精品解析：山东省济南市长清区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期济南市长清区七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过．则数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某施工队修一段长度为800米的公路，如表根据每天工程进度制作而成的． 施工时间t/天 1 2 3 4 5 ··· 累计完成施工量y/米 40 80 120 160 200 ··· 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是施工时间，因变量是每天完成施工量 B. 当施工时间为5天时，累计完成施工量为200米 C. 若累计完成施工量为600米，则施工时间为15天 D. y与t之间关系式为 5. 如图，已知中，，，直线经过点A，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小明做“用频率估计概率”试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 7. 如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②当时，；③当为等腰三角形时， 或；④当点D为的中点时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 非选择题 （共110分） 二、填空题（本题共6个小题，满分24分） 11. 如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______． 12. 如图所示，在中，点D是边上的中点，E、F是上的两个点，连接、、、．在纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为_________． 13. 等腰三角形的周长为24，一边长为6，则腰长为 ___． 14. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是______． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______． 16. 如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为_____． 三、解答题（本题共10个小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，，，求证：． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点四边形（即四边形的四个顶点都在格点上）． （1）在图中作出四边形关于直线对称的四边形； （2）在直线上找一点E，使的值最小，请在图中画出点E的位置； （3）过点C作的平行线，交于点F，则的长度为 ． （4）求四边形的面积． 21. 如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 23. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） （2）你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色 （3）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______． （4）在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 24. 一条笔直的公路上有两地，相距米，甲从地匀速步行到地，乙从地匀速骑车到地后，休息分钟，再沿原路原速返回地．设他们同时出发，运动的时间为（分），与地的距离为（米），如图所示，图中线段，折线分别表示两人与地距离和运动时间之间的关系，结合图象解答下列问题： （1）甲步行的速度为 米分钟；乙骑车的速度为 米分钟； （2）甲步行到地比乙骑车返回地晚到 分钟； （3）求甲与乙途中（不包括地与地）相遇时的值． 25 （1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 26. （1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期济南市长清区七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过．则数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式除以单项式，根据运算法则进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 某施工队修一段长度为800米的公路，如表根据每天工程进度制作而成的． 施工时间t/天 1 2 3 4 5 ··· 累计完成施工量y/米 40 80 120 160 200 ··· 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是施工时间，因变量是每天完成施工量 B. 当施工时间为5天时，累计完成施工量为200米 C. 若累计完成施工量为600米，则施工时间为15天 D. y与t之间的关系式为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的表示方法，掌握自变量和因变量的定义、找到数据的变化规律是解题的关键．A．根据自变量与因变量的定义判断即可；B．根据表格中的数据判断即可；C．根据“累计完成施工量÷每天的施工量=施工时间”计算即可；D．根据“累计完成施工量=每天的施工量×施工时间”计算即可． 【详解】解：A．这个变化中，自变量是施工时间，因变量是累计完成施工量， ∴A错误，符合题意； B．当时，，即当施工时间为5天时，累计完成施工量为200米， ∴B正确，不符合题意； C．由表格可知，每天完成施工量40米， （天）， ∴C正确，不符合题意； D．∵每天完成施工量40米， ∴t天累计完成施工量为米，即， ∴D正确，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，已知中，，，直线经过点A，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质成为解题的关键．由平行线的性质得出，再根据平角即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 6. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 抛一枚硬币，出现正面朝上频率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频率与概率，掌握大量重复实验下的频率即为概率是解题的关键． 【详解】A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率约为，不符合题意； B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为，不符合题意； C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为，不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率约为，符合题意； 故选D． 7. 如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、若添加：，则， 在与中， ， ，不符合题意； B、若添加：，不能判定，符合题意； C、若添加， ，不符合题意； D、若添加：，则， ，不符合题意， 故选：B． 8. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可． 详解】解：A、∵， ∴， 即是直角三角形，不符合题意； B、∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、设，则， ∵， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，即不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和以及等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 由线段的垂直平分线交于D，可得，继而得，再由三角形的外角性质和三角形的内角和即可求得答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵ ∵, ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②当时，；③当为等腰三角形时， 或；④当点D为的中点时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解决问题的关键． ①根据等腰三角形性质得，证明，进而得，据此可对结论结论①进行判断；②证明和全等得，则，进而，由此可求出，据此可对结论结论②进行判断；③根据，得，因此当为等腰三角形时有以下两种情况：（ⅰ）当时和（ⅱ）当时；④当点D为的中点时，则，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故结论①正确； ②由①可知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当为等腰三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如图1所示：   则， ∴， 由结论①正确得：， ∴， （ⅱ）当时，如图2所示： 则， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形时，或， 故结论③正确； ④当点D为的中点时，如图3所示： ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 第II卷 非选择题 （共110分） 二、填空题（本题共6个小题，满分24分） 11. 如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等． 【详解】解：根据题意可得： 在和中， ， ， ， 依据是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题． 12. 如图所示，在中，点D是边上的中点，E、F是上的两个点，连接、、、．在纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，掌握等底等高的两个三角形的面积相等是解答本题的关键．作交延长线于点H，作于点G．证明得，从而与的面积相等，进而根据概率公式可得答案． 【详解】解：作交延长线于点H，作于点G． ∵点D是边上的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴与是两个同底等高的两个三角形， ∴与的面积相等， ∴阴影区域的面积等于的面积， 又∵与的面积相等， ∴针头扎在阴影区域内的概率为 故答案为：． 13. 等腰三角形的周长为24，一边长为6，则腰长为 ___． 【答案】9 【解析】 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①当6为腰长时，则底边＝24﹣6﹣6＝12，因为12＝6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长＝（24﹣6）÷2＝9，因为9﹣6＜9＜9+6，所以能构成三角形； 故腰长为9． 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验． 14. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出滴水，每滴水约毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，每分钟滴出滴水，每滴水约毫升，则一分钟滴水毫升毫升，则分钟可滴毫升，据此即可求解，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 即， 故答案为：． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到•DE×5+•CD×3=×3×4，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得BD平分∠ABC， 过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC， 在Rt△ABC中，， ∵S△ABD+S△BCD=S△ABC， ∴•DE×5+•CD×3=×3×4，， 即5CD+3CD=12， ∴CD=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质． 16. 如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为_____． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ， ∵平分， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点重合时，最大，最大值为3， ∴， 故答案为：7.5． 三、解答题（本题共10个小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂的意义，有理数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方的意义化简，再算加减即可． 【详解】原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 19. 已知：如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点四边形（即四边形的四个顶点都在格点上）． （1）在图中作出四边形关于直线对称的四边形； （2）在直线上找一点E，使的值最小，请在图中画出点E的位置； （3）过点C作的平行线，交于点F，则的长度为 ． （4）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2 （4） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时的值最小． （3）利用网格，作线段的平行线，即可得满足条件的点． （4）利用三角形的面积公式可得四边形的面积． 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，； 故答案为：2； 【小问4详解】 解：四边形的面积． 21. 如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 【答案】1秒；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，全等三角形的判定．根据题意可得，由，可得关于t的方程，可求出；再利用可证明． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 【答案】（1）10.6米 （2）5米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上即可； （2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题． 【小问1详解】 由题意可得， 米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）， 即风筝的垂直高度的长为10.6米； 【小问2详解】 由题意知，（米），米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该把线再放出5米， 故答案为：5． 23. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） （2）你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色 （3）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______． （4）在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】（1）随机事件，不可能事件 （2）白 （3）4 （4）公平；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据随机事件，不可能事件的含义可得答案； （2）由，可得摸到白色球的机会最大； （3）利用概率公式建立方程求解即可； （4）分别求解小颖获胜与小英获胜的概率即可． 【小问1详解】 解：小颖同学摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件； 【小问2详解】 解：∵ ∴摸到白色小球的可能性最大； ∴小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是白色； 【小问3详解】 解：∵摸到黄色乒乓球的概率为， ∴， 解得：，经检验符合题意； 【小问4详解】 解：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球， ∴摸到红球，小颖获胜的概率为，小英获胜的概率为； ∴这个游戏对双方公平； 【点睛】本题考查的是事件的分类与判定，简单随机事件的概率的计算，已知概率求解数量，分式方程的解法，理解题意是关键. 24. 一条笔直的公路上有两地，相距米，甲从地匀速步行到地，乙从地匀速骑车到地后，休息分钟，再沿原路原速返回地．设他们同时出发，运动的时间为（分），与地的距离为（米），如图所示，图中线段，折线分别表示两人与地距离和运动时间之间的关系，结合图象解答下列问题： （1）甲步行的速度为 米分钟；乙骑车的速度为 米分钟； （2）甲步行到地比乙骑车返回地晚到 分钟； （3）求甲与乙途中（不包括地与地）相遇时的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）分或分． 【解析】 【分析】（）根据“速度路程时间”，即可得出答案； （）根据图象即可作答； （）分别求出，，解析式，然后列出方程即可得出答案； 本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 甲步行速度为：（米分）， 乙骑车的速度为：（米分）， 故答案为：，； 【小问2详解】 （分）， 故答案为：； 【小问3详解】 设解析式为：，过点， 则，解得：， ∴解析式为， 设解析式为， 由题意可知点，， ∴，解得， ∴解析式为， 同理可得解析式为， 第一次相遇时：，解得； 第二次相遇时：，解得； ∴甲与乙途中（不包括地与地）相遇时的值为或． 25. （1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1）， （2）9996 （3）22048 ；6 （4）①2049300 ② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 26. （1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值． 【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析 （3）128 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，得出，从而得到； （2）根据证明，得出，从而得到； （3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）在中，， ∴ 过点A作，交于点F， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $