抛物线的标准方程与几何性质 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

抛物线的标准方程与几何性质 教学目标 1、掌握抛物线的定义 2、抛物线的标准方程形式及其相应的焦点和准线 3、根据已知条件熟练的求出抛物线的标准方程 重 点 1、抛物线的定义及标准方程 2、抛物线的基本性质 3、直线和抛物线的位置关系 难 点 直线与抛物线综合 （一）抛物线的定义与几何性质 知识梳理 1、定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线， 2、抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 焦点 例题精讲 【例1】（1）已知动点到直线的距离比它到点的距离大1,求动点M的轨迹E的方程； （2）动圆P与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心P的轨迹方程. 例2、（1）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，如果， 那么（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 （2）已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．4 B． C．8 D．16 例3、设为抛物线的焦点． （1）过焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于 ． （2）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________． （3）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________． （4）若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为_____. 【例4】（1）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ） A． B． C．或 D．或 （2）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ） A．4 B．2 C． D． 【例5】（1）对抛物线，下列描述正确的是 (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 （2）已知抛物线的焦点到准线的距离为，则实数a等于（ ） A． B． C． D． 【例6】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为　　　　　　　　　． 【例7】已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________. 【例8】已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________. 巩固训练 1、已知动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（　　） A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 2、抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标 ，当为最大时，则点的坐标 ． 3、已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，当周长最小时，所在直线的斜率为______. 4、已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（ ） A．2 B． C．1 D． 5、抛物线上的点到点和焦点F的距离之和的最小值为5，求此抛物线的方程。 6、已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则的最小值等于_________. 7、抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程． （二）直线与抛物线 知识梳理 1.（）的几何意义是抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）；表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，表示焦点到顶点的距离． 2.抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径. 通径的长为,通径是过焦点最短的弦. 3. 若抛物线的焦点弦为AB，，则 （1）；若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点. ⑵|AB|=； ⑶以AB为直径的圆与准线相切； 证明：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦AB的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切. ⑷+=． 4.直线与抛物线的位置关系： 方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. (1)相交： 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 (2)相切：直线与抛物线相切； (3)相离：直线与抛物线相离。 【注：a.直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；b.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】 5.a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 b.在求直线与抛物线的相交弦的弦长时，直线与抛物线相交通过联立方程应用韦达定理来求解；若分别为A、B的纵坐标，则 例题精讲 【例9】（1）若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数____. （2）点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值（ ） A. B. C.或 D. 或 【例10】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【例11】已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与抛物线的一个交点为．若，则 _____． 【例12】已知直线与抛物线有一个公共点. （1）求抛物线方程； （2）斜率不为0的直线经过抛物线的焦点，交抛物线于两点，.抛物线上是否存在两点，关于直线对称？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由. 【例13】已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M． （1）求抛物线方程； （2）过M作，垂足为N，求点N的坐标； （3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系． 【例14】已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程; ②求面积的最大值 【例15】过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、两点（点在轴上方）. （1）若，求点的坐标； （2）当时，求的值； （3）对于轴上给定的点，若过点和两点的直线交抛物线的准线于点，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点. 巩固训练 1、过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条． 2、若直线与抛物线的两个不同交点都在第一象限，则实数的取值范围为________． 3、已知点在抛物线上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为( ) A． B．1 C．2 D．﹣2 4、已知抛物线的顶点在原点，焦点为. （1）求的方程； （2）设为的准线上一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程. 5、已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点． （1）若直线与圆：相切，求直线的方程； （2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 6、设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点． （1）用表示点到点距离； （2）设，，线段的中点在直线，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若中点的横坐标为3，则抛物线的方程为____________. 2、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为____________. 3、已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则______________. 4、试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为_________. 5、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为______________. 6、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为________. 二、选择题 7、设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 8、设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 9、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2=2px的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（ ）． A． B． C． D． 10、已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 三、解答题 11、已知抛物线（）的焦点为，直线过点且与相交于、两点，当直线的倾斜角为时，. （1）求的方程； （2）若点是抛物线上、之间一点，当点到直线的距离最大时，求△面积的最小值； （3）若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求的方程. 12、设抛物线，满足，过点作抛物线的切线，切点分别为. （1）求证：直线与抛物线相切； （2）若点坐标为，点在抛物线的准线上，求点的坐标； （3）设点在直线上运动，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由； ( 第 1 页 共 2 页 )抛物线的标准方程与几何性质—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$