精品解析：山西省太原市第五中学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

太原五中2023—2024学年度阶段性检测（一） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案． 【详解】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分； 菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； ∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题． 2. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型． 3. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为（　　） A. 40 B. 16 C. 16或20 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解得到菱形的边长，进而求出周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 所以或， 解得：，， 当边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当边长为5时，，此时菱形的周长为， 则该菱形的周长为20． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，三角形的三边关系以及菱形的性质．熟练掌握用因式分解的方法解一元二次方程是解答本题的关键． 4. 某商品原价121元，连续两次降价后售价为100元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的不可能为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积．解方程求出的值可以判断②；令，求出方程的解，可以判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 菜园面积为， ， 整理得：， 解得或， 的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 令，整理得：， 解得：， ∴菜园的面积可以为，故③不正确． 正确的有1个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键． 7. 某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 8. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加米接力比赛，先从四人中随机选择一人跑第一棒，再从剩下的三人中随机选择一人跑第二棒，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有情况，看甲跑第一棒，乙跑第二棒的情况占总情况数的多少即可． 【详解】解：甲跑第一棒有6中情况，同理，乙丙丁跑第一棒也各有6种情况，共有24种情况，其中甲跑第一棒，乙跑第二棒的情况数有2种，所以概率为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的求法：得到所求的情况数是解决本题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 9. 规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ） A. ② B. ①③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①先用十字相乘法解一元二次方程，然后再验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，再利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可确定两根之间的关系． 【详解】解：①x2＋2x﹣8＝（x＋4）（x－2）＝0，∴x1＝－4，x2＝2，x1＝－2x2，不是倍根方程，错误； ②由题意得：2x12＝2，∴x1＝±1，∴x1＝1，x2＝2，x1＝－1，x2＝－2，则a＝x1＋x2＝±3，正确； ③ ∵x1＝3，x2＝，当x1＝2x2时，3m＝2n，当x2＝2x1时，n＝6m，错误； ④由题意得：n＝，∴mx2－3x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 整理得：2x12－5x1x2＋2x22＝0，∴（x1－2x2）（2x1－x2）＝0，∴x1＝2x2， 或x2＝2x1，正确； 综上，正确的是 ②④． 故答案为D． 【点睛】本题考查了运用十字相乘法解一元二次方程、根与系数的关系、反比例函数的性质以及“倍根方程”的概念，理解“倍根方程”的概念是解答本题的关键． 10. 如图，将矩形沿着，，翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上． 以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，再根据平行线的性质与相似三角形的性质可得，可判断A．由矩形的性质设，， 可得，可得，可判断C，设，可得：， 从而可判断D，B，从而可得答案． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故A不符合题意； 由矩形的性质设，， 由对折可得，， ∴， 在中，， ， 解得：， ∴； ∴，故C不符合题意； 中，设， 则， 由可得 ∴， 解得：， ∴ ，， 在中，， ∴，故D符合题意； ∴ ，故B不符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示． （1）在平移过程中，____________________， （2）在旋转过程中，____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）推出，由相似三角形的性质即可求解； （2）证明，推出，作交于点，在中，由勾股定理求得，据此即可求解． 【详解】解：（）根据题意知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （）根据题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作交于点， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12. 关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两个解分别为，，则，，是解本题的关键． 13. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价元，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由涨价x元，可表示出减少销售量、实际的销售量及实际销售价，从而可表示出利润，根据利润列出方程即可． 【详解】涨价元，则可减少销售量为个，实际销售量为个，实际销售价为元，则所获利润为元， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是理解题意，表示出涨价后的销量、价格及利润，由等量关系列出方程． 14. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，可得共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可． 【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P， ∵大正方形与小正方形的面积之比为5， ∴， ∴， 设，，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：______． 任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比； 任务3：应用实践 若在图形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______． 【答案】任务1：15；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务1：作于H，利用勾股定理求解即可； 任务2：分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解； 任务3：同理任务2，分两种情况求解即可． 【详解】解：任务1：探寻边角， 作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴在，． 故答案为：15 任务2：比较面积， 设与相交于点I，正方形的边长为a， ∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， 解得； 设正方形边长为b， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， 在中，，则， ∵ ∴， 解得， 正方形和正方形边长之比为； 任务3：应用实践， 如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，即正方形的边长为； 如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n， 同理 在中，，则， 在中，，则， ∴， 解得，即正方形的边长为； ∵， ∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为． 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，过点B作于点M，于点N，分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的四条边都相等可得，对角相等可得，对角线平分一组对角线可得，再根据等角的余角相等求出，然后利用角边角证明和全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k−1）2−4k2＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，再根据（x1−1）（x2−1）＝5得到k2−（2k−1）＋1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值． 【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k−1）2−4k2＞0， 解得k＜； （2）根据题意得x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2， ∵（x1−1）（x2−1）＝5， ∴x1x2−（x1＋x2）＋1＝5， 即k2−（2k−1）＋1＝5， 整理得k2−2k−3＝0，解得k1＝−1，k2＝3， ∵k＜， ∴k＝−1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式． 19. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 【答案】（1） （2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用， （1）利根据题意可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程，取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意， 【小问2详解】 解：设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 此设备的销售单价不得高于万元， ． 答：该设备的销售单价应是万元台． 20. 一个不透明的袋中装有2个白球，1个红球．这些球除颜色外，没有任何其他区别，有如下两个活动： 活动1：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是白球的概率记为； 活动2：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率记为． 试猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想． 【答案】，验证过程见解析 【解析】 【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】活动1： 白球1 白球2 红球 白球1 （白1，白2） （白1，红） 白球2 （白2，白1） （白2，红） 红球 （红，白1） （红，白2） ∵共有6种等可能的结果，摸到两个白球的有2种情况， ∴摸出的两个球都是白球的概率记为 活动2： 白球1 白球2 红球 白球1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，红） 白球2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，红） 红球 （红，白1） （红，白2） （红，红） ∵共有9种等可能的结果，摸到两个白球的有4种情况， ∴摸出的两个球都是白球的概率记为 ∴ 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重点需要注意球放回与不放回的区别． 21. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形． 作法：①作线段； ②作线段AC的垂直平分线l，交于点O； ③在直线l上取点B，以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）； ④连接、、、． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵，， ∴__________________． ∵__________________， ∴四边形为菱形______（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为平行四边形；；对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，菱形的判定． （1）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （2）先证明四边形为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形为菱形． 【小问1详解】 解：如图，四边形为所求； 【小问2详解】 证明：，， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）． 故答案为：四边形为平行四边形；；对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 22. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 【答案】【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3， 【解析】 【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）； 第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图： 第三步： 图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， 表示边长， ，即， 故答案为：，； 【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4． ∴长方形的长为，宽为x，即：， ∴， ∴，，方程一个正根为：． 故答案为：2，3，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的几何意义，读懂题意，根据正方形面积相等列出方程是关键． 23. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）（1）中结论仍然成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【小问1详解】 如图1，连接，延长交于， 四边形是菱形，， ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， 同理可证是等边三角形， ， ，即 又， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 （1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接， ，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ，， 设与交于点， 同理可得， ， 又， ． 【小问3详解】 如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形，， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 【附加题】 评分说明：必做题部分共100分，附加题部分共10分，满分为110分，附加题做对则加入总分中，最高分为100分，并将附加题分值计入总分中． 24. 综合与探究 问题呈现： “智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： （1）连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____. 探究发现： （2）如图2，在图1的基础上连接，，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： （3）“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否正确，若不正确，请直接写出正确的结论． 【答案】（1）， （2）（或），，见解析 （3）正确，见解析 【解析】 【分析】对于（1），根据“”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），延长DA，使，再根据“”证明，可得，，然后根据三角形内角和定理判断，再根据三角形中位线的性质得出答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【小问1详解】 ，. ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴. 在和， ∴≌， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 结论：（或），． 证明：如答图，延长DA到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是DE的中点，． ∴AM是的中位线． ∴， ∴，； 【小问3详解】 如图 ∴图为补全的图形． （2）中的结论正确． 延长DA到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是DE的中点，． ∴AM是的中位线． ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太原五中2023—2024学年度阶段性检测（一） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 2. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 3. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为（　　） A. 40 B. 16 C. 16或20 D. 20 4. 某商品原价121元，连续两次降价后售价为100元，下列所列方程正确是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的不可能为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B. 一副去掉大小王普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上区别，从中任取一球是黄球 8. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加米接力比赛，先从四人中随机选择一人跑第一棒，再从剩下的三人中随机选择一人跑第二棒，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ） A. ② B. ①③ C. ②③④ D. ②④ 10. 如图，将矩形沿着，，翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上． 以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示． （1）在平移过程中，____________________， （2）在旋转过程中，____________________． 12. 关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 13. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价元，可列方程为___________． 14. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______． 15. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：______． 任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比； 任务3：应用实践 若在图形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______． 17. 如图，在菱形中，过点B作于点M，于点N，分别交于点E、F．求证：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值 19. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 20. 一个不透明的袋中装有2个白球，1个红球．这些球除颜色外，没有任何其他区别，有如下两个活动： 活动1：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是白球的概率记为； 活动2：从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出球都是白球的概率记为． 试猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想． 21. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形． 作法：①作线段； ②作线段AC的垂直平分线l，交于点O； ③在直线l上取点B，以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）； ④连接、、、． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明设计尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵，， ∴__________________． ∵__________________， ∴四边形为菱形______（填推理的依据）． 22. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 23. 在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【附加题】 评分说明：必做题部分共100分，附加题部分共10分，满分为110分，附加题做对则加入总分中，最高分为100分，并将附加题分值计入总分中． 24. 综合与探究 问题呈现： “智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： （1）连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____. 探究发现： （2）如图2，在图1的基础上连接，，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： （3）“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否正确，若不正确，请直接写出正确的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$