精品解析：湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024年高一下学期期末数学考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,结合，根据复数相等的条件列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设，则， 因为，可得，即， 所以，解得， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算直接计算即可. 【详解】因为，所以， 故选：C. 4. 已知函数，则 A. 的最小正周期为，最大值为 B. 的最小正周期为，最大值为 C. 的最小正周期为，最大值为 D. 的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有， 所以函数的最小正周期为， 且最大值为，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 5. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的加法运算法则求得，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量线性运算、夹角的计算. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系. 【详解】由， 而，则，所以，即， 由，则，即， 综上，. 故选：D 7. 已知三棱锥的外接球的体积为，平面，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设三棱锥外接球的半径为，由解出，再由余弦定理解出 ，设外接圆半径，解出并求出，进而解出三棱锥体积即可. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得； 因为，， 所以， 设外接圆的半径为，则，所以， 故，所以， 所以三棱锥的体积为. 故选：A. 8. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【详解】由， 令，得， 又令得， 再令，， 又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 故选：A． 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 已知不相等的复数，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】设(a,b∈R)，由z2＜0求得a＝0判断选项A；举例说明下选项B、D错误；由复数的基本概念判断C． 【详解】对于A，设(a,b∈R)，若， 则，可得，即是纯虚数，故A正确； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于C，若，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于D，取，，此时，， 满足，但与不能比较大小，故D错误． 故选：AC． 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 11. 如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（ ） A. ，E，O三点共线 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 直线与平面所成的角为 D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可证得三点都在平面与平面的交线上，可判断A；由题意可证得平面，从而，可判断B；由题意可证得 平面，则直线与平面所成的角为，根据余弦定理，求解可判断C；取的中点，因为，所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D. 【详解】因为为底面ABCD的中心，所以为BD和AC的中点，则， 因为平面平面，所以平面平面， 所以点是平面与平面的公共点； 显然是平面与平面的公共点； 因为交平面于点平面， 所以也是平面与平面的公共点， 所以三点都在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确； 三棱锥的外接球和正方体是同一个外接球，棱长为1，所以， 所以外接球的表面积，故B正确； 因为平面平面ABCD，所以， 又平面， 所以平面，平面 所以平面平面，平面平面， 所以在平面的射影为， 即直线与平面所成的角为， ，，， ,故C错误； 取的中点，连，因为， 所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得截面，如图： 因为，， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即过点的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确． 故选：ABD． 12. 已知函数在上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（ ） A. 在上存在，，使得 B. 的取值花围为 C. 在上单调递增 D. 在上有且只有一个最大值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知可得最小正周期，可判断既可以取得最大值也可以取得最小值；根据零点坐标可得出；根据的单调区间结合的取值花围可判断C；可判断可能存在两个最大值点. 【详解】对于A，由题意可知的最小正周期，所以在上既可以取得最大值也可以取得最小值，故A正确. 对于B，函数图象在轴右侧与轴交点的横坐标分别为，，，，要使在上有且只有三个零点，只需，解得，故B正确. 对于C，函数在上单调递增，因为，所以，故C正确. 对于D，考虑到的取值范围为，显然，所以可能存在两个最大值点，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是根据已知得出的取值范围. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数） ①甲地5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有_____． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案． 【详解】①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于； ②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定； ③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对． 则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可． 14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，底面圆半径长，根据圆面积解得，进而求得圆锥的高，即可求解体积. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径长， 因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为， 所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和， 所以，所以，则圆锥的高， 所以. 故答案为： 15. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原平面图即可. 【详解】由斜二测画法可知△ABC是直角三角形，且AC＝2A′C′＝4，BC＝B′C′＝3，则最长边（斜边）AB＝5， 故答案为：5. 16. 如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，记，，则___________. 【答案】7200 【解析】 【分析】以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到的坐标，然后求得直线的方程，根据在直线上，得到，运用向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】如图所示： 以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系， 则， 直线的方程为， 设，则，即， 所以， 所以. 故答案为：7200 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”， 所以随机事件“密码被破译”可以表示为， 所以. 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程． 【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）0.94. 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）恰有一人破译密码有两种情况：甲破译且乙没有破译和甲没有破译且乙破译，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率． 【详解】解：（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以； （2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥 所以 （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中， 和不是互斥事件， ，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率， 正确解法为：． 18. 先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）写出这个试验的样本空间； （2）写出三次结果对应数字之和为1这个事件所对应的子集； （3）求三次结果对应数字之和不小于2的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出每一种情况即可； （2）在（1）中找出满足条件的样本点即可； （3）先求样本点的总数，再根据概率公式计算即可. 小问1详解】 解：先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0.其样本空间为； 【小问2详解】 解：三次结果对应数字之和为1的样本点为，，，共3个； 【小问3详解】 解：三次结果对应数字之和不小于2的样本点为，，，，共4个，故. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，则，， 即，所以， 又因为，所以，即. 【小问2详解】 由是的中线，可知， 所以，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即的面积的最大值为. 20. 已知函数，的最大值为2． （1）求函数在上的值域； （2）已知外接圆半径，，角、所对的边分别是、，求的值． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式求出，即可得到的解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由正弦定理将角化边，最后根据外接圆的半径计算可得； 【详解】解：（1）因为，所以的最大值为，所以． 而，于是， 所以． 因为，所以，所以，则 所以函数在上的值域为； （2）因为， 所以， 由正弦定理可得， 因为的外接圆半径为，所以． 所以． 21. 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明诸如：；等函数都是凸函数． 在1906年将上述不等式推广到了n个变量的情形，即著名的不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立，当且仅当时等号成立． （1）除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明； （2）若函数为R上的凸函数，求a的取值范围； （3）在中，求的最小值； 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据凸函数的定义，作差即可求解， （2）由凸函数的定义求解即可； （3）结合基本不等式及不等式可得，即可得答案； 【小问1详解】 函数凸函数，证明如下： 对任意，， 有 ， 故，即， 所以函数是凸函数． 【小问2详解】 由于函数为R上的凸函数， 所以对任意的，，有， 故 ， 因此，结合，故 【小问3详解】 由基本不等式有， 当且仅当时取等号． 由不等式有， 从而有， 当且仅当时取等号． 故的最小值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一下学期期末数学考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则 A. 的最小正周期为，最大值为 B. 的最小正周期为，最大值为 C. 的最小正周期为，最大值为 D. 的最小正周期为，最大值为 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的外接球的体积为，平面，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 已知不相等的复数，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11. 如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（ ） A. ，E，O三点共线 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 直线与平面所成的角为 D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 12. 已知函数在上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（ ） A. 在上存在，，使得 B. 取值花围为 C. 在上单调递增 D. 在上有且只有一个最大值点 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数） ①甲地5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地5个数据中有一个数据32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有_____． 14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 15. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 16. 如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，记，，则___________. 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率； （3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”， 所以随机事件“密码被破译”可以表示为， 所以. 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程． 18. 先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）写出这个试验的样本空间； （2）写出三次结果对应数字之和为1这个事件所对应的子集； （3）求三次结果对应数字之和不小于2的概率． 19. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 20. 已知函数，的最大值为2． （1）求函数在上的值域； （2）已知外接圆半径，，角、所对的边分别是、，求的值． 21. 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明诸如：；等函数都是凸函数． 在1906年将上述不等式推广到了n个变量的情形，即著名的不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立，当且仅当时等号成立． （1）除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明； （2）若函数为R上的凸函数，求a的取值范围； （3）在中，求最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$