精品解析：山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

山东省东营市广饶县2023－2024学年八年级下学期期末数学试题 （总分130分考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2.数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 2. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）． A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】A 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此判断. 【详解】解：A. 化为，故本选项错误，符合题意； B. 化为，故本选项正确，不符合题意； C. 化为，故本选项正确，不符合题意； D. 化为，故本选项正确，不符合题意； 故选择：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法：①当时，它是矩形；②时，它是菱形；③当时，它是菱形；④当时，它是正方形．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法依次判断后即可解答. 【详解】解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当时，四边形ABCD是菱形，①错误； ②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当时，四边形ABCD是菱形，②正确； ③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③错误； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，平行四边形ABCD是矩形，不是正方形，④错误； 综上，正确的为②． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、矩形及正方形的判定方法，熟练运用菱形、矩形及正方形的判定方法是解决问题的关键. 5. 如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】矩形的性质可证明S△DEM=S△BFM，即可求解． 【详解】解：作PM⊥AB于P，交DC于Q． 则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形， ∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC， ∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC， ∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF， ∴2S△DEM=2S△MFB ∵DE=CF=2，EM=5， ∴S△DEM=S△MFB=×2×5=5， ∴S阴=5+5=10， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF． 6. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为， 在正方形中， 因为 , 即 ， ∵， ∴， 故答案为：. 7. 已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，设，，，则，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键． 9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，点为的中点，则的最小值为（ ） A. 1.4 B. 2.4 C. 1.2 D. 1.3 【答案】C 【解析】 【分析】连接AP，证明四边形AEPF是矩形，根据垂线段最短判断即可；； 【详解】连接AP， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形AEPF是矩形， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离中垂线段最短，即时，AP最短，此时PM也最短； ∴当时，， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和垂线段最短，准确分析计算是解题的关键． 10. 如图，正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：①；②垂直平分；③；④，其中错误结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质，证明得出，即可判断①；得出，结合即可判断②；设，求出，，即可判断③，分别表示出三角形面积即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴垂直平分，故②正确； 设，则，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，错误的为③，共个， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设，则式子转为，根据解一元二次方程的方法，解出，即可． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得． x的取值范围是． 故答案为：． 13. 关于的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分当时，当，即时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，即时，原方程即为，解得，符合题意； 当，即时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得且； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可求得a+b和ab的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为a和b， ∴a+b＝，ab＝﹣3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形，一次函数的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，，关于直线对称，连接交于点，连接，，得到；当点，，三点共线时，的值最小；根据正方形的性质，求出点，；设直线的解析式为：，求出函数解析式，此即为直线的解析式． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，关于直线对称， 连接交于点，连接，， ∴， 当点，，三点共线时，的值最小； ∵， ∴点，， ∵点为的中点， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴； 由于点最小时，点P在直线上， ∴直线的表达式为：． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，， ∴，， ∴， ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 17. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，令与交于点，由折叠的性质可得：，垂直平分，证明，得出，由勾股定理得出，再由三角形面积公式得出，即可得解． 【详解】解：如图，令与交于点， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴ 由折叠的性质可得：，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知在中，，，在内作第一个内接正方形；然后取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2024个内接正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，规律型—图形的变化类，等腰直角三角形；熟练掌握正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．根据已知可得，再根据正方形的性质可得，然后利用正方形的性质证明，从而可得，由 ，，最后找规律，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵在内作第一个内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∵取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ……， 同理可得第n个内接正方形的边长为：， ∴则第2024个内接正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求化简、求值或解方程． （1），为实数，且满足，求的算术平方根； （2）先化简，再求值：，其中 （3）解方程： 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、算术平方根、分式的化简求值、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）由二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出，从而得出，求出的值，再求算术平方根即可得出答案； （2）先求出，再化简分式，代入的值计算即可得出答案； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：且且， 解得：， 则， ， ∴的算术平方根为； 【小问2详解】 解：， ， ， 当时，原式； 【小问3详解】 解：， ， 即：或， 或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的，并写出点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的面积比为，并写出点的对应点的坐标； （3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标（用含的代数式表示）． 【答案】（1）如图所示，为所求三角形， （2）如图所示，为所求三角形， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，利用相似三角形的性质求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平移的性质对出对应点的坐标位置即可得解； （2）画出一个以点为位似中心的，使得和的相似比为即可； （3）根据相似比求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的面积比为， ∴和的相似比为， ∵， ∴． 21. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间． 【答案】受影响，10h 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理的运用，根据题意，过点作于，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，求出；以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响，勾股定理解出，再根据速度公式，求出移动时间，即可． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴市受沙尘暴影响； 以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴受影响的时间为． 答：市会受到沙尘暴的影响，市受沙尘暴影响的时间为． 22. 在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m； ②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意可知， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 答：树的高度为． 23. “抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元? 【答案】（1）每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为 （2）当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元 【解析】 【分析】(1)由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可； (2)由题意得关于x的医院二次方程，解一元二次方程可得答案． 【小问1详解】 由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系， 设其函数关系式为， 将，代入，得，解得：， ∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为﹔ 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得，，解得，， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的， ∴，即， ∴不合题意应舍去，∴． ∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元． 【点睛】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）2s或4s；（2）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值． （2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2． 由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm， 则（6﹣x）•2x＝8， 整理得x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝2t． 当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝， 解得：t＝． 当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝， 解得：t＝． 综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解． 25. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，平分，的中垂线交延长线于点，当 时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ，， ， ， ，， ， ， ． （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由折叠的性质可得出，，由（1）可知，，由勾股定理求出，则可求出答案； （3）根据可得，从而求得，再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 由（1）可知，， 又，， ， ， ， ， ， ， ； ． 【小问3详解】 解：为的角平分线， ，， ，，， ， ， 的中垂线交延长线于， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、角平分线、中垂线、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 附加题 26. 一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究： 课本再现： （1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少? 类比探究 （2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值． 【答案】 【小问1】 【小问2】．理由如下：如图． 设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【小问3】①；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）设正方形零件的边长为，则，证明，得到，代入计算即可得出答案； （2）设每个正方形的边长为，证明得出，从而得到，证明，推出，即可得证； （3）①设每个正方形的边长为．证明得出，从而得到，证明，推出，即可得解；②设每个正方形的边长为．证明得出，证明，推出，即可得解． 【详解】解：（1）设正方形零件的边长为，则， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得． ∴正方形零件的边长为． （2）略 （3）①如图， ， 设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； ②如图，设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市广饶县2023－2024学年八年级下学期期末数学试题 （总分130分考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2.数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）． A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 3. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法：①当时，它是矩形；②时，它是菱形；③当时，它是菱形；④当时，它是正方形．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ② 5. 如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，，，则阴影部分的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 14 6. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 7. 已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ） A. B. C. D. 8. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，点为的中点，则的最小值为（ ） A. 1.4 B. 2.4 C. 1.2 D. 1.3 10. 如图，正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：①；②垂直平分；③；④，其中错误结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 若，则____________． 12. 已知，则x的取值范围是______． 13. 关于的方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的表达式为____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 17. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为____________． 18. 如图，已知在中，，，在内作第一个内接正方形；然后取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2024个内接正方形的边长为______． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求化简、求值或解方程． （1），为实数，且满足，求的算术平方根； （2）先化简，再求值：，其中 （3）解方程： 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的，并写出点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的面积比为，并写出点的对应点的坐标； （3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标（用含的代数式表示）． 21. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间． 22. 在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m； ②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 23. “抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元? 24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？ （2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 25. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，平分，的中垂线交延长线于点，当 时，求的长． 附加题 26. 一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究： 课本再现： （1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少? 类比探究 （2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $