前，五花八门的粽子都会抢先上市，如图为某商家在今年端午节前7周的“粽子”周销量(个)随时间(周)变化的图象，则下列说法正确的是( ) A. 第周和第周的销量一样 B. 第周到第周的销量增长比第周到第周的销量增长慢 C. 从第周到第周，粽子周销量(个)随时间(周)的增加而增加 D. 第周销量最低，是个 9. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 10. 如图，中，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 某款新型手机据测速网监测，下载一个的文件大约只需要秒，将用科学记数法表示为__________． 12. 在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为__________ 13. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： （小时） 0 1 2 3 （升） 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为40升. 14. 如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 _______(用含的代数式表示)． 15. 如图，，，延长线与相交于点．，，，则 的大小为_________． 三、解答题(本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算 （1）． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 完成下列说理： 如图，已知 ，过点A作直线，过点B作直线于交直线l于点D，以为一边，在l上方作 交延长线于点E，使 ，求 度数． 解：(已知)， ∴ ( ① )． 又∵（已知)． ∴ ② ③ (等量代换)． ∴ ④ (内错角相等，两直线平行)． ∴ ( ⑤ )． 又∵（已知)， ∴ ⑥ ( ⑦ )． ∴ ⑧ (等式的性质)． 18. 某儿童用品店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一个不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额．其中标有50元的小球有4个，标有0元的小球有5个，标有2元的小球的个数比标有8元的小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个．已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题： （1）小明获得奖品的概率是多少？获得8元奖品的概率是多少？ （2）为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球？ 19. 在 中，，边的垂直平分线分别交，边于点和点，连接． （1）尺规作图：在线段上求作点，使 (请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，建议用铅笔或黑色水性笔作图)； （2）请猜想并写出线段与线段有怎样的数量关系？说明理由． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． （1）请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； （2）在直线l上画出点P，使得的周长最小； （3）直接写出四边形的面积为 ． 21. 定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. （1）小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； （2）若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 22. 随着汽车工业逐渐迈向电动化时代．国产汽车不再受制于内燃机技术，新能源逐渐成为汽车产业发展的新趋势．越来越多的人选择购买新能源汽车，为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根 据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %． （2）图中点表示的实际意义是 （3）当新能源汽车的电池电量过低时，车辆的动力性能也会有一定程度的下降．现将此款无任何差别的两辆汽车均从剩余电量时开始充电；充电小时时，用快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是多少？ （4）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 23. 【问题初探】阅读下面的证明过程： 如图1．，和都直角三角形．直角顶点都在直线l上．，其中，则有∶． 理由∶ ∵． ∴，． ∴． 又∵，． ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何常见图形组合，我们可以把它作为解题经验，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更高阶的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： 【类比分析】 如图2．在中．，．点D是线段上一点， 连接．过点B作交于点E， 过点C作交延长线于点F． （1）请说明∶； （2）如图3，取中点点M，连接，求度数； （3）在（2）的条件下，连接，如图4，当E是中点时，三角形的面积是，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$